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| − | {{要改訳}} | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | [[File:Example of a hyperelliptic curve.svg|320px|right|thumb|図 1. 超楕円曲線]]
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| − | 代数幾何学では、'''超楕円曲線'''(hyperelliptic curve)は、次の形の方程式で与えられる[[代数曲線]]である。
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| − | :<math>y^2 = f(x)</math>
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| − | ここに、f(x) は n 個の異なった根を持つ次数 n > 4 の多項式である。'''超楕円函数'''(hyperelliptic function)は、そのような曲線上の、もしくは曲線上の[[ヤコビ多様体]]上の[[代数多様体の函数体|函数体]]の元である。これらの 2つの概念は[[楕円曲線]]の場合には一致するが、しかし、現在のケースでは異なっている。図 1 は、
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| − | :<math>\begin{align} f(x) &= x^5 - 2x^4-7x^3 + 8x^2 + 12x \\
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| − | &= x (x + 1) (x - 3) (x + 2) (x - 2)\end{align}</math>
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| − | としたときの、<math>C : y^2 = f(x)</math> のグラフである。
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| − | <!--== Hyperelliptic curve ==
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| − | [[File:Example of a hyperelliptic curve.svg|300px|right|thumb|Fig. 1. A hyperelliptic curve]]
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| − | In [[algebraic geometry]], a '''hyperelliptic curve''' is an [[algebraic curve]] given by an equation of the form
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| − | :<math>y^2 = f(x)</math>
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| − | where ''f(x)'' is a [[polynomial]] of degree ''n'' > 4 with ''n'' distinct roots. A '''hyperelliptic function''' is an element of the [[function field of an algebraic variety|function field]] of such a curve or possibly of the [[Jacobian variety]] on the curve, these two concepts being the same in the [[elliptic function]] case, but different in the present case. Fig. 1 is the graph of <math>C : y^2 = f(x)</math> where
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| − | :<math>f(x) = x^5 - 2x^4-7x^3 + 8x^2 + 12x = x (x + 1) (x - 3) (x + 2) (x - 2). </math>-->
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| − | ==曲線の種数==
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| − | 多項式の次数は、曲線の[[種数]]を決定する。次数 2g + 1 と 2g + 2 の多項式で定義される超楕円曲線は、種数 g となる。3 次あるいは 4 次（g=1）の多項式で定義される曲線は、種数 1 の[[楕円曲線]]である（特別な一点を付加して）。
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| − | 次数が 2g + 1 のときは、曲線は{{仮リンク|虚超楕円曲線|en|imaginary hyperelliptic curve}}(imaginary hyperelliptic curve)と呼ばれる。一方、次数 2g + 2 の曲線は{{仮リンク|実超楕円曲線|en|real hyperelliptic curve}}(real hyperelliptic curve)と呼ばれる。種数に関するこの呼び方は、g = 0 や 1 に対しても成り立つが、それらの曲線を「超楕円曲線」とは呼ばない。
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| − | <!--==Genus of the curve==
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| − | The degree of the polynomial determines the [[genus (mathematics)|genus]] of the curve: a polynomial of degree 2''g'' + 1 or 2''g'' + 2 gives a curve of genus ''g''. When the degree is equal to 2''g'' + 1, the curve is called an [[imaginary hyperelliptic curve]]. Meanwhile, a curve of degree 2''g'' + 2 is termed a [[real hyperelliptic curve]]. This statement about genus remains true for ''g'' = 0 or 1, but those curves are not called "hyperelliptic". Rather, the case ''g'' = 1 (if we choose a distinguished point) is an [[elliptic curve]]. Hence the terminology.-->
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| − | ==モデルの基本と選択==
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| − | このモデルが超楕円曲線を記述することに最も単純な方法であるときに、そのような方程式は[[射影平面]]では'''無限遠点'''で[[特異点]]をもつことになる。この様子は n > 4 のときには特別になる。従って、非特異曲線を指定するそのような方程式を与えることは、ほとんど常に、非特異モデル（{{仮リンク|滑らかな完備化|en|smooth completion}}(smooth completion)とも言う）と、[[双有理幾何学]]の意味で同値となることを意味する。
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| − | <!--==Formulation and choice of model==
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| − | While this model is the simplest way to describe hyperelliptic curves, such an equation will have a [[Mathematical singularity|singular point]] ''at infinity'' in the [[projective plane]]. This feature is specific to the case ''n'' > 4. Therefore in giving such an equation to specify a non-singular curve, it is almost always assumed that a non-singular model (also called a [[smooth completion]]), equivalent in the sense of [[birational geometry]], is meant.-->
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| − | さらに詳しくは、方程式は、'''C'''(x) の[[クンマー理論#クンマー拡大|二次拡大]]を定義し、函数体となることを意味している。無限遠点での特異点は、正規化（{{仮リンク|整閉|en|integral closure}}(integral closure)）の過程により、（曲線であるために、）除去される。特異点を除去した後は、2つのアフィンチャートにより曲線の開被覆が存在する。2つのチャートの内のひとつは、
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| − | :<math>y^2 = f(x)</math>
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| − | であり、いまひとつは、
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| − | :<math>w^2 = v^{2g+2}f(1/v)</math>
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| − | により与えられる。
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| − | <!--To be more precise, the equation defines a [[quadratic extension]] of '''C'''(''x''), and it is that function field that is meant. The singular point at infinity can be removed (since this is a curve) by the normalization ([[integral closure]]) process. It turns out that after doing this, there is an open cover of the curve by two affine charts: the one already given by
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| − | :<math>y^2 = f(x) \,</math>
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| − | and another one given by
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| − | :<math>w^2 = v^{2g+2}f(1/v) \,</math>.-->
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| − | <!--To be more precise, the equation defines a [[quadratic extension]] of '''C'''(''x''), and it is that function field that is meant. The singular point at infinity can be removed (since this is a curve) by the normalization ([[integral closure]]) process. It turns out that after doing this, there is an open cover of the curve by two affine charts: the one already given by
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| − | :<math>y^2 = f(x) \,</math>
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| − | and another one given by
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| − | :<math>w^2 = v^{2g+2}f(1/v) \,</math>.-->
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| − | 2つのチャートを貼り合わせる写像は、
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| − | :<math>(x,y)\mapsto (1/x, y/x^{g+1})</math>
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| − | と、
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| − | :<math>(v,w)\mapsto (1/v, w/v^{g+1})</math>
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| − | により、これらが定義されるところはどこでも定義される。
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| − | <!--The glueing maps between the two charts are given by
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| − | :<math>(x,y)\mapsto (1/x, y/x^{g+1})</math>
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| − | and
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| − | :<math>(v,w)\mapsto (1/v, w/v^{g+1}),</math>
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| − | wherever they are defined.-->
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| − | 実際、幾何学的に端的に言うと、曲線 C は[[射影平面]]の分岐する二重被覆として定義されていることを前提としており、分岐は f の根で発生し、無限遠点では奇数の n に対しても発生する。このように、射影直線の[[自己同型]]を使い、[[分岐]]を無限遠点から移動することにより、n が 2g + 1 と 2g + 2 の場合は統一することができる。
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| − | <!--In fact geometric shorthand is assumed, with the curve ''C'' being defined as a ramified double cover of the [[projective line]], the ramification occurring at the roots of ''f'', and also for odd ''n'' at the point at infinity. In this way the cases ''n'' = 2''g'' + 1 and 2''g'' + 2 can be unified, since we might as well use an [[automorphism]] of the projective line to move any [[ramification]] point away from infinity.-->
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| − | <!--==超楕円曲線の起源と応用==
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| − | 種数 2 の曲線は全て超楕円曲線であるが、種数 ≥ 3 に対しては、元となる曲線は超楕円曲線ではない。このことは、発見的には、[[モジュライ空間]]の次元を検証することにより分かる。Counting constants, with ''n'' = 2''g'' + 2, the collection of ''n'' points subject to the action of the automorphisms of the projective line has (2''g'' + 2) − 3 degrees of freedom, which is less than 3''g'' − 3, the number of moduli of a curve of genus ''g'', unless ''g'' is 2.「一般」の非超楕円曲線を単純モデルで表すことはより困難であるが、[[アーベル多様体]]のモジュライ空間の中の'''超楕円軌跡'''(hyperelliptic locus)については多くのことが知られている{{clarify|What does the reference to abelian varieties mean?|date=December 2012}}。<ref>http://www.ams.org/journals/proc/1996-124-07/S0002-9939-96-03312-6/S0002-9939-96-03312-6.pdf</ref> 超楕円曲線の一つの幾何学的特徴付けは、{{仮リンク|ヴァイエルシュトラス点|en|Weierstrass point}}(Weierstrass point)を経由する方法である。より詳細な非超楕円曲線の幾何学は、[[標準バンドル|標準曲線]]の理論から理解できて、{{仮リンク|標準写像|en|canonical mapping}}(canonical mapping)は超楕円曲線に対しては 2：1 の対応であり、g > 2 の非超楕円曲線に対しては 1：1 である。{{仮リンク|三次曲線|en|Trigonal curve}}(Trigonal curve)は、平方根ではなく、三乗根を取る多項式に対応する曲線である。-->
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| − | <!--==Occurrence and applications==
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| − | All curves of genus 2 are hyperelliptic, but for genus ≥ 3 the generic curve is not hyperelliptic. This is seen heuristically by a [[moduli space]] dimension check. Counting constants, with ''n'' = 2''g'' + 2, the collection of ''n'' points subject to the action of the automorphisms of the projective line has (2''g'' + 2) − 3 degrees of freedom, which is less than 3''g'' − 3, the number of moduli of a curve of genus ''g'', unless ''g'' is 2. Much more is known about the ''hyperelliptic locus'' in the moduli space of curves or [[abelian varieties]],{{clarify|What does the reference to abelian varieties mean?|date=December 2012}} though it is harder to exhibit ''general'' non-hyperelliptic curves with simple models.<ref>http://www.ams.org/journals/proc/1996-124-07/S0002-9939-96-03312-6/S0002-9939-96-03312-6.pdf</ref> One geometric characterization of hyperelliptic curves is via [[Weierstrass point]]s. More detailed geometry of non-hyperelliptic curves is read from the theory of [[canonical curve]]s, the [[canonical mapping]] being 2-to-1 on hyperelliptic curves but 1-to-1 otherwise for ''g'' > 2. [[Trigonal curve]]s are those that correspond to taking a cube root, rather than a square root, of a polynomial.-->
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| − | <!--有理函数体の二次拡大による定義は、標数が 2 の場合を除き、一般の体上で成り立つ。体が分離的と言う前提では{{clarify|date=December 2012}}、すべての場合に対し、射影直線の分岐した二重被覆としての幾何学的定義は有効である。
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| − | 超楕円曲線は、[[離散対数]]を基礎とした{{仮リンク|暗号体系|en|cryptosystem}}(cryptosystem)の{{仮リンク|超楕円暗号|en|hyperelliptic curve cryptography}}(hyperelliptic curve cryptography)に使われる。
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| − | 超楕円曲線は、アーベル微分のモジュライ空間のあるスペクトルの完全な連結成分にも現れる。<ref>http://www.springerlink.com/content/p38tra7jahh21whr/, http://arxiv.org/pdf/math.GT/0201292.pdf</ref>-->
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| − | <!--The definition by quadratic extensions of the rational function field works for fields in general except in characteristic 2; in all cases the geometric definition as a ramified double cover of the projective line is available, if it{{clarify|date=December 2012}} is assumed to be separable.
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| − | Hyperelliptic curves can be used in [[hyperelliptic curve cryptography]] for [[cryptosystem]]s based on the [[discrete logarithm problem]].
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| − | Hyperelliptic curves also appear composing entire connected components of certain strata of the moduli space of Abelian differentials.<ref>http://www.springerlink.com/content/p38tra7jahh21whr/, http://arxiv.org/pdf/math.GT/0201292.pdf</ref>-->
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| − | == リーマン・フルヴィッツの公式を使うと ==
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| − | [[リーマン・フルヴィッツの公式]]と使うと、種数 g を持つ超楕円曲線は、次数 n = 2g + 2 の多項式で定義される。X を種数 g の曲線、P<sup>1</sup> を[[リーマン球面]]として、分岐指数 2 の全単射 f : X → P<sup>1</sup> を考える。g<sub>1</sub> = g とし、g<sub>0</sub> を P<sup>1</sup> の種数（つまり = 0 であるが）とすると、リーマン・フルヴィッツの公式は、
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| − | :<math>2-2g_1 =2(1-g_0)-\sum_{s \in X}(e_s-1)</math>
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| − | となる。ここに s は X の上の全ての分岐点を渡る。分岐点の数は有限であり、n とすると n = 2g + 2 を得る。
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| − | <!--== Using Riemann-Hurwitz formula ==
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| − | Using [[Riemann-Hurwitz formula]], the hyperelliptic curve with genus ''g'' is defined by a equation with degree ''n'' = 2''g'' + 2. Suppose the bijective morphism ''f'' : ''X'' → P<sup>1</sup> with ramification degree ''2'', where ''X'' is a curve with genus ''g'' and P<sup>1</sup> is the [[Riemann sphere]]. Let ''g''<sub>1</sub> = ''g'' and ''g''<sub>0</sub> be the genus of P<sup>1</sup> ( = 0 ), then the Riemann-Hurwitz formula turns out to be
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| − | :<math>2-2g_1 =2(1-g_0)-\sum_{s \in X}(e_s-1)</math>
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| − | where s is over all ramified points on X. The number of ramified points is finite, n, so ''n'' = 2''g'' + 2.-->
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| − | ==分類==
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| − | 与えられた種数 g の超楕円曲線は、モジュライ空間をなし、次数 2g + 2 の{{仮リンク|二次形式の不変量|en|invariants of a binary form}}(invariants of a binary form)と密接に関連している。
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| − | <!--==Classification==
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| − | Hyperelliptic curves of given genus ''g'' have a moduli space, closely related to the ring of [[invariants of a binary form]] of degree 2''g''+2.-->
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| − | ==整数点および有理点==
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| − | 非特異な超楕円曲線は種数が2以上であるため、[[整数点についてのジーゲルの定理]]から整数点（一般に、任意の与えられた[[整数環]]上の点）は有限個しか存在しない。さらに、[[ベイカーの定理]]から整数点の大きさに対して上界を実際に求めることができる。
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| − | さらに、[[ファルティングスの定理]]より有理点（一般に、任意の与えられた[[代数体]]上の点）も有限個しか存在しない。しかし、有理点の個数に対して、具体的な上からの評価を求めることはできるが、有理点の大きさの上界が得られるわけではない。そのため、この定理を使って有理点をすべて求めることはできない。
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| − | {{harvs|txt|last=Chabauty|year1=1941a|year2=1941b}}は超楕円曲線の[[ヤコビ多様体]]の階数が小さいときに、有理点の個数の上界を求める方法を開発し、{{harvtxt|Coleman|1985}}は実際にいくつかの場合に具体的な上界を得ている。さらに場合によってはその方法を使って有理点をすべて決定することができる。たとえば
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| − | :<math>y^2=x(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)</math>
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| − | の有理点は (''x'', ''y'') = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (5, 0), (6, 0), (3, ±6), (10, ±120) のみであることが{{harvtxt|Grant|1994}}により示されている。
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| − | ==例==
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| − | {{仮リンク|ボルツァ曲面|en|Bolza surface}}(Bolza surface) を参照。
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| − | ==歴史==
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| − | 超楕円函数は、最初に{{仮リンク|アドルフ・ゲッペル|en|Adolph Göpel}}(Adolph Göpel) (1812-1847) により、彼の最後の論文 ''Abelsche Transcendenten erster Ordnung'' (Abelian transcendents of first order) (in [[Crelle's Journal|Journal für reine und angewandte Mathematik]], vol. 35, 1847) として出版された。独立して、{{仮リンク|ヨハン・ローゼンハイン|en|Johann G. Rosenhain}}(Johann G. Rosenhain)は、この問題に取り組み、''Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung'' (in Mémoires des sa vanta etc., vol. 11, 1851) を出版した。
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| − | <!--==History==
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| − | Hyperelliptic functions were first published by [[Adolph Göpel]] (1812-1847) in his last paper ''Abelsche Transcendenten erster Ordnung'' (Abelian transcendents of first order) (in [[Crelle's Journal|Journal für reine und angewandte Mathematik]], vol. 35, 1847). Independently [[Johann G. Rosenhain]] worked on that matter and published ''Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung'' (in Mémoires des sa vanta etc., vol. 11, 1851).-->
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| − | ==参照項目==
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| − | * {{仮リンク|スーパー楕円曲線|en|Superelliptic curve}}(Superelliptic curve) '''スーパー楕円曲線'''とは、固定された m に対し、f が次数 d の多項式のとき、
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| − | :<math>y^m = f(x)</math>
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| − | の形の方程式で定義される曲線を言う。m = 2 で d > 4 のときは、超楕円曲線である。m = 3 で d = 4 のときは三次曲線である。スーパー楕円曲線の上の整数点を探すディオファントス問題は、超楕円方程式の解を求めるときに使う方法と同じ方法によりとくことができる。ジーゲル(Siegel)の恒等式を使い、ツエ(Thue)の方程式を求めることができる。
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| − | ==参考文献==
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| − | * {{cite journal | first=C. | last=Chabauty | title=Sur les points rationels des courbes algébriques de genre supérieur à unité | journal=C. R. Acad. Sei. Paris | volume=212 | year=1941a | pages=882–884 | ref=harv}}
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| − | * {{cite journal | first=C. | last=Chabauty | title=Sur les points rationels des variétés algebriques dont l’irregularité est supérieur à la dimension | journal=C. R. Acad. Sci. Paris | volume=212 | year=1941b | pages=1022–1024 | ref=harv}}
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| − | * {{cite journal | first=Robert F. | last=Coleman | title=Effective Chabauty | journal=Duke Math. J. | volume=52 | year=1985 | pages=765–770 | mr=808103 | doi=10.1215/S0012-7094-85-05240-8 | ref=harv}}
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| − | * {{cite journal | first=David | last=Grant | title=A curve for which Coleman's effective Chabauty bound is sharp | journal=Proc. Amer. Math. Soc. | volume=122 | year=1994 | pages=317–319 | doi=10.1090/S0002-9939-1994-1242084-4 | ref=harv}}
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| − | | |
| − | ==外部リンク==
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| − | *Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hyper-elliptic_curve Hyper-elliptic curve], Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
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| − | {{Reflist}}
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| − | {{DEFAULTSORT:ちようたえんきよくせん}}
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| − | [[Category:代数曲線]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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