|
|
| 1行目: |
1行目: |
| − | [[Image:Complete graph K3.svg|thumb|2次元正単体（[[正三角形]]）]]
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | [[Image:Tetrahedron.svg|thumb|3次元正単体（[[正四面体]]）]]
| |
| − | [[Image:Cell5-4dpolytope.png|thumb|4次元正単体（[[正五胞体]]）の[[投影図]]]]
| |
| − | '''正単体'''（せいたんたい、regular simplex）は、[[2次元]]の[[正三角形]]、[[3次元]]の[[正四面体]]、[[4次元]]の[[正五胞体]]を各次元に一般化した[[正多胞体]]。なお、0次元正単体は[[点]]、1次元正軸体は[[線分]]である。
| |
| − | | |
| − | また言い換えると、[[単体 (数学)|単体]]である正多胞体、つまり、辺の長さが全て等しい単体である。
| |
| − | | |
| − | '''<math>\alpha</math>体'''（アルファたい）ともいい、''n'' (''n'' ≥ 0) 次元正単体を <math>\alpha_n</math> と書く。
| |
| − | | |
| − | [[超立方体]]（正測体）、[[正軸体]]と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
| |
| − | | |
| − | ==作図==
| |
| − | ''n'' 次元正単体は、''n'' + 1 次元空間内で作図するのが簡単である。<math>(1, 0, 0, \cdots , 0)</math> の巡回
| |
| − | :<math>(1, 0, 0, \cdots , 0), (0, 1, 0, \cdots , 0), \cdots, (0, 0, \cdots , 0, 1)</math>
| |
| − | を[[頂点]]として、互いを[[辺]]で結べばいい。
| |
| − | | |
| − | ''n'' 次元空間内で作図するには、
| |
| − | *座標変換する。
| |
| − | *''n'' - 1 次元単体を作図し、[[重心]]で直交する[[垂線]]上の適切な位置に頂点を追加する。
| |
| − | *自明な0次元単体から開始し、[[再帰的]]に1つ上の次元の正単体を作図する。
| |
| − | | |
| − | などがある。
| |
| − | | |
| − | ==性質==
| |
| − | 特にことわらない限り、辺の長さが ''a'' の ''n'' 次元正単体について述べる。
| |
| − | | |
| − | 超体積は、
| |
| − | :<math>\frac{ \sqrt{n+1} }{ n! \sqrt{2^n} } a^n</math>
| |
| − | 超表面積は
| |
| − | :<math>\frac{ (n+1) \sqrt{n} }{ (n-1)! \sqrt{ 2^{n-1} } } a^{n-1}</math>
| |
| − | である。
| |
| − | | |
| − | [[ファセット]] (''m'' - 1 次元面) は ''n'' - 1 次元超単体である。したがって一般に、''m'' 次元面は ''m'' 次元正単体である。たとえば、面は正三角形、胞は正四面体である。
| |
| − | | |
| − | ''m'' 次元面の個数は
| |
| − | :<math>{}_{n+1}\operatorname{C}_{m+1}</math> | |
| − | である。特に、頂点とファセットはそれぞれ <math>n + 1</math> 個である。
| |
| − | | |
| − | 自らと[[双対]]である。
| |
| − | | |
| − | ペトリー多胞体は ''n'' - 1 次元正軸体である。たとえば、正四面体の[[ペトリー多角形]]は[[正方形]]である。
| |
| − | | |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | *[[単体 (数学)]]
| |
| − | | |
| − | {{DEFAULTSORT:せいたんたい}}
| |
| − | [[Category:正多胞体]]
| |
| − | [[Category:自己双対多胞体]]
| |
| − | [[Category:数学に関する記事]]
| |