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| − | {{要改訳}} | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | 数学、特に[[微分幾何学]]では、'''接続形式'''(connection form)は、[[微分形式]]や{{仮リンク|動標構|en|moving frame}}(moving frame)のことばを使うことにより、[[接続 (幾何学)|接続]]のデータを構成する方法である。
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| − | 歴史的には、接続形式は[[エリ・カルタン]](Élie Cartan)により20世紀の前半に導入された。これは彼の動標構の方法の一部であり、彼の主要な動機であった。接続形式は'''標構'''(frame)（座標系）の選択に依存するので、[[テンソル]]的な対象ではない。接続形式の様々な一般化や再解釈がカルタンの一連の初期の仕事で定式化された。特に、[[主バンドル]]上の[[接続 (主バンドル)|接続]]は、テンソル的な対象として接続形式の自然な再解釈を持っている。他方、接続形式は抽象的な主バンドル上というよりは、むしろ[[微分可能多様体]](differentiable manifold)上に定義された微分形式であるという利点を持っている。従って、テンソル性がないにもかかわらず、それらの計算の実行が比較的容易なため、接続形式は使われ続けている。{{harvtxt|Griffiths|Harris|1978}} {{harvtxt|Wells|1980}} {{harvtxt|Spivak|1999}} また、[[物理学]]でも、接続形式は{{仮リンク|ゲージ共変微分|label=ゲージ共変性|en|gauge covariant derivative}}(gauge covariant derivative)を通して、[[ゲージ理論]]の脈絡で広く使われている。
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| − | 接続形式は、微分形式の[[行列]]のなす[[ベクトルバンドル]]の各々の[[基底 (線型代数学)|基底]]に結びついている。接続形式は、[[基底変換]]で[[レヴィ・チヴィタ接続]]の[[クリストッフェル記号]]と同一な方法で、[[:en:Atlas (topology)#Transition maps|変換写像]](transition functions)の[[微分形式#外微分|外微分]]である変換をする。接続形式の主な'''テンソル的'''な不変量は、接続形式の[[曲率形式]]である。[[接バンドル]]とベクトルバンドルを同一視する{{仮リンク|接合形式|label=標準 1-形式|en|solder form}}(solder form)<ref>日本語では、「接合」"Solder"という用語はあまり使われないようである。しかし、標構(frame)が与えられたときの「標準 1-形式」「標準一次形式」という用語で使われている。</ref>があるときは、別の不変量があり、[[捩れテンソル#捩れ形式|捩れ率形式]]と言われる。多くの場合、接続形式は、ベクトルバンドルに構造群が[[リー群]]である[[ファイバーバンドル]]の構造を付加したものと考えられる。
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| − | <!---In [[mathematics]], and specifically [[differential geometry]], a '''connection form''' is a manner of organizing the data of a [[connection (mathematics)|connection]] using the language of [[moving frame]]s and [[differential form]]s.
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| − | Historically, connection forms were introduced by [[Élie Cartan]] in the first half of the 20th century as part of, and one of the principal motivations for, his method of moving frames. The connection form generally depends on a choice of ''frame'', and so is not a [[tensor]]ial object. Various generalizations and reinterpretations of the connection form were formulated subsequent to Cartan's initial work. In particular, on a [[principal bundle]], a [[connection (principal bundle)|principal connection]] is a natural reinterpretation of the connection form as a tensorial object. On the other hand, the connection form has the advantage that it is a differential form defined on the [[differentiable manifold]], rather than on an abstract principal bundle over it. Hence, despite their lack of tensoriality, connection forms continue to be used because of the relative ease of performing calculations with them.{{harvtxt|Griffiths|Harris|1978}} {{harvtxt|Wells|1980}} {{harvtxt|Spivak|1999}} In [[physics]], connection forms are also used broadly in the context of [[gauge theory]], through the [[gauge covariant derivative]].
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| − | A connection form associates to each [[basis of a vector space|basis]] of a [[vector bundle]] a [[matrix (mathematics)|matrix]] of differential forms. The connection form is not tensorial because under a [[change of basis]], the connection form transforms in a manner that involves the [[exterior derivative]] of the [[Atlas (topology)#Transition maps|transition functions]], in much the same way as the [[Christoffel symbols]] for the [[Levi-Civita connection]]. The main ''tensorial'' invariant of a connection form is its [[curvature form]]. In the presence of a [[solder form]] identifying the vector bundle with the [[tangent bundle]], there is an additional invariant: the [[torsion (differential geometry)|torsion form]]. In many cases, connection forms are considered on vector bundles with additional structure: that of a [[fiber bundle]] with a [[Lie group|structure group]].-->
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| − | ==ベクトルバンドル==
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| − | ===準備===
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| − | ====ベクトルバンドル上の標構====
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| − | E を[[微分可能多様体]] M 上の次元 k のファイバーバンドルとする。E の'''局所標構'''(local frame)とは、E の[[断面 (位相幾何学)|局所切断]]の順序付けられた[[基底 (線型代数学)|基底]]を言う。
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| − | '''e'''=(e<sub>α</sub>)<sub>α=1,2,...,k</sub> を E の局所標構とする。この標構は E の局所的な任意の切断を表現することに使われる。ξ を標構 '''e''' と同じ開集合の上に定義された局所切断をすると、
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| − | :<math>\xi = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e)</math>
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| − | となる。ここに ξ<sup>α</sup>('''e''') は標構 '''e''' の中の ξ の'''成分''' を表すとする。行列の方程式としては、このことは、
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| − | :<math>\xi = {\mathbf e}
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| − | \begin{bmatrix}
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| − | \xi^1(\mathbf e)\\
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| − | \xi^2(\mathbf e)\\
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| − | \vdots\\
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| − | \xi^k(\mathbf e)
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| − | \end{bmatrix}=
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| − | {\mathbf e}\, \xi(\mathbf e)
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| − | </math>
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| − | となっていることを意味する。
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| − | <!---==Vector bundles==
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| − | ===Preliminaries===
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| − | ====Frames on a vector bundle====
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| − | Let ''E'' be a [[vector bundle]] of fibre dimension ''k'' over a [[differentiable manifold]] ''M''. A '''local frame''' for ''E'' is an ordered [[basis of a vector space|basis]] of [[section (fiber bundle)|local sections]] of ''E''.
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| − | Let '''e'''=(''e''<sub>α</sub>)<sub>α=1,2,...,k</sub> be a local frame on ''E''. This frame can be used to express locally any section of ''E''. For suppose that ξ is a local section, defined over the same open set as the frame '''e''', then
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| − | :<math>\xi = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e)</math>
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| − | where ξ<sup>α</sup>('''e''') denotes the ''components'' of ξ in the frame '''e'''. As a matrix equation, this reads
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| − | :<math>\xi = {\mathbf e}
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| − | \begin{bmatrix}
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| − | \xi^1(\mathbf e)\\
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| − | \xi^2(\mathbf e)\\
| |
| − | \vdots\\
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| − | \xi^k(\mathbf e)
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| − | \end{bmatrix}=
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| − | {\mathbf e}\, \xi(\mathbf e)
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| − | </math>-->
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| − | ====外積接続<ref>本記事では、微分作用素（微分形式）が外積代数であることを意識して、外積接続という用語を用いることとする。</ref>====
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| − | {{see also|{{仮リンク|共変外微分|en|Exterior covariant derivative}} }}
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| − | E の{{仮リンク|接続 (ベクトルバンドル)|label=接続|en|connection (vector bundle)}}は、一種の[[微分作用素]]
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| − | :<math>D : \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^1M)</math>
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| − | である。ここに Γ はベクトルバンドルの局所[[断面 (位相幾何学)|切断]]の[[層 (数学)|層]]を表し、Ω<sup>1</sup>M は M の微分 1-形式のバンドルである。D を接続とするためには、正しく[[微分形式#外微分|外微分]]と結合する必要がある。特に、v が E の局所切断であり、f が滑らかな函数であるとすると、
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| − | :<math>D(fv) = v\otimes (df) + fDv</math>
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| − | となる。ここに df は f の外微分である。
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| − | D の定義を任意の{{仮リンク|ベクトル値微分形式|label=E に値を持つ微分形式|en|vector-valued differential form}}(E-valued forms)へ、従って、これを微分作用素の[[外積代数]]全体をもつ E のテンソル積の上の微分作用素とみなすよう拡張すると便利である。この整合性を持つ外積接続 D に対して、D の一意の拡張が存在して、
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| − | :<math> D(v\wedge\alpha) = (Dv)\wedge\alpha + (-1)^{\text{deg}\, v}v\wedge d\alpha</math>
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| − | であるような
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| − | :<math>D : \Gamma(E\otimes\Omega^*M) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^*M)</math>
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| − | 成り立つ。ここに v は 次数 deg v の同次式である。言い換えると、D は次数付き加群 Γ(''E'' ⊗ Ω<sup>*</sup>''M'') の層の上の{{仮リンク|微分 (抽象代数)|label=微分|en|derivation (abstract algebra)}}(derivation)である。
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| − | <!---====Exterior connections====
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| − | {{see also|Exterior covariant derivative}}
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| − | A [[connection (vector bundle)|connection]] in ''E'' is a type of [[differential operator]]
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| − | :<math>D : \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^1M)</math>
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| − | where Γ denotes the [[sheaf (mathematics)|sheaf]] of local [[section (fibre bundle)|sections]] of a vector bundle, and Ω<sup>1</sup>''M'' is the bundle of differential 1-forms on ''M''. For ''D'' to be a connection, it must be correctly coupled to the [[exterior derivative]]. Specifically, if ''v'' is a local section of ''E'', and ''f'' is a smooth function, then
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| − | :<math>D(fv) = v\otimes (df) + fDv</math>
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| − | where ''df'' is the exterior derivative of ''f''.
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| − | Sometimes it is convenient to extend the definition of ''D'' to arbitrary [[vector-valued differential form|''E''-valued forms]], thus regarding it as a differential operator on the tensor product of ''E'' with the full [[exterior algebra]] of differential forms. Given an exterior connection ''D'' satisfying this compatibility property, there exists a unique extension of ''D'':
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| − | :<math>D : \Gamma(E\otimes\Omega^*M) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^*M)</math>
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| − | such that
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| − | :<math> D(v\wedge\alpha) = (Dv)\wedge\alpha + (-1)^{\text{deg}\, v}v\wedge d\alpha</math>
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| − | where ''v'' is homogeneous of degree deg ''v''. In other words, ''D'' is a [[derivation (abstract algebra)|derivation]] on the sheaf of graded modules Γ(''E'' ⊗ Ω<sup>*</sup>''M'').-->
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| − | ===接続形式===
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| − | '''接続形式'''は、特別な標構 '''e''' に対し外積接続を適用したときに起きる。接続形式とは、外積接続を e<sub>α</sub> に適用すると、一意に決まる M 上の[[1-形式]]の k × k 行列 (ω<sub>α</sub><sup>β</sup>) であり、
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| − | :<math>D e_\alpha = \sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha</math>
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| − | となる。ξ = Σ<sub>α</sub> e<sub>α</sub>ξ<sup>α</sup>を仮定すると、接続形式のことばで、任意の E の切断の外積接続を表現することができる。すると、
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| − | :<math>D\xi = \sum_{\alpha=1}^k D(e_\alpha\xi^\alpha(\mathbf e)) = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha\otimes d\xi^\alpha(\mathbf e) + \sum_{\alpha=1}^k\sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e).</math>
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| − | となる。
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| − | 両辺の成分をとると、
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| − | :<math>D\xi(\mathbf e) = d\xi(\mathbf e)+\omega \xi(\mathbf e) = (d+\omega)\xi(\mathbf e)</math>
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| − | となる。ここで、d と ω はそれぞれ、外微分と1-形式の行列であり、ξ の成分に対して作用する。逆に、1-形式のぎ行列 ω は、切断 '''e''' の基底が定義された開集合の上の局所切断を完全決定するためには、'''もともと'''十分である。
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| − | <!---===Connection forms===
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| − | The '''connection form''' arises when applying the exterior connection to a particular frame '''e'''. Upon applying the exterior connection to the ''e''<sub>α</sub>, it is the unique ''k'' × ''k'' matrix (ω<sub>α</sub><sup>β</sup>) of [[one-form]]s on ''M'' such that
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| − | :<math>D e_\alpha = \sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha.</math>
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| − | In terms of the connection form, the exterior connection of any section of ''E'' can now be expressed, for suppose that ξ = Σ<sub>α</sub> e<sub>α</sub>ξ<sup>α</sup>. Then
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| − | :<math>D\xi = \sum_{\alpha=1}^k D(e_\alpha\xi^\alpha(\mathbf e)) = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha\otimes d\xi^\alpha(\mathbf e) + \sum_{\alpha=1}^k\sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e).</math>
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| − | | |
| − | Taking components on both sides,
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| − | :<math>D\xi(\mathbf e) = d\xi(\mathbf e)+\omega \xi(\mathbf e) = (d+\omega)\xi(\mathbf e)</math>
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| − | where it is understood that ''d'' and ω refer to the exterior derivative and a matrix of 1-forms, respectively, acting on the components of ξ. Conversely, a matrix of 1-forms ω is ''a priori'' sufficient to completely determine the connection locally on the open set over which the basis of sections '''e''' is defined.-->
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| − | ====標構の変更====
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| − | 適切な大域的な対象へ ω を拡張するためには、E の切断の規定が異なった場合、どのように振舞うかを見ている必要がある。'''e''' の選択に依存することを、ω<sub>α</sub><sup>β</sup> = ω<sub>α</sub><sup>β</sup>('''e''') と表すことにする。
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| − | '''e'''′ を局所規定の別の選択とすると、函数 g の可逆な k × k 行列が存在し、
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| − | :<math>{\mathbf e}' = {\mathbf e}\, g,\quad \text{i.e., }\,e'_\alpha = \sum_\beta e_\beta g^\beta_\alpha.</math>
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| − | となる。両辺に外積接続を適用すると、ω の変換法則は、
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| − | :<math>\omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}dg+g^{-1}\omega(\mathbf e)g</math>
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| − | となる。特に、ω は、[[テンソル]]的な方法での変換はうまくいかない。ある規定から別な規定を選択するときの規則が転換行列 g の部分を含むからである。
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| − | <!---====Change of frame====
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| − | In order to extend ω to a suitable global object, it is necessary to examine how it behaves when a different choice of basic sections of ''E'' is chosen. Write ω<sub>α</sub><sup>β</sup> = ω<sub>α</sub><sup>β</sup>('''e''') to indicate the dependence on the choice of '''e'''.
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| − | | |
| − | Suppose that '''e'''′ is a different choice of local basis. Then there is an invertible ''k'' × ''k'' matrix of functions ''g'' such that
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| − | :<math>{\mathbf e}' = {\mathbf e}\, g,\quad \text{i.e., }\,e'_\alpha = \sum_\beta e_\beta g^\beta_\alpha.</math>
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| − | Applying the exterior connection to both sides gives the transformation law for ω:
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| − | :<math>\omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}dg+g^{-1}\omega(\mathbf e)g.</math>
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| − | Note in particular that ω fails to transform in a [[tensor]]ial manner, since the rule for passing from one frame to another involves the derivatives of the transition matrix ''g''.-->
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| − | ====大域的接続形式====
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| − | {U<sub>p</sub>} を M の開被覆、各々の U<sub>p</sub> が E の自明化 '''e'''<sub>p</sub> を持っているとすると、オーバーラップした領域で局所接続形式の間に貼り合わせるデータを使い大域的な接続形式を定義することができる。詳しくは、M の'''接続形式'''は、次の整合性条件を満たす各々の ''U''<sub>p</sub> 上に定義された 1-形式の行列 ω('''e'''<sub>p</sub>) の系である。
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| − | :<math>\omega(\mathbf e_q) = (\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}d(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)+(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}\omega(\mathbf e_p)(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q).</math>
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| − | 特に、E の切断を抽象的に E ⊗ Ω<sup>1</sup>M とみなすと、この'''整合性条件'''は、E の切断の外積接続を定義することに使う基底の選択には依存しない。
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| − | <!---====Global connection forms====
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| − | If {''U''<sub>p</sub>} is an open covering of ''M'', and each ''U''<sub>p</sub> is equipped with a trivialization '''e'''<sub>p</sub> of ''E'', then it is possible to define a global connection form in terms of the patching data between the local connection forms on the overlap regions. In detail, a '''connection form''' on ''M'' is a system of matrices ω('''e'''<sub>p</sub>) of 1-forms defined on each ''U''<sub>p</sub> that satisfy the following compatibility condition
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| − | :<math>\omega(\mathbf e_q) = (\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}d(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)+(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}\omega(\mathbf e_p)(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q).</math>
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| − | This ''compatibility condition'' ensures in particular that the exterior connection of a section of ''E'', when regarded abstractly as a section of ''E'' ⊗ Ω<sup>1</sup>''M'', does not depend on the choice of basis section used to define the connection.-->
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| − | ===曲率===
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| − | E の接続形式の'''曲率 2-形式'''(curvature two-form)は、
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| − | :<math>\Omega(\mathbf e) = d\omega(\mathbf e) + \omega(\mathbf e)\wedge\omega(\mathbf e).</math>
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| − | により定義される。接続形式とは異なり、曲率は標構の変換に対しテンソル的に振舞うことが、[[ポアンカレの補題]]を使うことにより確認することができる。特に、'''e''' → '''e'''g が標構の変更である場合、曲率 2-形式は、
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| − | :<math>\Omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}\Omega(\mathbf e)g</math>
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| − | により変換される。この変換法則は次のようにも解釈される。'''e'''<sup>*</sup> を標構 '''e''' の[[双対基底]]とすると、2-形式
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| − | :<math>\Omega={\mathbf e}\Omega(\mathbf e){\mathbf e}^*</math>
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| − | は、標構の選択とは独立である。特に、Ω は[[自己準同型環]]に値を持つ M 上のベクトル値 2-形式である。記号としては、
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| − | :<math>\Omega\in \Gamma(\Omega^2M\otimes \text{Hom}(E,E))</math>
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| − | となる。
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| − | 外積接続 D のことばでは、v ∈ E に対し曲率準同型は、
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| − | :<math>\Omega(v) = D(D v) = D^2v\, </math>
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| − | で与えられる。従って、曲率は、（[[ド・ラームコホモロジー]]の意味で、）次の系列が[[鎖複体]]となることに失敗する度合いを測ることとなる。
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| − | :<math>\Gamma(E)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^1M)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^2M)\ \stackrel{D}{\to}\ \dots\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^n(M)).</math>
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| − | <!---===Curvature===
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| − | The '''curvature two-form''' of a connection form in ''E'' is defined by
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| − | :<math>\Omega(\mathbf e) = d\omega(\mathbf e) + \omega(\mathbf e)\wedge\omega(\mathbf e).</math>
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| − | Unlike the connection form, the curvature behaves tensorially under a change of frame, which can be checked directly by using the [[Poincaré lemma]]. Specifically, if '''e''' → '''e''' ''g'' is a change of frame, then the curvature two-form transforms by
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| − | :<math>\Omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}\Omega(\mathbf e)g.</math>
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| − | One interpretation of this transformation law is as follows. Let '''e'''<sup>*</sup> be the [[dual basis]] corresponding to the frame ''e''. Then the 2-form
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| − | :<math>\Omega={\mathbf e}\Omega(\mathbf e){\mathbf e}^*</math>
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| − | is independent of the choice of frame. In particular, Ω is a vector-valued two-form on ''M'' with values in the [[endomorphism ring]] Hom(''E'',''E''). Symbolically,
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| − | :<math>\Omega\in \Gamma(\Omega^2M\otimes \text{Hom}(E,E)).</math>
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| − | In terms of the exterior connection ''D'', the curvature endomorphism is given by
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| − | :<math>\Omega(v) = D(D v) = D^2v\, </math>
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| − | for ''v'' ∈ ''E''. Thus the curvature measures the failure of the sequence
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| − | :<math>\Gamma(E)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^1M)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^2M)\ \stackrel{D}{\to}\ \dots\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^n(M))</math>
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| − | to be a [[chain complex]] (in the sense of [[de Rham cohomology]]).-->
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| − | ===接合(Soldering)と捩れ(torsion)===
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| − | E のファイバーの次元 k が多様体 M の次元に等しいとする。この場合、ベクトルバンドル E は、{{仮リンク|接合形式|label=標準 1-形式|en|solder form}}(solder form)と呼ばれる接続の傍らに別なデータを持っていることがある。'''標準一次形式'''とは、大域的に{{仮リンク|ベクトル値形式|label=ベクトルに値を持つ 1-形式|en|vector-valued form}}(vector-valued one-form) θ ∈ Γ(Ω<sup>1</sup>(''M'',''E'')) が定義され、写像
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| − | :<math>\theta_x : T_xM \rightarrow E_x</math>
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| − | が全ての x ∈ M について線型同値となっていることを言う。標準 1-形式が与えられると、（外積接続のことばで、）接続の'''[[捩れ]]'''を
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| − | :<math>\Theta = D\theta.\, </math>
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| − | として定義することができる。捩れ Θ は M 上の E に値を持つ 2-形式である。
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| − | 標準 1-形式(solder form)とこれに付帯する捩れは両方とも、E の局所標構のことばで記述することができる。θ が標準 1-形式(solder form)であれば、標構の成分として
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| − | :<math>\theta = \sum_i \theta^i(\mathbf e) e_i.</math>
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| − | と分解できる。従って、捩れの成分は、
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| − | :<math>\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i(\mathbf e) + \sum_j \omega_j^i(\mathbf e)\wedge \theta^j(\mathbf e)</math>
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| − | である。曲率に非常に似ていて、標構の変換の下にΘ が[[ベクトルの共変性と反変性|共変テンソル]](contravariant tensor)として振舞うことを示せる。
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| − | :<math>\Theta^i(\mathbf e\, g)=\sum_j g_j^i \Theta^j(\mathbf e).</math>
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| − | 標構独立な捩れは標構から記述し直すこともできる。
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| − | :<math>\Theta = \sum_i e_i \Theta^i(\mathbf e).</math>
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| − | <!---===Soldering and torsion===
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| − | Suppose that the fibre dimension ''k'' of ''E'' is equal to the dimension of the manifold ''M''. In this case, the vector bundle ''E'' is sometimes equipped with an additional piece of data besides its connection: a [[solder form]]. A '''solder form''' is a globally defined [[vector-valued form|vector-valued one-form]] θ ∈ Γ(Ω<sup>1</sup>(''M'',''E'')) such that the mapping
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| − | :<math>\theta_x : T_xM \rightarrow E_x</math>
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| − | is a linear isomorphism for all ''x'' ∈ ''M''. If a solder form is given, then it is possible to define the '''[[torsion (differential geometry)|torsion]]''' of the connection (in terms of the exterior connection) as
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| − | :<math>\Theta = D\theta.\, </math>
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| − | The torsion Θ is an ''E''-valued 2-form on ''M''.
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| − | A solder form and the associated torsion may both be described in terms of a local frame '''e''' of ''E''. If θ is a solder form, then it decomposes into the frame components
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| − | :<math>\theta = \sum_i \theta^i(\mathbf e) e_i.</math>
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| − | The components of the torsion are then
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| − | :<math>\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i(\mathbf e) + \sum_j \omega_j^i(\mathbf e)\wedge \theta^j(\mathbf e).</math>
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| − | Much like the curvature, it can be shown that Θ behaves as a [[Covariance and contravariance of vectors|contravariant tensor]] under a change in frame:
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| − | :<math>\Theta^i(\mathbf e\, g)=\sum_j g_j^i \Theta^j(\mathbf e).</math>
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| − | The frame-independent torsion may also be recovered from the frame components:
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| − | :<math>\Theta = \sum_i e_i \Theta^i(\mathbf e).</math>-->
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| − | ===例：レヴィ・チヴィタ接続===
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| − | 例として、M には[[リーマン計量]]が入っているとして、M の[[接バンドル]]上の[[レヴィ・チヴィタ接続]]を考える。<ref>{{harvtxt|Spivak|1999}}参照、II.7 では、完全にこの観点からレヴィ・チヴィタ接続を考察している。</ref> 接バンドル上の局所標構は、M の開集合上に定義されたどの点でも線型独立なベクトル場 '''e''' = (e<sub>i</sub> | i = 1,2,...,n=dim M) の順序づけられた基底である。クリストッフェル記号は、
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| − | :<math>\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k(\mathbf e)e_k.</math>
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| − | により、レヴィ・チヴィタ接続を定義する。θ = (θ<sub>i</sub> | i=1,2,...,n) を θ<sub>i</sub>(e<sub>j</sub>) = δ<sub>ij</sub> ([[クロネッカーのデルタ]])) である[[余接バンドル]]の[[双対基底]]を表すとすると、接続形式は、
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| − | :<math>\omega_i^j(\mathbf e) = \sum_k \Gamma_{ki}^j(\mathbf e)\theta^k</math>
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| − | となる。
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| − | 接続形式のことばでは、ベクトル場 v = Σ<sub>i</sub>e<sub>i</sub>v<sup>i</sup> の外積接続は、
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| − | :<math> Dv=\sum_k e_k\otimes(dv^k) + \sum_{j,k}e_k\otimes\omega^k_j(\mathbf e)v^j</math>
| |
| − | により与えられる。通常は、この式から e<sub>i</sub> を取り出して次の式のようにレヴィ・チヴィタ接続として書き直す。
| |
| − | :<math> \nabla_{e_i} v = \langle Dv, e_i\rangle = \sum_k e_k \left(\nabla_{e_i} v^k + \Sigma_j\Gamma^k_{ij}(\mathbf e)v^j\right).</math>
| |
| − | <!---===Example: The Levi-Civita connection===
| |
| − | As an example, suppose that ''M'' carries a [[Riemannian metric]], and consider the [[Levi-Civita connection]] on the [[tangent bundle]] of ''M''.<ref>See {{harvtxt|Spivak|1999}}, II.7 for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.</ref> A local frame on the tangent bundle is an ordered list of vector fields '''e''' = (''e''<sub>i</sub> | i = 1,2,...,n=dim ''M'') defined on an open subset of ''M'' that are linearly independent at every point of their domain. The Christoffel symbols define the Levi-Civita connection by
| |
| − | :<math>\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k(\mathbf e)e_k.</math>
| |
| − | If θ = (θ<sub>i</sub> | i=1,2,...,n), denotes the [[dual basis]] of the [[cotangent bundle]], such that θ<sub>i</sub>(''e''<sub>j</sub>) = δ<sub>ij</sub> (the [[Kronecker delta]]), then the connection form is
| |
| − | :<math>\omega_i^j(\mathbf e) = \sum_k \Gamma_{ki}^j(\mathbf e)\theta^k.</math>
| |
| − | | |
| − | In terms of the connection form, the exterior connection on a vector field ''v'' = Σ<sub>i</sub>''e''<sub>i</sub>''v''<sup>i</sup> is given by
| |
| − | :<math> Dv=\sum_k e_k\otimes(dv^k) + \sum_{j,k}e_k\otimes\omega^k_j(\mathbf e)v^j.</math>
| |
| − | One can recover the Levi-Civita connection, in the usual sense, from this by contracting with ''e''<sub>i</sub>:
| |
| − | :<math> \nabla_{e_i} v = \langle Dv, e_i\rangle = \sum_k e_k \left(\nabla_{e_i} v^k + \Sigma_j\Gamma^k_{ij}(\mathbf e)v^j\right)</math>-->
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| − | | |
| − | ====曲率====
| |
| − | レヴィ・チヴィタ接続の曲率 2-形式は、
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| − | :<math>
| |
| − | \Omega_i^j(\mathbf e) = d\omega_i^j(\mathbf e)+\sum_k\omega_k^j(\mathbf e)\wedge\omega_i^k(\mathbf e)
| |
| − | </math>
| |
| − | により与えられる行列 (Ω<sub>i</sub><sup>j</sup>) である。簡単のために、標構 '''e''' は{{仮リンク|ホロノミック基底|label=ホロノミック|en|Holonomic basis}}(holonomic)、つまり dθ<sup>i</sup>=0 とする。<ref>非ホロノミックな標構では、曲率の表現が微分 dθ<sup>i</sup> を考えに入れねばならないため、一層複雑になる。</ref> インデックスについて繰り返して[[アインシュタインの縮約記法]]を適用すると
| |
| − | :<math>\begin{array}{ll}
| |
| − | \Omega_i^j &= d(\Gamma^j_{qi}\theta^q) + (\Gamma^j_{pk}\theta^p)\wedge(\Gamma^k_{qi}\theta^q)\\
| |
| − | &\\
| |
| − | &=\theta^p\wedge\theta^q\left(\partial_p\Gamma^j_{qi}+\Gamma^j_{pk}\Gamma^k_{qi})\right)\\
| |
| − | &\\
| |
| − | &=\tfrac12\theta^p\wedge\theta^q R_{pqi}{}^j
| |
| − | \end{array}
| |
| − | </math>
| |
| − | を得る。ここに R は[[リーマン曲率テンソル]]である。
| |
| − | <!---====Curvature====
| |
| − | The curvature 2-form of the Levi-Civita connection is the matrix (Ω<sub>i</sub><sup>j</sup>) given by
| |
| − | :<math>
| |
| − | \Omega_i^j(\mathbf e) = d\omega_i^j(\mathbf e)+\sum_k\omega_k^j(\mathbf e)\wedge\omega_i^k(\mathbf e).
| |
| − | </math>
| |
| − | For simplicity, suppose that the frame '''e''' is [[Holonomic basis|holonomic]], so that dθ<sup>i</sup>=0.<ref>In a non-holonomic frame, the expression of curvature is further complicated by the fact that the derivatives dθ<sup>i</sup> must be taken into account.</ref> Then, employing now the [[summation convention]] on repeated indices,
| |
| − | :<math>\begin{array}{ll}
| |
| − | \Omega_i^j &= d(\Gamma^j_{qi}\theta^q) + (\Gamma^j_{pk}\theta^p)\wedge(\Gamma^k_{qi}\theta^q)\\
| |
| − | &\\
| |
| − | &=\theta^p\wedge\theta^q\left(\partial_p\Gamma^j_{qi}+\Gamma^j_{pk}\Gamma^k_{qi})\right)\\
| |
| − | &\\
| |
| − | &=\tfrac12\theta^p\wedge\theta^q R_{pqi}{}^j
| |
| − | \end{array}
| |
| − | </math>
| |
| − | where ''R'' is the [[Riemann curvature tensor]].-->
| |
| − | | |
| − | ====捩れ====
| |
| − | レヴィ・チヴィタ接続は、捩れのない接ベクトルバンドルの中の一意に決まる{{仮リンク|計量接続|en|metric connection}}(metric connection)として特徴づけられる。捩れを記述するために、ベクトルバンドル E が接バンドルであることに注意する。E は標準接合形式（'''標準 1-形式'''と呼ばれることもある）をもっていて、接空間の自己同型に対応する Hom(TM,TM) = T<sup>*</sup>M ⊗ TM の切断 θ である。標構 '''e''' の中では、標準 1-形式(solder form)は θ = Σ<sub>i</sub> ''e''<sub>i</sub> ⊗ θ<sup>i</sup> である。繰り返しではあるが、θ<sup>i</sup> は双対基底である。
| |
| − | | |
| − | 接続の捩れは Θ = Dθ であり、
| |
| − | :<math>\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i+\sum_j\omega^i_j(\mathbf e)\wedge\theta^j</math>
| |
| − | により標準 1-形式(solder form)の標構成分の項で表現される。再び簡単のために、'''e''' をホロノミックとすると、この表現は
| |
| − | :<math>\Theta^i = \Gamma^i_{kj} \theta^k\wedge\theta^j</math>,
| |
| − | となる。この式がゼロとなることと、Γ<sup>i</sup><sub>kj</sub> が小さなインデックスで対称的であることとは同値である。
| |
| − | <!---====Torsion====
| |
| − | The Levi-Civita connection is characterized as the unique [[metric connection]] in the tangent bundle with zero torsion. To describe the torsion, note that the vector bundle ''E'' is the tangent bundle. This carries a canonical solder form (sometimes called the '''canonical one-form''') that is the section θ of Hom(T''M'',T''M'') = T<sup>*</sup>''M'' ⊗ T''M'' corresponding to the identity endomorphism of the tangent spaces. In the frame '''e''', the solder form is θ = Σ<sub>i</sub> ''e''<sub>i</sub> ⊗ θ<sup>i</sup>, where again θ<sup>i</sup> is the dual basis.
| |
| − | | |
| − | The torsion of the connection is given by Θ = ''D'' θ, or in terms of the frame components of the solder form by
| |
| − | :<math>\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i+\sum_j\omega^i_j(\mathbf e)\wedge\theta^j.</math>
| |
| − | Assuming again for simplicity that '''e''' is holonomic, this expression reduces to
| |
| − | :<math>\Theta^i = \Gamma^i_{kj} \theta^k\wedge\theta^j</math>,
| |
| − | which vanishes if and only if Γ<sup>i</sup><sub>kj</sub> is symmetric on its lower indices.-->
| |
| − | | |
| − | ==構造群==
| |
| − | E が{{仮リンク|随伴バンドル|label=構造群|en|associated bundle}}(structure group)を持っている場合は、接続形式のタイプをさらに特定することができる。これは E の標構 '''e''' の特定したクラスを考えると、[[リー群]] G と関連付けられる。例えば、E に{{仮リンク|計量 (ベクトルバンドル)|label=計量|en|metric (vector bundle)}}(metric)<ref>計量をベクトルバンドルとして考える。</ref>があると、各々の点で標構を[[正規直交基底]]として機能させることができる。すると構造群は、標構の正規直交性を満たすので、[[直交群]](orthogonal group)となる。別な例を以下に示す。
| |
| − | * 前のセクションで考えた通常の標構は、k を E のファイバーの次元とすると、構造群 GL(k) を持っている。
| |
| − | * [[複素多様体]]（[[概複素多様体]]でもよい）の正則接バンドル。<ref>Wells (1973).</ref> ここの構造群は GL<sub>n</sub>('''C''') ⊂ GL<sub>2n</sub>('''R''') である。<ref>See for instance Kobayashi and Nomizu, Volume II.</ref> [[エルミート計量]]が与えられている場合には、構造群はユニタリ標構の上の作用する[[ユニタリ群]]へ簡約する。<ref>同上の書籍参照。</ref>
| |
| − | * [[スピン構造]]を持つ多様体上の[[スピノル]]。標構は、スピン空間上の不変内積に関してユニタリであり、群は[[スピン群]]へ簡約される。
| |
| − | * [[CR多様体]]上の正則接バンドル。<ref>Chern と Moserを参照。</ref>
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| − | | |
| − | 一般に、E をファイバー次元が k であるベクトルバンドルとし、G ⊂ GL(k) を '''R'''<sup>k</sup> の一般線型群のリー部分群とする。(e<sub>α</sub>) を E の局所標構とすると、行列に値を持つ函数 (g<sub>i</sub><sup>j</sup>): M → G は、e<sub>α</sub> の上に作用し、新しい標構
| |
| − | :<math>e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta</math>
| |
| − | を生成する。2つのそのような標構は、'''G-バンドルの構造'''を持つ。非公式には、互いに局所的に G に関係している全てのファイバーを持つような標構のクラスを選んだとき、ベクトルバンドル E は G-バンドルの構造を持つという。公式な言い方をすると、E は構造群 G を持つ[[ファイバーバンドル]]であり、構造群の典型的なファイバーは、その上に GL(k) の部分群として自然な G の作用を持つ '''R'''<sup>k</sup> である。
| |
| − | <!---==Structure groups==
| |
| − | A more specific type of connection form can be constructed when the vector bundle ''E'' carries a [[associated bundle|structure group]]. This amounts to a preferred class of frames '''e''' on ''E'', which are related by a [[Lie group]] ''G''. For example, in the presence of a [[metric (vector bundle)|metric]] in ''E'', one works with frames that form an [[orthonormal basis]] at each point. The structure group is then the [[orthogonal group]], since this group preserves the orthonormality of frames. Other examples include:
| |
| − | * The usual frames, considered in the preceding section, have structural group GL(''k'') where ''k'' is the fibre dimension of ''E''.
| |
| − | * The holomorphic tangent bundle of a [[complex manifold]] (or [[almost complex manifold]]).<ref>Wells (1973).</ref> Here the structure group is GL<sub>n</sub>('''C''') ⊂ GL<sub>2n</sub>('''R''').<ref>See for instance Kobayashi and Nomizu, Volume II.</ref> In case a [[hermitian metric]] is given, then the structure group reduces to the [[unitary group]] acting on unitary frames.<ref>Wells, ''ibid''.</ref>
| |
| − | * [[Spinor]]s on a manifold equipped with a [[spin structure]]. The frames are unitary with respect to an invariant inner product on the spin space, and the group reduces to the [[spin group]].
| |
| − | * Holomorphic tangent bundles on [[CR manifold]]s.<ref>See Chern and Moser.</ref>
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| − | | |
| − | In general, let ''E'' be a given vector bundle of fibre dimension ''k'' and ''G'' ⊂ GL(''k'') a given Lie subgroup of the general linear group of '''R'''<sup>k</sup>. If (''e''<sub>α</sub>) is a local frame of ''E'', then a matrix-valued function (''g''<sub>i</sub><sup>j</sup>): ''M'' → ''G'' may act on the ''e''<sub>α</sub> to produce a new frame
| |
| − | :<math>e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta.</math>
| |
| − | Two such frames are '''''G''-related'''. Informally, the vector bundle ''E'' has the '''structure of a ''G''-bundle''' if a preferred class of frames is specified, all of which are locally ''G''-related to each other. In formal terms, ''E'' is a [[fibre bundle]] with structure group ''G'' whose typical fibre is '''R'''<sup>k</sup> with the natural action of ''G'' as a subgroup of GL(''k'').-->
| |
| − | | |
| − | ===整合性を持った接続===
| |
| − | 接続は、ある G-標構から他の G-標構へ常に写像するような（G-バンドルに）付帯する[[平行移動]]により与えられる E の G-バンドルの構造（群）と{{仮リンク|計量整合性|label=整合性|en|metric compatible}}(compatible)を持っている。形式的には、曲線 γ に沿って、行列 g<sub>α</sub><sup>β</sup>（t に依存するかもしれないが）について、次の式が局所的に（つまり、t の充分小さな値で）保たれねばならない。
| |
| − | :<math>\Gamma(\gamma)_0^t e_\alpha(\gamma(0)) = \sum_\beta e_\beta(\gamma(t))g_\alpha^\beta(t) </math>
| |
| − | t=0 での変分すると、
| |
| − | :<math>\nabla_{\dot{\gamma}(0)} e_\alpha = \sum_\beta e_\beta \omega_\alpha^\beta(\dot{\gamma}(0))</math>
| |
| − | であることが分かる。ここに係数 ω<sub>α</sub><sup>β</sup> はリ―群 G の[[リー代数]] g である。
| |
| − | | |
| − | この観察から、
| |
| − | :<math>D e_\alpha = \sum_\beta e_\beta\otimes \omega_\alpha^\beta(\mathbf e)</math>
| |
| − | により定義される接続形式 ω<sub>α</sub><sup>β</sup> は、1-形式の行列 ω<sub>α</sub><sup>β</sup>('''e''') が '''g''' に値を持つとき、構造（群）G と'''整合性を持っている'''という。
| |
| − | | |
| − | さらに、整合性を持つ接続の接続形式は、'''g''' に値を持つ 2-形式である。
| |
| − | <!---===Compatible connections===
| |
| − | A connection is [[metric compatible|compatible]] with the structure of a ''G''-bundle on ''E'' provided that the associated [[parallel transport]] maps always send one ''G''-frame to another. Formally, along a curve γ, the following must hold locally (that is, for sufficiently small values of ''t''):
| |
| − | :<math>\Gamma(\gamma)_0^t e_\alpha(\gamma(0)) = \sum_\beta e_\beta(\gamma(t))g_\alpha^\beta(t) </math>
| |
| − | for some matrix ''g''<sub>α</sub><sup>β</sup> (which may also depend on ''t''). Differentiation at ''t''=0 gives
| |
| − | :<math>\nabla_{\dot{\gamma}(0)} e_\alpha = \sum_\beta e_\beta \omega_\alpha^\beta(\dot{\gamma}(0))</math>
| |
| − | where the coefficients ω<sub>α</sub><sup>β</sup> are in the [[Lie algebra]] '''g''' of the Lie group ''G''.
| |
| − | | |
| − | With this observation, the connection form ω<sub>α</sub><sup>β</sup> defined by
| |
| − | :<math>D e_\alpha = \sum_\beta e_\beta\otimes \omega_\alpha^\beta(\mathbf e)</math>
| |
| − | is '''compatible with the structure''' if the matrix of one-forms ω<sub>α</sub><sup>β</sup>('''e''') takes its values in '''g'''.
| |
| − | | |
| − | The curvature form of a compatible connection is, moreover, a '''g'''-valued two-form.-->
| |
| − | | |
| − | ===標構の変換===
| |
| − | g が M の開集合の上で定義された G に値を持つ函数であるとき、標構の変換
| |
| − | :<math>e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta</math>
| |
| − | に対し、接続形式は、
| |
| − | :<math>\omega_\alpha^\beta(\mathbf e\cdot g) = (g^{-1})_\gamma^\beta dg_\alpha^\gamma + (g^{-1})_\gamma^\beta \omega_\delta^\gamma(\mathbf e)g_\alpha^\delta</math>
| |
| − | を通して変換される。もしくは、行列の積
| |
| − | :<math>\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^{-1}dg + g^{-1}\omega g</math>
| |
| − | を使い変換される。これらの項を解釈するために、g : M → G は G に値を持つ（局所的に定義された）函数であることを思い起こして、このことを頭に置いておくと、
| |
| − | :<math>\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^*\omega_{\mathfrak g} + \text{Ad}_{g^{-1}}\omega(\mathbf e)</math>
| |
| − | であることが分かる。ここに ω<sub>'''g'''</sub> は 群 G の[[モーレー・カルタンの微分形式]]である。これは函数 g に沿った M への{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|pullback (differential geometry)}}(pulled back)であり、Ad はリー代数上の G の[[随伴表現]]である。
| |
| − | <!---===Change of frame===
| |
| − | Under a change of frame
| |
| − | :<math>e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta</math>
| |
| − | where ''g'' is a ''G''-valued function defined on an open subset of ''M'', the connection form transforms via ??? Todo: incorporate index version above as well. ???
| |
| − | :<math>\omega_\alpha^\beta(\mathbf e\cdot g) = (g^{-1})_\gamma^\beta dg_\alpha^\gamma + (g^{-1})_\gamma^\beta \omega_\delta^\gamma(\mathbf e)g_\alpha^\delta.</math>
| |
| − | Or, using matrix products:
| |
| − | :<math>\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^{-1}dg + g^{-1}\omega g.</math>
| |
| − | To interpret each of these terms, recall that ''g'' : ''M'' → ''G'' is a ''G''-valued (locally defined) function. With this in mind,
| |
| − | :<math>\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^*\omega_{\mathfrak g} + \text{Ad}_{g^{-1}}\omega(\mathbf e)</math>
| |
| − | where ω<sub>'''g'''</sub> is the [[Maurer-Cartan form]] for the group ''G'', here [[pullback (differential geometry)|pulled back]] to ''M'' along the function ''g'', and Ad is the [[adjoint representation]] of ''G'' on its Lie algebra.-->
| |
| − | | |
| − | ==主バンドル==
| |
| − | 今まで紹介したように、接続形式は標構の特定の選択に依存する。第一の定義の中では、標構は単に切断の局所的な基底である。各々の標構に対する接続形式は、一つの標構から別の標構へ移行する変換法則によって与えられる。第二の定義の中では、標構自体がリー群によって与えられる付加的な構造をもっていて、標構の変換はこの（付加的な構造の中に）値を取らねばならないという制約を受ける。{{仮リンク|チャールズ・エーレスマン|en|Charles Ehresmann}}(Charles Ehresmann)により1940年代に開拓された主バンドルのことばで、これらの多くの接続形式と、単一の本質的な形式へ接続形式を単一の変換規則により変換する方法を提供した。しかしこのアプローチの欠点は、形式がもはや多様体の上では定義することができず、より大きな主バンドルの上でしか定義できないことである。
| |
| − | <!---==Principal bundles==
| |
| − | The connection form, as introduced thus far, depends on a particular choice of frame. In the first definition, the frame is just a local basis of sections. To each frame, a connection form is given with a transformation law for passing from one frame to another. In the second definition, the frames themselves carry some additional structure provided by a Lie group, and changes of frame are constrained to those that take their values in it. The language of principal bundles, pioneered by [[Charles Ehresmann]] in the 1940s, provides a manner of organizing these many connection forms and the transformation laws connecting them into a single intrinsic form with a single rule for transformation. The disadvantage to this approach is that the forms are no longer defined on the manifold itself, but rather on a larger principal bundle.-->
| |
| − | | |
| − | ===接続形式のための主バンドル===
| |
| − | E → M を構造群 G をもつベクトルバンドルとしよう。M の開被覆 {U} の上で各々の U の上では G-標構に沿っている標構を 、'''e'''<sub>U</sub> よって表すとする。オーバーラップする開集合の交叉 U ∩ V 上で定義された G に値を持つ函数は、ある G に値を持つ函数 h<sub>UV</sub> に対して、
| |
| − | :<math>{\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV}</math>
| |
| − | によって、開集合の交叉が関連付けられる。
| |
| − | <!---===The principal connection for a connection form===
| |
| − | Suppose that ''E'' → ''M'' is a vector bundle with structure group ''G''. Let {''U''} be an open cover of ''M'', along with ''G''-frames on each ''U'', denoted by '''e'''<sub>U</sub>. These are related on the intersections of overlapping open sets by
| |
| − | :<math>{\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV}</math>
| |
| − | for some ''G''-valued function ''h''<sub>UV</sub> defined on ''U'' ∩ ''V''.-->
| |
| − | | |
| − | F<sub>G</sub>E を M の各々の点上に取られたすべての G 標構の集合とする。これは M 上の主 G-バンドルである。詳しくは、G 標構は全て G に関連しているという事実を使い、F<sub>G</sub>E を
| |
| − | :<math>F_GE = \left.\coprod_U U\times G\right/\sim</math>
| |
| − | として、開被覆の集合の間を貼り合わせることが可能である。ここに、[[同値関係]] <math>\sim</math> は、
| |
| − | :<math>((x,g_U)\in U\times G) \sim ((x,g_V) \in V\times G) \iff {\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV} \text{ and } g_U = h_{UV}^{-1}(x) g_V </math>
| |
| − | として定義される。
| |
| − | | |
| − | F<sub>G</sub>E 上で、[[接続 (主バンドル)|主 G-バンドル]]を、各々の積 U × G の上の '''g'''-に値を持つ 1-形式はオーバーラップする領域の上での同値関係とみなすと定義する。最初に、
| |
| − | :<math>\pi_1:U\times G \to U,\quad \pi_2 : U\times G \to G</math>
| |
| − | を射影写像とする。ここで点 (x,g) ∈ U × G に対して、
| |
| − | :<math>\omega_{(x,g)} = Ad_{g^{-1}}\pi_1^*\omega(\mathbf e_U)+\pi_2^*\omega_{\mathbf g}</math>
| |
| − | とおく。このようにして構成された 1-形式 ω は、オーバーラップした集合の間の変換とみなせ、従って、主バンドル F<sub>G</sub>E 上に大域的に定義された 1-形式を与えるとみなせる。ω は、F<sub>G</sub>E へ右から作用する G を生成する生成子を再現し、G の随伴表現を持った T(F<sub>G</sub>E) 上の右からの作用とは同変的に作用するという意味で、主接続である。
| |
| − | <!---Let F<sub>G</sub>''E'' be the set of all ''G''-frames taken over each point of ''M''. This is a principal ''G''-bundle over ''M''. In detail, using the fact that the ''G''-frames are all ''G''-related, F<sub>G</sub>''E'' can be realized in terms of gluing data among the sets of the open cover:
| |
| − | :<math>F_GE = \left.\coprod_U U\times G\right/\sim</math>
| |
| − | where the [[equivalence relation]] ~ is defined by
| |
| − | :<math>((x,g_U)\in U\times G) \sim ((x,g_V) \in V\times G) \iff {\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV} \text{ and } g_U = h_{UV}^{-1}(x) g_V. </math>
| |
| − | | |
| − | On F<sub>G</sub>''E'', define a [[connection (principal bundle)|principal ''G''-connection]] as follows, by specifying a '''g'''-valued one-form on each product ''U'' × ''G'', which respects the equivalence relation on the overlap regions. First let
| |
| − | :<math>\pi_1:U\times G \to U,\quad \pi_2 : U\times G \to G</math>
| |
| − | be the projection maps. Now, for a point (''x'',''g'') ∈ ''U'' × ''G'', set
| |
| − | :<math>\omega_{(x,g)} = Ad_{g^{-1}}\pi_1^*\omega(\mathbf e_U)+\pi_2^*\omega_{\mathbf g}.</math>
| |
| − | The 1-form ω constructed in this way respects the transitions between overlapping sets, and therefore descends to give a globally defined 1-form on the principal bundle F<sub>G</sub>''E''. It can be shown that ω is a principal connection in the sense that it reproduces the generators of the right ''G'' action on F<sub>G</sub>''E'', and equivariantly intertwines the right action on T(F<sub>G</sub>''E'') with the adjoint representation of ''G''.-->
| |
| − | | |
| − | ===主接続に付随する接続形式===
| |
| − | 逆に、主バンドル G-バンドル P→M の中の G-接続 ω は、M 上の接続形式の集まりより構成できる。'''e''' : M → P を P の局所切断とすると、'''e''' に沿った引き戻し ω は、M 上の '''g''' に値を持つ 1-形式
| |
| − | :<math>\omega({\mathbf e}) = {\mathbf e}^*\omega.</math>
| |
| − | である。G に値を持つ函数 g により標構を変えると、ω('''e''') はライプニッツ規則と次の随伴関係を使うことにより、求めている接続形式の方法で変換する。
| |
| − | :<math>\langle X, ({\mathbf e}\cdot g)^*\omega\rangle = \langle [d(\mathbf e\cdot g)](X), \omega\rangle.</math>
| |
| − | ここに X は M 上のベクトルであり、d は{{仮リンク|押し出し (微分形式)|label=プッシュフォワード|en|pushforward (differential)}}(pushforward)を表す。
| |
| − | <!---===Connection forms associated to a principal connection===
| |
| − | Conversely, a principal ''G''-connection ω in a principal ''G''-bundle ''P''→''M'' gives rise to a collection of connection forms on ''M''. Suppose that '''e''' : ''M'' → ''P'' is a local section of ''P''. Then the pullback of ω along '''e''' defines a '''g'''-valued one-form on ''M'':
| |
| − | :<math>\omega({\mathbf e}) = {\mathbf e}^*\omega.</math>
| |
| − | Changing frames by a ''G''-valued function ''g'', one sees that ω('''e''') transforms in the required manner by using the Leibniz rule, and the adjunction:
| |
| − | :<math>\langle X, ({\mathbf e}\cdot g)^*\omega\rangle = \langle [d(\mathbf e\cdot g)](X), \omega\rangle</math>
| |
| − | where ''X'' is a vector on ''M'', and ''d'' denotes the [[pushforward (differential)|pushforward]].-->
| |
| − | | |
| − | ==関連項目==
| |
| − | * {{仮リンク|エーレスマン接続|en|Ehresmann connection}}
| |
| − | * {{仮リンク|カルタン接続|en|Cartan connection}}
| |
| − | * [[アフィン接続]]
| |
| − | * [[曲率形式]]
| |
| − | | |
| − | ==脚注==
| |
| − | {{Reflist}}
| |
| − | | |
| − | ==参考文献==
| |
| − | * Chern, S.-S., ''Topics in Differential Geometry'', Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951.
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| − | * {{citation|author=Chern S. S. and Moser, J.K.|title=Real hypersurfaces in complex manifolds|journal=Acta Math.|volume=133|pages=219–271|year=1974|doi=10.1007/BF02392146}}
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| − | * {{citation| last1=Griffiths | first1=Phillip | last2=Harris | first2=Joseph |author-link1=Phillip Griffiths |author2-link=Joseph Harris |title=Principles of algebraic geometry|isbn=0-471-05059-8|year=1978|publisher=John Wiley and sons}}
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| − | * {{citation | author=Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi | title = [[Foundations of Differential Geometry]], Vol. 1 | publisher=Wiley-Interscience | year=1996|edition=New |isbn = 0-471-15733-3}}
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| − | * {{citation | author=Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi | title = Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 | publisher=Wiley-Interscience | year=1996|edition=New |isbn = 0-471-15732-5}}
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| − | * {{citation|last=Spivak|first=Michael|title=A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 2)|year=1999|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-71-3}}
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| − | * {{citation|last=Spivak|first=Michael|title=A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3)|year=1999|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-72-1}}
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| − | * {{citation|last=Wells|first=R.O.|authorlink=Raymond O. Wells, Jr.|title=Differential analysis on complex manifolds|year=1973|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90419-0}}
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| − | * {{citation|last=Wells|first=R.O.|authorlink=Raymond O. Wells, Jr.|title=Differential analysis on complex manifolds|year=1980|publisher=Prentice–Hall }}
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| − | {{デフォルトソート:せつそくけいしき}}
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