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| − | {{要改訳}}
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| − | 数学では、'''ラングランズ・シャヒーディの方法'''(Langlands–Shahidi method)は、[[代数体|数体]]の上の連結[[簡約群]]から発生する多くの場合、発生する[[保型形式のL-函数]]を定義することの意味を与える。このラングランズ・シャヒーディの方法は、[[一般線型群]]のカスプ形式のもつ[[保型表現]]が[[ランキン・セルバーグの方法|ランキン・セルバーグ]]の積を意味していることにある。ラングランズ・シャヒーディの方法は、'''局所係数'''の理論を開発し、このことが[[アイゼンシュタイン級数]]を通して大域理論へ繋がっていて、結果として得られるの [[L-函数]]は、重要な函数等式を含む多くの解析的性質を満たす。
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| − | <!--In mathematics, the '''Langlands–Shahidi method''' provides the means to define [[automorphic L-function]]s in many cases that arise with connected [[reductive group]]s over a [[Algebraic number field|number field]]. This includes [[Rankin–Selberg method|Rankin–Selberg]] products for cuspidal [[automorphic representation]]s of [[general linear group]]s. The method develops the theory of the '''local coefficient''', which links to the global theory via [[Eisenstein series]]. The resulting ''L''-functions satisfy a number of analytic properties, including an important functional equation.-->
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| − | == 局所係数 ==
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| − | 設定は、[[局所体]] F 上に定義された連結で準分岐的簡約群 G と、'''レヴィ部分群'''(Levi subgroup)を持っていることを考える。例えば、G = G<sub>l</sub> はランク l の{{仮リンク|古典群|en|classical group}}(classical group)で、最大レヴィ部分群は GL(m) × G<sub>n</sub> の形をしているものを考える。ここに G<sub>n</sub> はランクが n の古典群で、G<sub>l</sub>, l = m + n と同じ形をしているとする。{{仮リンク|フェイドゥーン・シャヒーディ|en|Freydoon Shahidi}}(F. Shahidi)は、M(F) の既約表現の'''局所係数'''の理論を開発した。<ref name="sh1">F. Shahidi, ''On certain ''L''-functions'', American Journal of Mathematics '''103''' (1981), 297–355.</ref> 表現から放物的に得られる表現の相互作用の理論とペアとなっている{{仮リンク|ウィタッカーモデル|en|Whittaker model}}(Whittaker model)の一意性のおかげで、局所係数は定義される。
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| − | <!--== The local coefficient ==
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| − | The setting is in the generality of a connected quasi-split reductive group ''G'', together with a '''Levi''' subgroup ''M'', defined over a [[local field]] ''F''. For example, if ''G'' = ''G<sub>l</sub>'' is a [[classical group]] of rank ''l'', its maximal Levi subgroups are of the form GL(''m'') × ''G<sub>n</sub>'', where ''G<sub>n</sub>'' is a classical group of rank ''n'' and of the same type as ''G<sub>l</sub>'', ''l'' = ''m'' + ''n''. [[Freydoon Shahidi|F. Shahidi]] develops the theory of the '''local coefficient''' for irreducible generic representations of ''M(F)''.<ref name="sh1">F. Shahidi, ''On certain ''L''-functions'', American Journal of Mathematics '''103''' (1981), 297–355.</ref> The local coefficient is defined by means of the uniqueness property of [[Whittaker model]]s paired with the theory of intertwining operators for representations obtained by parabolic induction from generic representations.-->
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| − | アイゼンシュタイン級数における[[ロバート・ラングランズ]](Robert Langlands)の理論の汎函数方程式に現れる大域相互作用素は<ref name="L1">R. P. Langlands, ''On the Functional Equations Satisfied by Eisenstein Series'', Lecture Notes in Math., Vol. 544, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1976.</ref>、局所相互作用の積として分解することができる。M が最大レヴィ部分群のとき、局所係数は適切に選択されたアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数から出てきて、部分的なL-函数の積を意味する汎函数方程式を満たす。
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| − | <!--The global intertwining operator appearing in the functional equation of [[Robert Langlands|Langlands]]' theory of Eisenstein series<ref name="L1">R. P. Langlands, ''On the Functional Equations Satisfied by Eisenstein Series'', Lecture Notes in Math., Vol. 544, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1976.</ref> can be decomposed as a product of local intertwining operators. When ''M'' is a maximal Levi subgroup, local coefficients arise from Fourier coefficients of appropriately chosen Eisenstein series and satisfy a crude functional equation involving a product of partial ''L''-functions.-->
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| − | == 局所因子と函数等式 ==
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| − | まず最初は、大域的カスプ表現の粗い函数等式 <math>\pi = \otimes' \pi_v</math> を、部分的なL-函数と'''γ-因子'''の個別の函数等式へと精密化することである。<ref name="sh2">F. Shahidi, ''A proof of Langlands conjecture on Plancherel measures; Complementary series for ''p''-adic groups'', Annals of Mathematics '''132''' (1990), 273–330.</ref>
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| − | :<math>L^S(s,\pi,r_i) = \prod_{v \in S} \gamma_i(s,\pi_v,\psi_v) L^S(1-s,\tilde{\pi},r_i).</math>
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| − | <!--== Local factors and functional equation ==
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| − | An induction step refines the crude functional equation of a globally generic cuspidal automorphic representation <math>\pi = \otimes' \pi_v</math> to individual functional equations of partial ''L''-functions and '''γ-factors''':<ref name="sh2">F. Shahidi, ''A proof of Langlands conjecture on Plancherel measures; Complementary series for ''p''-adic groups'', Annals of Mathematics '''132''' (1990), 273–330.</ref>
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| − | :<math>L^S(s,\pi,r_i) = \prod_{v \in S} \gamma_i(s,\pi_v,\psi_v) L^S(1-s,\tilde{\pi},r_i).</math>-->
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| − | 詳細はテクニカルであり、s を複素変数、S を S 以外の v では不分岐で値 <math>\pi_v</math> となる（基礎となる大域体の）座(place)の有限集合とし、<math>r = \oplus r_i</math> を G の[[ラングランズ双対|ラングランズ双対群]]の行列式が 1 の部分群の複素リー代数で、M 上の随伴作用とする。G が[[特殊線型群]] SL(2) であり、M = T が対角行列の最大トーラスのとき、π は[[ヘッケ指標|ヘッケ量指標]](Größencharakter)で、対応する γ-因子は、[[テイト論文]]の局所因子である。
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| − | <!--The details are technical: ''s'' a complex variable, ''S'' a finite set of places (of the underlying global field) with <math>\pi_v</math> unramified for ''v'' outside of ''S'', and <math>r = \oplus r_i</math> is the adjoint action of ''M'' on the complex Lie algebra of a specific subgroup of the Langlands [[dual group]] of ''G''. When ''G'' is the [[special linear group]] SL(2), and ''M'' = ''T'' is the maximal torus of diagonal matrices, then π is a [[Hecke character|Größencharakter]] and the corresponding γ-factors are the local factors of [[John Tate|Tate's thesis]].-->
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| − | γ-因子は函数等式での役割と局所性質の中での役割により、双曲的な導出の観点(parabolic induction)からは多重度として一意に特徴付けられる。それらは、v をアルキメデス的局所体を与える、もしくは、非アルキメデス的で <math>\pi_v</math> が M(F) の不分岐主系列表現の成分であるとき、[[アルティンのL-函数]]と[[アルティンのL-函数#函数等式|アルティンの根]]との関係を意味する。従って、局所 L-函数と根 ε<math>(s,\pi_v,r_{i,v},\psi_v)</math> は、どこでも定義でき、p-進群のラングランズの分類より <math>v \in S</math> を意味する。函数等式は、
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| − | :<math>L(s,\pi,r_i) = \epsilon(s,\pi,r_i) L(1-s,\tilde{\pi},r_i)</math>
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| − | の形をしている。ここに <math>L(s,\pi,r_i)</math> と <math>\epsilon(s,\pi,r_i)</math> は完備化された大域的L-函数と根である。
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| − | <!--The γ-factors are uniquely characterized by their role in the functional equation and a list of local properties, including multiplicativity with respect to parabolic induction. They satisfy a relationship involving [[Artin L-function]]s and [[Artin root number]]s when ''v'' gives an archimedean local field or when ''v'' is non-archimedean and <math>\pi_v</math> is a constituent of an unramified principal series representation of ''M(F)''. Local ''L''-functions and root numbers ε<math>(s,\pi_v,r_{i,v},\psi_v)</math> are then defined at every place, including <math>v \in S</math>, by means of Langlands classification for ''p''-adic groups. The functional equation takes the form
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| − | :<math>L(s,\pi,r_i) = \epsilon(s,\pi,r_i) L(1-s,\tilde{\pi},r_i),</math>
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| − | where <math>L(s,\pi,r_i)</math> and <math>\epsilon(s,\pi,r_i)</math> are the completed global ''L''-function and root number.-->
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| − | == 保型L-函数の例 ==
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| − | * <math>L(s,\pi_1 \times \pi_2)</math>, GL(m) のカスプ的保型表現の <math>\pi_1</math> や <math>\pi_2</math> のランキン・セルバーグのL-函数。
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| − | * <math>L(s,\tau \times \pi)</math>, ここの τ は GL(m) のカスプ的保型表現であり、π は古典群 G の大域的なカスプ的保型表現の生成子である。
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| − | * <math>L(s,\tau,r)</math>, ここの τ は前に定義したもので、r は対象二乗、拡張された二乗、もしくは GL(n) の双対群の浅井表現である。
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| − | '''ラングランズ・シャヒーディのL-函数'''(Langlands–Shahidi L-functions)の全リスト<ref name="sh3">F. Shahidi, ''Eisenstein Series and Automorphic ''L''-functions'', Colloquium Publications, Vol. 58, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010. ISBN 978-0-8218-4989-7</ref> は、準分解群 G や最大レヴィ部分群 M には依存しない。特に、随伴作用 <math>r = \oplus r_i</math> の分解は[[ディンキン図形]](Dynkin diagram)を使い分類される。アイゼンシュタイン級数の理論を使った最初の保型L-函数の研究は、ラングランズの'''オイラー積'''(Euler Products、論文のタイトル)<ref name="la">R. P. Langlands, ''Euler Products'', Yale Univ. Press, New Haven, 1971</ref> で、保型表現がどこでも不分岐であるという前提を設けている。ラングランズ・シャヒーディの方法がもたらしたことは、ウィタッカーモデルの存在を要求すること以外には M の表現について他の条件なしで、L-函数と根を定義したことである。
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| − | <!--== Examples of automorphic ''L''-functions ==
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| − | * <math>L(s,\pi_1 \times \pi_2)</math>, the Rankin–Selberg ''L''-function of cuspidal automorphic representations <math>\pi_1</math> of GL(''m'') and <math>\pi_2</math> of GL(''n'').
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| − | * <math>L(s,\tau \times \pi)</math>, where τ is a cuspidal automorphic representation of GL(''m'') and π is a globally generic cuspidal automorphic representation of a classical group ''G''.
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| − | * <math>L(s,\tau,r)</math>, with τ as before and ''r'' a symmetric square, an exterior square, or an Asai representation of the dual group of GL(''n'').
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| − | A full list of '''Langlands–Shahidi L-functions'''<ref name="sh3">F. Shahidi, ''Eisenstein Series and Automorphic ''L''-functions'', Colloquium Publications, Vol. 58, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2010. ISBN 978-0-8218-4989-7</ref> depends on the quasi-split group ''G'' and maximal Levi subgroup ''M''. More specifically, the decomposition of the adjoint action <math>r = \oplus r_i</math> can be classified using [[Dynkin diagram]]s. A first study of automorphic ''L''-functions via the theory of Eisenstein Series can be found in Langlands' '''Euler Products''',<ref name="la">R. P. Langlands, ''Euler Products'', Yale Univ. Press, New Haven, 1971</ref> under the assumption that the automorphic representations are everywhere unramified. What the Langlands–Shahidi method provides is the definition of ''L''-functions and root numbers with no other condition on the representation of ''M'' other than requiring the existence of a Whittaker model.-->
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| − | == L-函数の解析的性質 ==
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| − | 大域的L-函数は、'''素晴らしい'''性質を持っていると言われている。<ref name="CPS">J. W. Cogdell and I. I. Piatetski–Shapiro, ''Converse theorems for GL(''n'')'', Publications Mathématiques de l'IHÉS '''79''' (1994), 157–214.</ref> もし、条件
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| − | # <math>L(s,\pi,r), \ L(s,\tilde{\pi}, r) \ </math> が複素変数 s の[[整函数]]へ拡張される。
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| − | # <math>L(s,\pi,r), \ L(s,\tilde{\pi},r) \ </math> 垂直な帯状領域に境界を持つ。
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| − | # (Functional Equation) <math>L(s,\pi,r) = \epsilon(s,\pi,r) L(1-s,\tilde{\pi},r)</math>.
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| − | を満たすと、ラングランズ・シャヒーディのL-函数は函数等式を満たす。垂直な帯状領域での境界の研究の前進は、ゲルバート(S. S. Gelbart)とシャヒーディ(F. Shahidi)によりもたらされた。<ref name="GeSh">S. Gelbart and F. Shahidi, ''Boundedness of automorphic ''L''-functions in vertical strips'', Journal of the American Mathematical Society, '''14''' (2001), 79–107.</ref> さらに、高次で分岐する指標によるツイストを考慮して、ラングランズ・シャヒーディのL-函数は、完全函数となる。<ref name="KSh">H. H. Kim and F. Shahidi, ''Functorial products for GL(2) × GL(3) and the symmetric cube for GL(2)'', Annals of Mathematics '''155''' (2002), 837–893.</ref>
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| − | 他の結果としては、L-函数が 0 にならないことである。一般線型群のランキン・セルバーグの積により、<math>L(1+it,\pi_1 \times \pi_2)</math> が任意の実数 t に対して 0 にはならない。<ref name="Shahidi">F. Shahidi, On nonvanishing of L-functions.
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| − | Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 2 (1980), no. 3, 462–464.</ref>
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| − | <!--== Analytic properties of ''L''-functions ==
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| − | Global ''L''-functions are said to be '''nice'''<ref name="CPS">J. W. Cogdell and I. I. Piatetski–Shapiro, ''Converse theorems for GL(''n'')'', Publications Mathématiques de l'IHÉS '''79''' (1994), 157–214.</ref> if they satisfy:
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| − | # <math>L(s,\pi,r), \ L(s,\tilde{\pi}, r) \ </math> extend to [[entire function]]s of the complex variable ''s''.
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| − | # <math>L(s,\pi,r), \ L(s,\tilde{\pi},r) \ </math> are bounded in vertical strips.
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| − | # (Functional Equation) <math>L(s,\pi,r) = \epsilon(s,\pi,r) L(1-s,\tilde{\pi},r)</math>.
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| − | Langlands–Shahidi ''L''-functions satisfy the functional equation. Progress towards boundedness in vertical strips was made by S. S. Gelbart and F. Shahidi.<ref name="GeSh">S. Gelbart and F. Shahidi, ''Boundedness of automorphic ''L''-functions in vertical strips'', Journal of the American Mathematical Society, '''14''' (2001), 79–107.</ref> And, after incorporating twists by highly ramified characters, Langlands–Shahidi ''L''-functions do become entire.<ref name="KSh">H. H. Kim and F. Shahidi, ''Functorial products for GL(2) × GL(3) and the symmetric cube for GL(2)'', Annals of Mathematics '''155''' (2002), 837–893.</ref>
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| − | Another result is the non-vanishing of ''L''-functions. For Rankin–Selberg products of general linear groups it states that <math>L(1+it,\pi_1 \times \pi_2)</math> is non-zero for every real number ''t''.<ref name="Shahidi">F. Shahidi, On nonvanishing of L-functions.
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| − | Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 2 (1980), no. 3, 462–464.</ref>-->
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| − | == 函手性と p-進群の表現論への応用 ==
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| − | * '''古典群の函手性'''(Functoriality for the classical groups)： 古典群のカスプ的な大域的保型表現は、GL(N) への[[ラングランズ・プログラム|ラングランズ函手性]]リフトを持っている。<ref name="CKPSS">J. W. Cogdell, H. H. Kim, I. I. Piatetski–Shapiro, and F. Shahidi, ''Functoriality for the classical groups'', Publications Mathématiques de l'IHÉS '''99''' (2004), 163–233</ref> ここの N は古典群に依存している。従って、ルオ(W. Luo)、ルドニック(Z. Rudnick)、サルナック(P. Sarnak)<ref name="LRS">W. Luo, Z. Rudnick, and P. Sarnak, ''On the generalized Ramanujan conjecture for GL(''n'')'', Proceedings of Symposia in Pure Mathematics '''66''', part 2 (1999), 301–310.</ref> 数体上の GL(N) のラマヌジャン境界は、古典群の[[ラマヌジャン予想|一般化されたラマヌジャン予想]]の非自明な境界である。
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| − | * '''GL(2) の対称べき'''(Symmetric powers for GL(2))： GL(2) のカスプ的保型表現のべきである対称三次べき、対称四次べきの函手正の証明<ref>H. H. Kim, ''Functoriality for the exterior square of GL(4) and the symmetric fourth of GL(2)'', Journal of the American Mathematical Society '''16''' (2002), 131–183.</ref>は、ラングランズ・シャヒーティの方法によって可能となった。高次の対称べきの証明への前進は、GL(2) の保型カスプ形式の[[ラマヌジャン・ピーターソン予想]]の最良な境界を導出している。
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| − | <!--== Applications to functoriality and to representation theory of ''p''-adic groups ==
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| − | * '''Functoriality for the classical groups''': A cuspidal globally generic automorphic representation of a classical group admits a [[Langlands program|Langlands functorial]] lift to an automorphic representation of GL(''N''),<ref name="CKPSS">J. W. Cogdell, H. H. Kim, I. I. Piatetski–Shapiro, and F. Shahidi, ''Functoriality for the classical groups'', Publications Mathématiques de l'IHÉS '''99''' (2004), 163–233</ref> where ''N'' depends on the classical group. Then, the Ramanujan bounds of W. Luo, Z. Rudnick and P. Sarnak<ref name="LRS">W. Luo, Z. Rudnick, and P. Sarnak, ''On the generalized Ramanujan conjecture for GL(''n'')'', Proceedings of Symposia in Pure Mathematics '''66''', part 2 (1999), 301–310.</ref> for GL(''N'') over number fields yield non-trivial bounds for the [[Ramanujan–Peterson conjecture|generalized Ramanujan conjecture]] of the classical groups.
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| − | * '''Symmetric powers for GL(2)''': Proofs of functoriality for the symmetric cube and for the symmetric fourth<ref>H. H. Kim, ''Functoriality for the exterior square of GL(4) and the symmetric fourth of GL(2)'', Journal of the American Mathematical Society '''16''' (2002), 131–183.</ref> powers of cuspidal automorphic representations of GL(2) were made possible by the Langlands–Shahidi method. Progress towards higher Symmetric powers leads to the best possible bounds towards the [[Ramanujan–Peterson conjecture]] of automorphic cusp forms of GL(2).-->
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| − | * '''p-進群の表現'''(Representations of p-adic groups)： （プランシュレル公式の）{{仮リンク|ハリシュ-チャンドラ|en|Harish-Chandra}}(Harish-Chandra)の μ 函数や p-進簡約群の補系列への応用が可能となっている。例えば、GL(n) は、古典群 G のジーゲルのレヴィ部分群として現れる。π は p-進数の体 F 上の FL(n, F) の滑らかな既約な分岐を持つスーパーカスプ表現で <math>I(\pi) = I(0,\pi)</math> が既約であれば、
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| − | # <math>I(s,\pi)</math> が既約で、0 < s < 1 に対して、補系列である。
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| − | # <math>I(1,\pi)</math> は被約であり、一意に非スーパーカスプ的離散離散系列の部分表現である。
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| − | # <math>I(s,\pi)</math> は既約で、s > 1 に対して補系列にはならない。
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| − | :ここに、<math>I(s,\pi)</math> は次のユニタリ双曲な導出によって得られる。
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| − | :* G = SO(2n) もしくは、U(n+1, n) のときは、<math>\pi \otimes |\det|^s</math>
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| − | :* G = SO(2n + 1) もしくは、U(n, n) のときは、<math>\pi \otimes |\det|^{s/2}</math>
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| − | <!--* '''Representations of ''p''-adic groups''': Applications involving [[Harish-Chandra]] μ functions (from the Plancherel formula) and to complementary series of ''p''-adic reductive groups are possible. For example, GL(''n'') appears as the Siegel Levi subgroup of a classical group G. If π is a smooth irreducible ramified supercuspidal representation of GL(''n'', ''F'') over a field ''F'' of ''p''-adic numbers, and <math>I(\pi) = I(0,\pi)</math> is irreducible, then:
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| − | # <math>I(s,\pi)</math> is irreducible and in the complementary series for 0 < ''s'' < 1;
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| − | # <math>I(1,\pi)</math> is reducible and has a unique generic non-supercuspidal discrete series subrepresentation;
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| − | # <math>I(s,\pi)</math> is irreducible and never in the complementary series for ''s'' > 1.
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| − | Here, <math>I(s,\pi)</math> is obtained by unitary parabolic induction from
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| − | :*<math>\pi \otimes |\det|^s</math> if ''G'' = SO(2''n''), Sp(2''n''), or U(''n''+1, ''n'');
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| − | :*<math>\pi \otimes |\det|^{s/2}</math> if ''G'' = SO(2''n''+1) or U(''n'', ''n'').-->
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| − | == 参考文献 ==
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| − | {{Reflist}}
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| − | {{DEFAULTSORT:らんくらんすしやひいていのほうほう}}
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| − | [[Category:保型形式論]]
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| − | [[Category:表現論]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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