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| − | '''シュワルツの補題'''（{{lang-de|Schwarzsche Lemma}}、{{lang-en|Schwarz lemma}}）は、[[ドイツ]]の数学者[[ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツ]]にちなむ、[[複素解析]]における[[正則関数]]の性質に関する定理である。複素関数が[[正則]]であるために満たすべき、強い制約条件の1つを端的に示し、[[リーマンの写像定理]]、[[ピカールの定理]]など、[[複素解析]]学における重要な諸定理を証明する上で重要な働きをする。 | + | '''シュワルツの補題'''（{{lang-de|Schwarzsche Lemma}}、{{lang-en|Schwarz lemma}}） |
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| − | == 定理==
| + | 単位円上で正則で原点を動かさない等角写像は, 必ず 2 点の距離を縮小する(しかも一次変換でなければ, 真に縮小する)写像になるという定理. |
| − | 複素関数 ''f'' (''z'') は [[複素平面]] '''C''' の単位円板
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| − | ''D'' = {''z'' : |''z'' | < 1 } 上で[[正則]]かつ |''f'' (''z'') | < 1 を満たし、さらに ''f'' (0) = 0 であるとする。このとき、''D'' の任意の点 ''z'' で
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| − | :<math>|f(z)| \le |z|</math>
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| − | が成り立つ。
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| − | さらに ''D'' - {0} のある点 ''z''<small><sub>0</sub></small> で |''f'' (''z''<small><sub>0</sub></small>) | = | ''z''<small><sub>0</sub></small> | が成り立つか、または |''f'' ' (0) | = 1 ならば、 | ''a'' | = 1 を満たす、ある定数 ''a'' が存在して、 ''D'' で
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | :<math>f(z) = a z\ </math>
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| − | である。
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| − | 仮定がかなり強い特殊な定理に見えるかもしれないが、これは[[正規化]]の結果であり、実際は広く用いることのできる一般的な定理である。
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| − | == 証明==
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| − | まず定理の前半を証明する。
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| − | :<math>g(z) = \frac{f(z)}{z}</math>
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| − | とおくと、''g'' (''z'') は ''D'' - {0} で正則である。また
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| − | :<math>\lim_{z\to 0}g(z) = \lim_{z\to 0} \frac{f(z)-f(0)}{z} = f'(0) \ </math>
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| − | であり、 ''g'' (''z'') は 0 でも正則であるから、結局 ''g'' (''z'') は ''D'' 全体で正則である。
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| − | 0 < ''r'' < 1 である実数 ''r'' を任意に選び、半径 ''r'' の円周 {''z'' : |''z'' | = ''r'' } を ''C<sub>r</sub>'' 、その内側の領域 {''z'' : |''z'' | < ''r'' } を ''D<sub>r</sub>'' とする。
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| − | [[最大絶対値の原理]]から ''D<sub>r</sub>'' ∪ ''C<sub>r</sub>'' 上では |''g'' (''z'') | は最大値を ''C<sub>r</sub>'' 上で取る。このとき ''D'' 上で |''f'' (''z'') | < 1 という条件から、 ''D<sub>r</sub>'' ∪ ''C<sub>r</sub>'' 上で |''g'' (''z'') | < 1 / ''r'' が成り立つ。
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| − | ''r'' を任意に 1 に近づけることを考えれば、 ''D'' 内の任意の点で |''g'' (''z'') | は 1 を超えることができないことがわかる。実際、''D'' 内のある点 ''z''<small><sub>0</sub></small> で |''g'' (''z''<small><sub>0</sub></small>) | > 1 になったと仮定すると、 ''D<sub>r</sub>'' が ''z''<small><sub>0</sub></small> を含み、さらに |''g'' (''z''<small><sub>0</sub></small>) | > 1 / ''r'' となるように ''r'' を選ぶことができるので、矛盾が発生する。従って
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| − | :<math>\forall z \in D, \ |g(z) | \le 1</math>
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| − | が成り立つ。これを言い換えれば
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| − | :<math>\forall z \in D, \ |f(z) | \le |z|</math>
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| − | である。
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| − | 後半を証明する。
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| − | ''D'' - {0} のある点 ''z''<small><sub>0</sub></small> で |''f'' (''z''<small><sub>0</sub></small>) | = |''z''<small><sub>0</sub></small> | であれば、 |''g'' (''z''<small><sub>0</sub></small>) | = 1 である。または |''f'' ' (0) | = 1 であれば ''g'' (0) = ''f'' ' (0) であるから |''g'' (0) | = 1 である。どちらの場合でも、前半の証明から ''D'' 上で |''g'' (''z'') | ≤ 1 であるので、[[最大絶対値の原理]]から ''g'' (''z'') は ''D'' で |''g'' (''z'') | = 1 を満たす定数である。
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| − | これを ''a'' とおけば ''f'' (''z'') = ''az'' であり、定理の主張の通りである。
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| − | ==関連項目==
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| − | * [[複素解析]]
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| − | * [[正則関数]]
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| − | * [[最大絶対値の原理]]
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| − | * [[リーマンの写像定理]]
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| − | * [[ピカールの定理]]
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| − | == 参考文献 ==
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| − | * 遠木幸成・阪井章 『関数論』 学術図書出版社、1966年。
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