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| | により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った[[線積分]]を意味している。ここで、 ''c'' は <math>a<c<b</math> を満たす任意の実数である。 | | により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った[[線積分]]を意味している。ここで、 ''c'' は <math>a<c<b</math> を満たす任意の実数である。 |
| | このような逆が存在するための条件は、{{仮リンク|メリン逆定理|en|Mellin inversion theorem}}で与えられている。 | | このような逆が存在するための条件は、{{仮リンク|メリン逆定理|en|Mellin inversion theorem}}で与えられている。 |
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| − | ==他の変換との関係==
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| − | [[両側ラプラス変換]]は、メリン変換を用いて
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| − | :<math> \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)</math>
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| − | と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により
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| − | :<math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)</math>
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| − | と表される。
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| − | メリン変換は、積分核 ''x''<sup>''s''</sup> を用いた、加法的[[ハール測度]] <math>\frac{dx}{x}</math> についての積分と考えることが出来る。ここで <math>\frac{dx}{x}</math> は拡張 <math>x \mapsto ax</math> について不変であり、したがって <math>\frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x}</math> が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 <math>dx</math> についての積分と考えられる。ここで <math>dx</math> は移動不変であり、したがって <math>d(x+a) = dx</math> が成り立つ。
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| − | 同様に[[フーリエ変換]]もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、
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| − | :<math>\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is)
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| − | = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is) </math>
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| − | が成立する。反対に
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| − | :<math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B}
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| − | f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is) </math>
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| − | も成立する。メリン変換はまた、{{仮リンク|ニュートン級数|en|Newton series}}や{{仮リンク|二項変換|en|binomial transform}}を、{{仮リンク|ポアソン-メリン-ニュートン・サイクル|en|Poisson–Mellin–Newton cycle}}の意味における{{仮リンク|ポアソン母関数|en|Poisson generating function<!-- リダイレクト先の「[[:en:Generating function]]」は、[[:ja:母関数]] とリンク -->|FIXME=1}}と結び付ける。
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| − | ==例==
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| − | ===カヘン-メリン積分===
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| − | <math>c>0</math>、<math>\Re(y)>0</math> および{{仮リンク|主枝 (数学)|label=主枝|en|principal branch}}上の <math>y^{-s}</math> に対して、
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| − | :<math>e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}
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| − | \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds</math>
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| − | が成立する。ここで <math>\Gamma(s)</math> は[[ガンマ関数]]である。この積分は'''カヘン-メリン積分'''として知られている<ref>{{cite journal |first=G. H. |last=Hardy |first2=J. E. |last2=Littlewood |title=Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes |journal=[[Acta Mathematica]] |volume=41 |issue=1 |year=1916 |pages=119–196 |doi=10.1007/BF02422942 }} ''(See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)''</ref>。
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| − | ===数論===
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| − | 数論における重要な応用例として、単関数 <math>f(x)=\begin{cases} 0 & x < 1, \\ x^{a} & x > 1 \end{cases} </math>
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| − | に対し
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| − | :<math>\mathcal M f (s)= \frac 1 {s+a} </math>
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| − | が成立する、ということが挙げられる。
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| − | ==''L''<sup>2</sup> 上のユニタリ作用素として==
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| − | [[ヒルベルト空間]]の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。<math>L^2(0,\infty)</math> （[[Lp空間]]を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に <math>\tfrac{1}{2}+i\mathbb{R}</math> を含む。そのため、[[線形作用素]] <math>\tilde{\mathcal{M}}</math> を
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| − | :<math>\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx </math>
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| − | によって定義することが出来る。言い換えると、集合
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| − | :<math>\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is) </math>
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| − | を定義することが出来る。この作用素は通常 <math>\mathcal{M}</math> とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために <math>\tilde{\mathcal{M}}</math> を記号として用いる。このとき{{仮リンク|メリン逆定理|en|Mellin inversion theorem}}により、<math>\tilde{\mathcal{M}}</math> は可逆であって、その逆は
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| − | :<math>\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds </math>
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| − | と得られることが分かる。さらにこの作用素は[[等長写像|等長]]であること、すなわち <math>\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}</math> がすべての<math>f\in L^2(0,\infty)</math> に対して成立することが分かる（この性質のために係数 <math>1/\sqrt{2\pi}</math> が用いられている）。したがって、<math>\tilde{\mathcal{M}}</math> は[[ユニタリ作用素]]である。
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| − | ==確率論において==
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| − | 確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる<ref>{{harvtxt|Galambos|Simonelli|2004|p=15}}</ref>。''X'' を確率変数とし、{{nowrap|''X''<sup>+</sup> {{=}} max{''X'',0}}} をその正の部分、{{nowrap|''X''<sup> −</sup> {{=}} max{−''X'',0}}} をその負の部分としたとき、''X'' のメリン変換は
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| − | : <math>
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| − | \mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty x^s dF_{X^+}(x) + \gamma\int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),
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| − | </math>
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| − | として定義される<ref name="GalSim16">{{harvtxt|Galambos|Simonelli|2004|p=16}}</ref>。ここで ''γ'' は、{{nowrap|''γ''<sup>2</sup> {{=}} 1}} を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 {{nowrap|''D'' {{=}} {''s'': ''a'' ≤ Re(''s'') ≤ ''b''}}}（ただし{{nowrap|''a'' ≤ 0 ≤ ''b''}}）内のすべての ''s'' に対して存在する<ref name="GalSim16"/>。
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| − | 確率変数 ''X'' のメリン変換 <math>\scriptstyle\mathcal{M}_X(it)</math> は、その分布関数 ''F<sub>X</sub>'' を一意に定める<ref name="GalSim16"/>。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: ''X'' および ''Y'' を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい<ref>{{harvtxt|Galambos|Simonelli|2004|p=23}}</ref>。すなわち、
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| − | : <math>
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| − | \mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s)
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| − | </math>
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| − | が成立する。
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| − | ==応用==
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| − | メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。
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| − |
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| − | この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。
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| | ==注釈== | | ==注釈== |
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| | {{refend}} | | {{refend}} |
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| − | ==外部リンク==
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| − | * Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, ''[http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/mellin-harm.pdf Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.]''
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| − | * Antonio Gonzáles, Marko Riedel ''[http://groups.google.com/group/es.ciencia.matematicas/browse_thread/thread/cfcc11fbd5eeaa48/eab2e1423902ced1#eab2e1423902ced1 Celebrando un clásico], newsgroup es.ciencia.matematicas''
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| − | * Juan Sacerdoti, ''[http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/Eu00.pdf Funciones Eulerianas]'' (in Spanish).
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| − | * [http://dlmf.nist.gov/2.5 Mellin Transform Methods], [[Digital Library of Mathematical Functions]], 2011-08-29, [[National Institute of Standards and Technology]]
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| − | * Antonio De Sena and Davide Rocchesso, ''[http://www.di.univr.it/documenti/ArticoloConferenza/allegato/allegato082603.pdf A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX]''
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| | {{テンプレート:20180815sk}} | | {{テンプレート:20180815sk}} |