「レピュニット」の版間の差分

2018/8/19/ (日) 17:39時点における最新版

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである^{[注釈 1]}。

10進法におけるレピュニットは R_n = (10ⁿ − 1) / 9 の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、R_n は素数となる。2進法におけるレピュニットはメルセンヌ数 ( $M n$ = 2ⁿ − 1) である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数、英: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、R_m は R_n を割り切る。よって、n が合成数ならば、R_n は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a^[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

R_n は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 3⁰ のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数

偶数 - 11
- 4の倍数 - 11 · 101
3の倍数 - 3 · 37
5の倍数 - 41 · 271
7の倍数 - 239 · 4649
17の倍数 - 2071723 · 5363222357

など

901型の例

^[3]^[4]^[5]^[6]

_n
R₀₆	R₂ × R₃	1221	×	91	7 · 13
R₁₀	R₂ × R₅	122221		9091	素
R₁₄	R₂ × R₇	12222221		909091	素
R₁₈	R₂ × R₉	1222222221		90909091	7 · 13 · 19 · 52579
R₂₂	R₂ × R₁₁	122222222221		9090909091	11 · 23 · 4093 · 8779

R₂₀ = 1222210000122221 × 9091
R₂₄ = 112233332211 × 990000999901
R₁₂ = 11222211 × 9901
R₂₄ = 1111222222221111 × 99990001
R₂₈ = 1222222100000012222221 × 909091
R₃₆ = 333000333333000333 × 999999000001
R₃₈ = 12222222222222222221 × 909090909090909091
R₃₉ = 123333333333321 × 900900900900990990990991

など

R₀₆ = 11 × (9091 + 1010)
R₀₈ = 11 × (909091 + 101010)
R₁₀ = 11 × (90909091 + 10101010)

1と0のみで表す例

_n	(10^n/2 − 1) / 9	^[7]	10^n/2 + 1
[[11\|R_{テンプレート:None2}]]	1	1 × 11	11
[[1111\|R_{テンプレート:None4}]]	11	11 × 101	101
R_{テンプレート:None6}	3 · 37	111 × 1001	7 · 11 · 13
R_{テンプレート:None8}	11 · 101	1111 × 10001	73 · 137
R₁₀	41 · 271	11111 × 100001	11 · 9091

_n
R₀₂		テンプレート:0001 × 11	1 × 11
R₀₃	#	テンプレート:0001 × 111
R₀₄	$	テンプレート:0001 × 1111	11 × 101
R₀₅	%	テンプレート:0001 × 11111
R₀₆	&	テンプレート:0001 × 111111	111 × 1001
R₀₆	#	0011 × 10101
R₀₇	*	テンプレート:0001 × 1111111
R₀₈	$	0011 × 1010101	1111 × 10001
R₀₉	#	0111 × 1001001
R₁₀	%	0011 × 101010101	11111 × 100001
R₁₂	&	0011 × 10101010101	111111 × 1000001
	$	0111 × 1001001001
	#	1111 × 100010001
R₁₄	*	0011 × 1010101010101	1111111 × 10000001

_n
R₀₆	1 × 111 × 1001	91 · 11
R₁₂	11 × 10101 × 1000001	9901 · 101
R₁₈	111 × 1001001 × 1000000001	999001 · 1001
R₂₄	1111 × 100010001 × 1000000000001	99990001 · 10001

_n
R₀₄	11 × 101
R₀₈	101 × 110011
R₁₂	1001 × 111000111	1221001221 × 91
R₁₆	10001 × 111100001111
R₂₀	100001 × 111110000011111	1222210000122221 × 9091
R₂₄	1000001 × 111111000000111111	1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

^[8]

_n	R_n×(10ⁿ+1)
	^[9]^[10]^[11]
[[11\|R_{テンプレート:None2}]]	6² − 5²	6² − 5²		6² − 5²
[[111\|R_{テンプレート:None3}]]		56² − 55²	56² − 55²
[[1111\|R_{テンプレート:None4}]]	56² − 45²	556² − 555²
R_{テンプレート:None5}		5556² − 5555²
R_{テンプレート:None6}	556² − 445²	55556² − 55555²	5056² − 5045²	656² − 565²
R_{テンプレート:None7}		555556² − 555555²
R_{テンプレート:None8}	5556² − 4445²	テンプレート:None（省略）
[[111111111\|R_{テンプレート:None9}]]		テンプレート:None（省略）	500556² − 500445²
R₁₀	テンプレート:None（省略）	テンプレート:None（省略）		65656² − 56565²
R₁₁		テンプレート:None（省略）
R₁₂	テンプレート:None（省略）	テンプレート:None（省略）	50005556² − 50004445²
R₁₃		テンプレート:None（省略）
R₁₄	テンプレート:None（省略）	テンプレート:None（省略）		6565656² - 5656565²

知られているレピュニット素数

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031 の時に素数となることが知られている。n = 49081, 86453 の場合も確率的素数 (PRP, probable prime) であるが、桁数が大きいために素数判定は困難である。2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し^[12]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している^[13]。また、同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した^[14]。

*R_n* = (10ⁿ − 1) / 9
No.	n	年	発見者
1	2	-	-
2	19	-	-
3	23	-	-
4	317	1978	Williams
5	1031	1986	Williams, Dubner
6	49081 ?	1999	Dubner
7	86453 ?	2000	Baxter
8	109297 ?	2007	Dubner
9	270343 ?	2007	Voznyy

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている^[15]。

基数 10 のレピュニットの R₁ から R₁₂₀ までの素因数分解の一覧を示す^[16]。

背景が水色のセルは n が素数の場合の R_n を示す。

※ 素因数の数(含重複)

基数10 のレピュニットの R₁ から R₁₂₀ までの素因数分解の表
R_n	※	素因数分解

[[1\|R_{テンプレート:None1}]]	0	テンプレート:None1
[[11\|R_{テンプレート:None2}]]	1	11 (素数)
[[111\|R_{テンプレート:None3}]]	2	テンプレート:None3 · 37
[[1111\|R_{テンプレート:None4}]]	2	11 · テンプレート:None101
R_{テンプレート:None5}	2	41 · 271
R_{テンプレート:None6}	5	テンプレート:None3 · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 37
R_{テンプレート:None7}	2	テンプレート:None239 · 4649
R_{テンプレート:None8}	4	11 · 73 · テンプレート:None101 · 137
[[111111111\|R_{テンプレート:None9}]]	4	テンプレート:None3² · 37 · テンプレート:None333667
R₁₀	4	11 · 41 · テンプレート:None271 · 9091
R₁₁	2	テンプレート:None21649 · 513239
R₁₂	7	テンプレート:None3 · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 37 · テンプレート:None101 · 9901
R₁₃	3	53 · 79 · 265371653
R₁₄	4	11 · テンプレート:None239 · 4649 · 909091
R₁₅	6	テンプレート:None3 · 31 · 37 · 41 · テンプレート:None271 · 2906161
R₁₆	6	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R₁₇	2	テンプレート:None2071723 · 5363222357
R₁₈	9	テンプレート:None3² · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 19 · 37 · テンプレート:None52579 · 333667
R₁₉	1	テンプレート:None1111111111111111111 (素数)
R₂₀	7	11 · 41 · テンプレート:None101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
R₂₁	7	テンプレート:None3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R₂₂	7	11² · 23 · テンプレート:None4093 · 8779 · 21649 · 513239
R₂₃	1	テンプレート:None11111111111111111111111 (素数)
R₂₄	10	テンプレート:None3 · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R₂₅	5	41 · 271 · テンプレート:None21401 · 25601 · 182521213001
R₂₆	6	11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R₂₇	7	テンプレート:None3³ · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R₂₈	8	11 · 29 · テンプレート:None101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R₂₉	5	テンプレート:None3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R₃₀	13	テンプレート:None3 · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · テンプレート:None211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
R₃₁	3	テンプレート:None2791 · 6943319 · 57336415063790604359
R₃₂	11	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
R₃₃	6	テンプレート:None3 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
R₃₄	6	11 · テンプレート:None103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
R₃₅	7	41 · テンプレート:None71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
R₃₆	12	テンプレート:None3² · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 19 · 37 · テンプレート:None101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
R₃₇	3	テンプレート:None2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
R₃₈	3	11 · テンプレート:None909090909090909091 · 1111111111111111111
R₃₉	6	テンプレート:None3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
R₄₀	11	11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
R₄₁	4	83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361
R₄₂	15	テンプレート:None3 · テンプレート:None7² · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
R₄₃	4	テンプレート:None173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641
R₄₄	11	11² · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261
R₄₅	10	テンプレート:None3² · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721
R₄₆	6	11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111
R₄₇	2	テンプレート:None35121409 · 316362908763458525001406154038726382279
R₄₈	13	テンプレート:None3 · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · テンプレート:None101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001
R₄₉	4	テンプレート:None239 · 4649 · テンプレート:None505885997 · 1976730144598190963568023014679333
R₅₀	10	11 · 41 · テンプレート:None251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201
R₅₁	8	テンプレート:None3 · 37 · テンプレート:None613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877
R₅₂	9	11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781
R₅₃	4	テンプレート:None107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071
R₅₄	14	テンプレート:None3³ · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631
R₅₅	8	41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121
R₅₆	12	11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761
R₅₇	6	テンプレート:None3 · 37 · テンプレート:None21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519
R₅₈	8	11 · 59 · テンプレート:None3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849
R₅₉	2	テンプレート:None2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
R₆₀	20	テンプレート:None3 · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · テンプレート:None101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
R₆₁	7	テンプレート:None733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479
R₆₂	5	11 · テンプレート:None2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091
R₆₃	14	テンプレート:None3² · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281
R₆₄	15	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561
R₆₅	7	41 · テンプレート:None53 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481
R₆₆	15	テンプレート:None3 · テンプレート:None7 · 11² · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373
R₆₇	3	テンプレート:None493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677
R₆₈	10	11 · テンプレート:None101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829
R₆₉	6	テンプレート:None3 · 37 · テンプレート:None277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893
R₇₀	12	11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641
R₇₁	2	テンプレート:None241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839
R₇₂	18	テンプレート:None3² · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769
R₇₃	3	テンプレート:None12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637
R₇₄	7	11 · テンプレート:None7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013
R₇₅	12	テンプレート:None3 · 31 · 37 · 41 · テンプレート:None151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151
R₇₆	6	11 · テンプレート:None101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461
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R₉₂	10	11 · 47 · 101 · 139 · 1289 · 2531 · 18371524594609 · 549797184491917 · 11111111111111111111111 · 4181003300071669867932658901
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R_{テンプレート:None119}	8	テンプレート:None239 · 4649 · テンプレート:None923441 · 2071723 · 5363222357 · 3924966376871 · 768736559421401249042753476963 · 323012942148562751650814544437350454640448842187
R_{テンプレート:None120}	26	テンプレート:None3 · テンプレート:None7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 73 · 101 · 137 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 1676321 · 2906161 · 4188901 · 39526741 · 99990001 · 5964848081 · 100009999999899989999000000010001

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してレピュニットは R_n(a) = (aⁿ − 1) / (a − 1) と定義される。

a = 2 ならば、これはメルセンヌ数に一致する。また、a が素数ならば、これは a^{n − 1} の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R₅(3) = 11², R₄(7) = 20², R₃(18) = 7³ の場合しかない（Bugeaud 1999b^[17]）。

F_d(x) を d 次の円分多項式とすると、

[math]R_n(a)=\prod_{d\mid n,\, d\gt 1}F_d(a)[/math]

と表すことができる。

脚注

注釈

↑ アルバート・ベイラーは以下のように記している：
A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. ^[1]

出典

↑ Beiler 2013, pp. 83
↑ Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411–417.
↑ 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
↑ 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
↑ 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス
↑ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
↑ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
↑ World!Of Numbers
↑ Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）
↑ nombre - onze en maths
↑ persistance et repdigits
↑ Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List
↑ “Yahoo! Groups” (en-US). groups.yahoo.com. . 2018閲覧.
↑ Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List
↑ テンプレート:高校数学の美しい物語
↑ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. . 2016閲覧.
↑ Yann Bugeaud, On the diophantine equation [math]a\frac{x^n-1}{x-1}=y^q[/math], Number Theory ( Turku, 1999), 19–24, de Gruyter, 2001.

参考文献

Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0
Francis, Richard L. (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246
Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Yates, Samuel (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

外部リンク

テンプレート:高校数学の美しい物語
11...11 (レピュニット) の素因数分解（n = 20万までの一覧）
Factorizations of Repunit Numbers （n = 14980までの一覧）
纯元数的实验与探究
collection de nombres, rep-unit
Weisstein, Eric W. “Repunit”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。

[2] アルバート・ベイラーは以下のように記している：
A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1. ^[1]

[1] Beiler 2013, pp. 83

[3] Yann Bugeaud and M. Mignotte, On integers with identical digits, Mathematika 46 (1999), 411–417.

[4] 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客

[5] 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客

[6] 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス

[7] Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016

[8] Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.

[9] World!Of Numbers

[10] Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）

[11] re - onze en maths

[12] rsistance et repdigits

[13] Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List

[14] “Yahoo! Groups” (en-US). groups.yahoo.com. . 2018閲覧.

[15] Maksym Voznyy, R₂₇₀₃₄₃ に関するアナウンス、Number Theory List

[16] テンプレート:高校数学の美しい物語

[17] 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. . 2016閲覧.

[18] Yann Bugeaud, On the diophantine equation [math]a\frac{x^n-1}{x-1}=y^q[/math], Number Theory ( Turku, 1999), 19–24, de Gruyter, 2001.

[注釈 1]

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「レピュニット」の版間の差分

2018/8/19/ (日) 17:39時点における最新版

Contents

レピュニットの性質

901型の例

1と0のみで表す例

累乗数 − 累乗数

知られているレピュニット素数

レピュニットの素因数分解

一般化

脚注

注釈

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