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| − | '''素数定理'''（そすうていり、{{Lang-en-short|Prime number theorem}}、{{Lang-de-short|Primzahlsatz}}）とは[[自然数]]の中に[[素数]]がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる[[定理]]である。[[整数論]]において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。しかし、分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。 | + | '''素数定理'''（そすうていり、{{Lang-en-short|Prime number theorem}}、{{Lang-de-short|Primzahlsatz}}） |
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| − | == 歴史 ==
| + | 自然数 <i>x</i> をこえない素数の個数を π(<i>x</i>) で表わすと，π(<i>x</i>) は <i>x</i> が大きければ <i>x</i>/ log <i>x</i> によって与えられ，求められる近似値は <i>x</i> が大きくなるほどより真の値に近づく，言い換えれば，π(<i>x</i>) は <i>x</i>∞ のとき，<i>x</i>/ log <i>x</i> との比が1に近づく。これを素数定理という。これは，C.F.[[ガウス]]が少年の頃に予測してから，19世紀を通じて大きな課題になっていた。これについては，1850年代に P.[[チェビシェフ]]が初めて両者の比が上下に有界なことを示したが，最終的な証明は，J.[[アダマール]]とベルギーの数学者 C.ド・ラ・バレ＝プーサンによって，ほとんど同時に (1896) ，ほとんど同じ方法でなされた。 |
| − | この定理は、[[18世紀]]末に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]や[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]によって予想された（ガウス自身の言によればそれは[[1792年]]のガウス15歳のときである）。実際にはルジャンドルが初めて自身の著『[[#ルジャンドル2007|数の理論]]』で公表し、少年ガウスがそれを知っていたことはガウスの死後の[[1863年]]に全集が出るまでは知られず、ガウス自身は素数定理については友人エンケに一度だけ手紙（[[1849年]]）で触れただけであった。
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| − | | |
| − | その後[[パフヌティ・チェビシェフ]]による部分的な結果（[[1850年]]頃）や、[[ベルンハルト・リーマン]]による新たな解析的方法が発表された<ref>1859年の論文「[[与えられた数より小さい素数の個数について]]」</ref>が、最終的には[[1896年]]に{{仮リンク|シャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン|fr|Charles-Jean de La Vallée Poussin}}と[[ジャック・アダマール]]がそれぞれ独立に証明した。当初与えられた証明は[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]と[[複素関数論]]を用いる高度なものであったが、[[1949年]]に[[アトル・セルバーグ]]と[[ポール・エルデシュ]]は独立に初等的な証明を与えた。[[ノーバート・ウィーナー]]や[[池原止戈夫]]らによる[[タウバー型定理]]によって、素数定理と「ゼータ関数が Re ''s'' = 1 上に零点を持たないこと」との同値性がすでに確立されていたために、この初等的な証明は大きな驚きをもって迎えられた。
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| − | | |
| − | == 定理の内容 ==
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| − | 具体的には、この定理は次の式で表される。
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| − | :<math>\pi (x)\sim \operatorname{Li} x</math>
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| − | これは「{{π}}(''x'') を Li ''x'' で[[近似]]できる」という意味であり、
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| − | :<math>\lim_{x\to \infty} \frac{\operatorname{Li} x}{\pi (x)} =1</math>
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| − | ということである。
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| − | | |
| − | {{π}}(''x'') は'''素数の個数関数'''または'''[[素数計数関数]]''' (prime counting function) で、''x'' 以下の素数の個数を表す。また Li ''x'' は[[対数積分|（補正）対数積分]] (logarithmic integral) で、次の積分で定義される:
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| − | :<math>\operatorname{Li} x=\int_2^x \frac{dt}{\ln t}</math>
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| − | （積分の下端は正でさえあれば定理の本質に関係しないが、慣例的に最初の素数である 2 を選ぶことが多い）
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| − | | |
| − | また、対数積分を1回部分積分すると、
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| − | :<math>\int_2^x \frac{dt}{\ln t} =\frac{x}{\ln x} +O\left( \frac{x}{(\ln x)^2} \right)</math>
| |
| − | となる。ただし ''O'' は[[ランダウの記号]]である。このことから、定理を次のように述べることもできる。
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| − | :<math>\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}</math>
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| − | これは同様に {{sfrac|''x''|ln ''x''}} で近似できるということを意味する。こちらのほうが近似精度は少し悪くなるが計算上扱い易い。これを
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| − | {{Indent|<math>\frac{\pi (x)}{x} \sim \frac{1}{\ln x}</math>}}
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| − | と変形すれば、''x'' 以下での素数の割合が {{sfrac|1|ln ''x''}} で近似できることが分かる。
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| − | | |
| − | 上の2通りの近似は ''x'' が小さくても比較的正確である（以下の表を参照）。
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| − | | |
| − | また、''n'' 番目の素数を ''p{{sub|n}}'' とすると、''n'' ≥ 6 に対して
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| − | :<math>n(\ln n + \ln (\ln n) - 1) < p_n < n(\ln n + \ln (\ln n))</math>
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| − | が成り立つ。（[[ピエール・デザルト]]）
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| − | | |
| − | === ''{{π}}''(''x''), ''x'' / ln ''x'', li ''x'' の表{{anchors|表}} ===
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| − | 表は ''{{π}}''(''x'') の正確な値を ''x'' / ln ''x'' と li ''x'' の2つの近似と比較している。最後の列、''x'' / ''{{π}}''(''x'')、は ''x'' 以下の平均 [[:en:prime gap]] である。
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| − | :{|class="wikitable" style="text-align:right"
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| − | |+近似の様子
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| − | !''x''
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| − | !{{π}}(''x'')
| |
| − | !{{π}}(''x'') − ''x'' / ln ''x''
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| − | !{{π}}(''x'') / (''x'' / ln ''x'')
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| − | !li ''x'' − {{π}}(''x'')
| |
| − | !''x'' / {{π}}(''x'')
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| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |4
| |
| − | | −0.3
| |
| − | |0.921
| |
| − | |2.2
| |
| − | |2.500
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|2}}
| |
| − | |25
| |
| − | |3.3
| |
| − | |1.151
| |
| − | |5.1
| |
| − | |4.000
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|3}}
| |
| − | |168
| |
| − | |23
| |
| − | |1.161
| |
| − | |10
| |
| − | |5.952
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|4}}
| |
| − | |1,229
| |
| − | |143
| |
| − | |1.132
| |
| − | |17
| |
| − | |8.137
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|5}}
| |
| − | |9,592
| |
| − | |906
| |
| − | |1.104
| |
| − | |38
| |
| − | |10.425
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|6}}
| |
| − | |78,498
| |
| − | |6,116
| |
| − | |1.084
| |
| − | |130
| |
| − | |12.740
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|7}}
| |
| − | |664,579
| |
| − | |44,158
| |
| − | |1.071
| |
| − | |339
| |
| − | |15.047
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|8}}
| |
| − | |5,761,455
| |
| − | |332,774
| |
| − | |1.061
| |
| − | |754
| |
| − | |17.357
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|9}}
| |
| − | |50,847,534
| |
| − | |2,592,592
| |
| − | |1.054
| |
| − | |1,701
| |
| − | |19.667
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|10}}
| |
| − | |455,052,511
| |
| − | |20,758,029
| |
| − | |1.048
| |
| − | |3,104
| |
| − | |21.975
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|11}}
| |
| − | |4,118,054,813
| |
| − | |169,923,159
| |
| − | |1.043
| |
| − | |11,588
| |
| − | |24.283
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|12}}
| |
| − | |37,607,912,018
| |
| − | |1,416,705,193
| |
| − | |1.039
| |
| − | |38,263
| |
| − | |26.590
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|13}}
| |
| − | |346,065,536,839
| |
| − | |11,992,858,452
| |
| − | |1.034
| |
| − | |108,971
| |
| − | |28.896
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|14}}
| |
| − | |3,204,941,750,802
| |
| − | |102,838,308,636
| |
| − | |1.033
| |
| − | |314,890
| |
| − | |31.202
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|15}}
| |
| − | |29,844,570,422,669
| |
| − | |891,604,962,452
| |
| − | |1.031
| |
| − | |1,052,619
| |
| − | |33.507
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|16}}
| |
| − | |279,238,341,033,925
| |
| − | |7,804,289,844,393
| |
| − | |1.029
| |
| − | |3,214,632
| |
| − | |35.812
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|17}}
| |
| − | |2,623,557,157,654,233
| |
| − | |68,883,734,693,281
| |
| − | |1.027
| |
| − | |7,956,589
| |
| − | |38.116
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|18}}
| |
| − | |24,739,954,287,740,860
| |
| − | |612,483,070,893,536
| |
| − | |1.025
| |
| − | |21,949,555
| |
| − | |40.420
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|19}}
| |
| − | |234,057,667,276,344,607
| |
| − | |5,481,624,169,369,960
| |
| − | |1.024
| |
| − | |99,877,775
| |
| − | |42.725
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|20}}
| |
| − | |2,220,819,602,560,918,840
| |
| − | |49,347,193,044,659,701
| |
| − | |1.023
| |
| − | |222,744,644
| |
| − | |45.028
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|21}}
| |
| − | |21,127,269,486,018,731,928
| |
| − | |446,579,871,578,168,707
| |
| − | |1.022
| |
| − | |597,394,254
| |
| − | |47.332
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|22}}
| |
| − | |201,467,286,689,315,906,290
| |
| − | |4,060,704,006,019,620,994
| |
| − | |1.021
| |
| − | |1,932,355,208
| |
| − | |49.636
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|23}}
| |
| − | |1,925,320,391,606,803,968,923
| |
| − | |37,083,513,766,578,631,309
| |
| − | |1.020
| |
| − | |7,250,186,216
| |
| − | |51.939
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|24}}
| |
| − | |18,435,599,767,349,200,867,866
| |
| − | |339,996,354,713,708,049,069
| |
| − | |1.019
| |
| − | |17,146,907,278
| |
| − | |54.243
| |
| − | |-
| |
| − | |10{{sup|25}}
| |
| − | |176,846,309,399,143,769,411,680
| |
| − | |3,128,516,637,843,038,351,228
| |
| − | |1.018
| |
| − | |55,160,980,939
| |
| − | |56.546
| |
| − | |-
| |
| − | |[[OEIS]]
| |
| − | |{{OEIS2C|id=A006880}}
| |
| − | |{{OEIS2C|id=A057835}}
| |
| − | |
| |
| − | |{{OEIS2C|id=A057752}}
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | {{π}}(10{{sup|24}}) の値はもともと[[リーマン予想]]を仮定して計算されたが<ref name="Franke">{{cite web
| |
| − | |title = Conditional Calculation of pi(10{{sup|24}})
| |
| − | |url = http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html
| |
| − | |publisher = Chris K. Caldwell
| |
| − | |accessdate = 2010-08-03
| |
| − | }}</ref>、その後無条件で証明された<ref name="PlattARXIV2012">{{cite web |title=Computing π(x) Analytically) |url=http://arxiv.org/abs/1203.5712 |accessdate=2012-07-25}}</ref>。
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| − | | |
| − | == 算術級数の素数定理 ==
| |
| − | この定理はまた、算術級数（等差数列）中の素数に関しても拡張されており、これを'''算術級数の素数定理'''という：
| |
| − | | |
| − | すなわち、算術級数 ''an'' + ''b'' (''a'' > 0) に含まれる素数で、''x'' 以下のものの数を {{π}}{{sub|''a'',''b''}}(''x'') で表すとき、
| |
| − | :<math>\pi_{a,b} (x)\sim \frac{1}{\phi (a)} \operatorname{Li} x</math>
| |
| − | が成り立つ。ここで ''φ''(''n'') は[[オイラーのφ関数|オイラーの関数]]と呼ばれるもので、''n'' と互いに素な ''n'' 以下の自然数の個数を表す。この漸近公式はルジャンドルや[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]によって予想されていたが、これもド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。近年、Ivan Soprounov により、より初等的な証明が発見された。
| |
| − | | |
| − | {{main article|算術級数の素数定理}}
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| − | | |
| − | == 誤差評価 ==
| |
| − | より詳しくは、現今最良の近似の誤差は次の結果である（ヴィノグラードフの素数定理）。充分大きな ''x'' について，
| |
| − | :<math>\pi (x)=\operatorname{Li} x+O\left( x\exp \left\{ -c(\ln x)^{\frac{3}{5}} (\ln \ln x)^{-\frac{1}{5}} \right\} \right)</math>
| |
| − | ただし、''c'' > 0 は絶対常数である．
| |
| − | さらに、[[1901年]]に[[ヘルゲ・フォン・コッホ]]は、もし[[リーマン予想]]が正しければ次のように誤差評価を改善できることを証明した。
| |
| − | :<math>\pi (x)=\operatorname{Li} x+O\left( \sqrt{x} \ln x\right)</math>
| |
| − | 逆に、上記の評価式が成り立てばリーマン予想が成り立つことも知られている。
| |
| − | | |
| − | また前節で挙げた表を見れば分かるように、''x'' が小さければ
| |
| − | :<math>\pi (x)<\operatorname{Li} x</math>
| |
| − | が成り立っている。これが全ての ''x'' で成り立つであろうと、[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]や[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]さえも予想していたが、これが正しくないことは1914年に[[ジョン・エデンサー・リトルウッド]]が初めて示した。これが成り立たない最小の ''x'' を[[スキューズ数]]というが、具体的な値はほとんど分かっていない。
| |
| − | | |
| − | より詳しくいえば
| |
| − | :<math>\pi (x)-\operatorname{Li} x</math>
| |
| − | は ''x'' が大きくなるにつれて、無限に符号を変える。 | |
| − | | |
| − | == リーマン関数 ==
| |
| − | リーマンは、リーマン関数
| |
| − | :<math>R(x) = \sum_{m=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m} \operatorname{Li} x^\frac{1}{m}</math>
| |
| − | を用いて、{{π}}(''x'') に関する以下の公式を与えた。
| |
| − | :<math>\pi(x)=R(x)-\sum_{\rho} R(x^\rho )</math>
| |
| − | ただし、和は[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]の複素零点 ''ρ'' 全体をわたる。
| |
| − | | |
| − | ''R''(''x'') の項だけをとっても、これは Li ''x'' よりかなり良い近似を与える。
| |
| − | | |
| − | ''R''(''x'') は、以下の級数を用いて計算可能である<ref>Gram, 1893</ref>。
| |
| − | :<math>R(x)=1+\sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{1}{n\zeta (n+1)} \cdot \frac{(\ln x)^n}{n!} \right\}</math>
| |
| − | | |
| − | ==有限体上の既約多項式での類似==
| |
| − | [[有限体]]上の[[既約多項式]]の「分布」を記述する素数定理の類似がある。形式は古典的な素数定理の場合に全く同一に見える。<!--
| |
| − | ==Analogue for irreducible polynomials over a finite field==
| |
| − | There is an analogue of the prime number theorem that describes the "distribution" of [[irreducible polynomial]]s over a [[finite field]]; the form it takes is strikingly similar to the case of the classical prime number theorem.-->
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| − | | |
| − | このことを詳しく述べるために、''F'' = ''GF''(''q'') を ''q'' 個の元を持つ有限体とし、ある固定された ''q'' に対し、''N{{sub|n}}'' を[[多項式#一変数多項式|モニック]]で'''既約'''な ''F'' 上の多項式で、[[多項式#多項式の次数|次数]]が ''n'' となるものの数を表すとする。モニックな既約多項式とは、つまり、''F'' の中に係数をもつ多項式と見て、小さな次数の積としては書くことができないような多項式とする。この設定では、モニックな既約多項式は、他の全てのモニックな多項式はモニックな既約多項式の積で書くことができるので、素数の役割を果たす。すると次のことを証明することができる。
| |
| − | :<math>N_n \sim \frac{q^n}{n}</math>
| |
| − | ''x'' = ''q{{sup|n}}'' を代入すると、この式の右辺は、
| |
| − | :<math>\frac{x}{\log_q x}</math>
| |
| − | であり、類似がより明白になる。''q{{sup|n}}'' は次数 ''n'' のモニックな既約多項式であるので、このことは次のように言い換えることができる。次数 ''n'' のモニック多項式をランダムに選ぶと、既約である確率は、約 {{sfrac|1|''n''}} である。
| |
| − | | |
| − | リーマン予想の類似、すなわち、
| |
| − | :<math>N_n =\frac{q^n}n +O\left( \frac{q^{\tfrac{n}{2}}}{n} \right)</math>
| |
| − | が成り立つことを証明することができる。
| |
| − | <!--To state it precisely, let ''F'' = GF(''q'') be the finite field with ''q'' elements, for some fixed ''q'', and let ''N''<sub>''n''</sub> be the number of [[monic polynomial|monic]] ''irreducible'' polynomials over ''F'' whose [[degree of a polynomial|degree]] is equal to ''n''. That is, we are looking at polynomials with coefficients chosen from ''F'', which cannot be written as products of polynomials of smaller degree. In this setting, these polynomials play the role of the prime numbers, since all other monic polynomials are built up of products of them. One can then prove that
| |
| − | :<math>N_n \sim \frac{q^n}{n}.</math>
| |
| − | If we make the substitution ''x'' = ''q''<sup>''n''</sup>, then the right hand side is just
| |
| − | :<math>\frac{x}{\log_q x},</math>
| |
| − | which makes the analogy clearer. Since there are precisely ''q''<sup>''n''</sup> monic polynomials of degree ''n'' (including the reducible ones), this can be rephrased as follows: if a monic polynomial of degree ''n'' is selected randomly, then the probability of it being irreducible is about 1/''n''.
| |
| − | | |
| − | One can even prove an analogue of the Riemann hypothesis, namely that
| |
| − | :<math>N_n = \frac{q^n}n + O\left(\frac{q^{n/2}}{n}\right).</math>-->
| |
| − | | |
| − | 多項式についての命題の証明は、古典的な（数についての）命題の証明に比較して、非常に易しい。短い組み合わせ的な議論により証明することができる<ref>{{cite journal
| |
| − | |last = Chebolu
| |
| − | |first = Sunil
| |
| − | |coauthors = Ján Mináč
| |
| − | |title = Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle
| |
| − | |journal = Mathematics Magazine
| |
| − | |date = December 2011
| |
| − | |volume = 84
| |
| − | |issue = 5
| |
| − | |pages = 369–371
| |
| − | |doi = 10.4169/math.mag.84.5.369
| |
| − | |url = http://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.84.5.369
| |
| − | }}</ref>。まとめると、''F'' の次数 ''n'' の拡大の全ての元は、''n'' を割る次数 ''d'' のある既約多項式の根であり、2つの方法でこれらの根の数を数え上げることにより、
| |
| − | :<math>q^n =\sum_{d\mid n} dN_d</math>
| |
| − | を成立させることができる。ここに和は ''n'' の[[因子]] ''d'' の全てを渡る。よって、μ(''k'') を[[メビウス関数]]とすると、[[メビウス函数#メビウスの反転公式|反転公式]]は、
| |
| − | :<math>N_n = \frac1n \sum_{d\mid n} \mu \left( \frac{n}{d} \right) q^d</math>
| |
| − | である。（この公式をガウスは既に知っていた。）主要項は ''d'' = ''n'' であり、残余項の境界を示すことは難しくはない。多項式の「リーマン予想」の命題は、最大な ''n'' の ''n'' 未満の因子は {{sfrac|''n''|2}} よりも大きくはなり得ないという事実には依存しない。
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| − | <!--The proofs of these statements are far simpler than in the classical case. It involves a short combinatorial argument,<ref>{{cite journal|last=Chebolu|first=Sunil|coauthors=Ján Mináč|title=Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle|journal=Mathematics Magazine|date=December 2011|volume=84|issue=5|pages=369–371|doi=10.4169/math.mag.84.5.369|url=http://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.84.5.369}}</ref> summarised as follows. Every element of the degree ''n'' extension of ''F'' is a root of some irreducible polynomial whose degree ''d'' divides ''n''; by counting these roots in two different ways one establishes that
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| − | :<math>q^n = \sum_{d\mid n} d N_d,</math>
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| − | where the sum is over all [[divisor]]s ''d'' of ''n''. [[Möbius inversion]] then yields
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| − | :<math>N_n = \frac1n \sum_{d\mid n} \mu(n/d) q^d,</math>
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| − | where μ(''k'') is the [[Möbius function]]. (This formula was known to Gauss.) The main term occurs for ''d'' = ''n'', and it is not difficult to bound the remaining terms. The "Riemann hypothesis" statement depends on the fact that the largest [[proper divisor]] of ''n'' can be no larger than ''n''/2.-->
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| − | == 脚注 ==
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| − | {{Reflist}}
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| − | == 参考文献 ==
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| − | *本橋洋一，解析的整数論 I -- 素数分布論 --，朝倉書店，東京 2009（第2刷 2012: 加筆含む）ISBN {{ISBN|978-4-254-11821-6}}
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| − | *日本数学会市民講演 “素数の翼に乗って” http://mathsoc.jp/publication/tushin/1001/motohashi.pdf
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| − | *{{Cite book|和書
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| − | |author = ウワディスワフ・ナルキェヴィッチ
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| − | |authorlink = ウワディスワフ・ナルキェヴィッチ
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| − | |others = [[中嶋眞澄]]訳
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| − | |date = 2008-06
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| − | |title = 素数定理の進展
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| − | |volume = 上
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| − | |publisher = シュプリンガー・ジャパン
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| − | |isbn = 978-4-431-71086-8
| |
| − | |ref = ナルキェヴィッチ2008
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| − | }}
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| − | **{{Cite book|和書
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| − | |author = ウワディスワフ・ナルキェヴィッチ
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| − | |others = 中嶋眞澄訳
| |
| − | |date = 2012-07-17
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| − | |title = 素数定理の進展
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| − | |volume = 上
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| − | |publisher = 丸善出版
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| − | |isbn = 978-4-621-06315-6
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| − | |ref = ナルキェヴィッチ2012
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| − | }} - [[#ナルキェヴィッチ2008|ナルキェヴィッチ(2008)]]の復刊。
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| − | *{{Cite book|和書
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| − | |author = 松本耕二
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| − | |authorlink = 松本耕二
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| − | |year = 2005
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| − | |month = 11
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| − | |title = リーマンのゼータ関数
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| − | |chapter = 第3章 素数定理
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| − | |series = 開かれた数学 1
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| − | |publisher = 朝倉書店
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| − | |isbn = 4-254-11731-0
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| − | |url= http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11731-8/
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| − | |ref = 松本2005
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| − | }}
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| − | *{{Cite book|和書
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| − | |author = 吉田信夫
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| − | |authorlink = 吉田信夫
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| − | |editor = [[アップ研伸館]]編集
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| − | |year = 2011
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| − | |month = 10
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| − | |title = 複素解析の神秘性 複素数で素数定理を証明しよう!
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| − | |publisher = 現代数学社
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| − | |isbn = 978-4-7687-0416-5
| |
| − | |url = http://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=978-4-7687-0416-5
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| − | |ref = 吉田2011
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| − | }}
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| − | *{{Cite book|和書
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| − | |author = A-M.ルジャンドル
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| − | |authorlink = アドリアン＝マリ・ルジャンドル
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| − | |others = [[高瀬正仁]]訳
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| − | |year = 2007
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| − | |month=12
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| − | |title = 数の理論
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| − | |publisher = 海鳴社
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| − | |isbn = 978-4-87525-245-0
| |
| − | |url = http://www.kaimeisha.com/index.php?%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96
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| − | |ref = ルジャンドル2007}}
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| − | == 関連項目 ==
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| − | {{Wikibooks|de:Beweisarchiv: Zahlentheorie: Analytische Zahlentheorie: Primzahlsatz|素数定理}}
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| − | *[[リーマンゼータ関数|ゼータ関数]]
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| − | *[[リーマン予想]]
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| − | *[[陳の定理]]
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| − | == 外部リンク ==
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| − | *{{MathWorld|title=Prime Number Theorem|urlname=PrimeNumberTheorem}}
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| − | *{{MathWorld|title=Skewes Number|urlname=SkewesNumber}}
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| | {{DEFAULTSORT:そすうていり}} | | {{DEFAULTSORT:そすうていり}} |
| − | | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
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| − | [[pl:Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych]]
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