|
|
| 1行目: |
1行目: |
| − | '''完全系'''（かんぜんけい、{{Lang-en-short|complete system}}<ref>{{Cite book|1 =和書|author =[[文部省]]|coauthors =[[日本物理学会]]編|title =[[学術用語集]] 物理学編|url =http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi|year =1990|publisher =[[培風館]]|isbn =4-563-02195-4|page =}}{{リンク切れ|date=2017年10月 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>）とは、ある[[関数]]や[[ベクトル]]の[[集合]]が、任意の関数やベクトルなどを[[線形結合]]で[[展開]]できる時の集合のこと。 | + | '''完全系'''（かんぜんけい、{{Lang-en-short|complete system}}<ref>{{Cite book|1 =和書|author =[[文部省]]|coauthors =[[日本物理学会]]編|title =[[学術用語集]] 物理学編|url =http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi|year =1990|publisher =[[培風館]]|isbn =4-563-02195-4|page =}}{{リンク切れ|date=2017年10月 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>） |
| | | | |
| − | == ベクトルの完全系 ==
| + | 準同型列で各準同型の核が直前の準同型の像と一致するようなもの. |
| − | [[ヒルベルト空間]] <math>\mathcal{H}</math> 上のどんなベクトル <math>|\psi\rangle</math> も、同じ <math>\mathcal{H}</math> 上のベクトル達 <math>\{|1\rangle,|2\rangle, \dots \}</math> の線形結合で表せる場合、<math>\{|1\rangle,|2\rangle, \cdots \}</math> は <math>\mathcal{H}</math> の完全系を成す、と言う。このとき、任意のベクトル <math>|\psi\rangle</math> は以下のように表される。
| |
| − | : <math>| \psi \rangle = c_1 | 1 \rangle + c_2 | 2 \rangle + \cdots =\sum_n c_n |n\rangle </math>
| |
| − | === 完全性関係 ===
| |
| − | 以下の関係を'''完全性関係'''と呼ぶ。
| |
| − | : <math>\sum_n | n \rangle \langle n | = \hat{1} </math>
| |
| − | <math>\{ |n\rangle \}</math> がこの完全性関係を満たす場合、<math>\{ |n\rangle \}</math> は完全形を成す。逆に、<math>\{ |n\rangle \}</math> が完全系ならば、<math>\{ |n\rangle \}</math> について完全性関係が成り立つ。
| |
| | | | |
| − | == 関数の完全系 ==
| |
| − | 任意の関数が、ある直交関数系で展開できるとき、この直交関数系を完全系と呼ぶ。
| |
| − |
| |
| − | * <math>\{ 1, \cos x, \cos 2x,\dots, \sin x, \sin 2x, \dots \} \ </math> は完全系である。よって、<math>-\pi \le x \le \pi</math> の範囲における任意の関数をこの線形結合で表せる。
| |
| − |
| |
| − | * [[球面調和関数]]や[[ルジャンドル多項式]]も、以下の直交関係を満たす完全系である。
| |
| − | *: <math>\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m(\theta,\varphi) \, Y_{\ell'}^{m'*}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\, d\theta\, d\varphi=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}</math>
| |
| − | *: <math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>
| |
| − |
| |
| − | * 他の完全系の例としては、[[エルミート多項式]]、[[ラゲール多項式]]、[[ゲーゲンバウアー多項式]]、[[ベッセル関数]]などがある。
| |
| − |
| |
| − | == 脚注 ==
| |
| − | {{脚注ヘルプ}}
| |
| − | {{Reflist}}
| |
| − |
| |
| − | == 参考文献 == <!-- {{Cite book}}、{{Cite journal}} -->
| |
| − | * {{Cite book|和書
| |
| − | |author=J.J. Sakurai
| |
| − | |authorlink=J.J.サクライ
| |
| − | |others=[[桜井明夫]]訳
| |
| − | |year=1989
| |
| − | |month=2
| |
| − | |title=現代の量子力学
| |
| − | |volume=上
| |
| − | |series=物理学叢書56
| |
| − | |publisher=[[吉岡書店]]
| |
| − | |isbn=978-4-8427-0222-3
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | <!-- {{Commonscat|Complete system}} -->
| |
| − | * [[正規直交系]]
| |
| − | * [[数学に関する記事の一覧]]
| |
| − |
| |
| − | <!-- == 外部リンク == {{Cite web}} -->
| |
| | | | |
| | {{DEFAULTSORT:かんせんけい}} | | {{DEFAULTSORT:かんせんけい}} |
| 50行目: |
9行目: |
| | [[Category:量子力学]] | | [[Category:量子力学]] |
| | [[Category:数学に関する記事]] | | [[Category:数学に関する記事]] |
| − | | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | <!-- [[en:Complete system]] -->
| |