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素数定理(そすうていり、英: Prime number theorem、独: Primzahlsatz)とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。整数論において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。しかし、分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。
Contents
歴史
この定理は、18世紀末にカール・フリードリヒ・ガウスやアドリアン=マリ・ルジャンドルによって予想された(ガウス自身の言によればそれは1792年のガウス15歳のときである)。実際にはルジャンドルが初めて自身の著『数の理論』で公表し、少年ガウスがそれを知っていたことはガウスの死後の1863年に全集が出るまでは知られず、ガウス自身は素数定理については友人エンケに一度だけ手紙(1849年)で触れただけであった。
その後パフヌティ・チェビシェフによる部分的な結果(1850年頃)や、ベルンハルト・リーマンによる新たな解析的方法が発表された[1]が、最終的には1896年にシャルル=ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサンとジャック・アダマールがそれぞれ独立に証明した。当初与えられた証明はゼータ関数と複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年にアトル・セルバーグとポール・エルデシュは独立に初等的な証明を与えた。ノーバート・ウィーナーや池原止戈夫らによるタウバー型定理によって、素数定理と「ゼータ関数が Re s = 1 上に零点を持たないこと」との同値性がすでに確立されていたために、この初等的な証明は大きな驚きをもって迎えられた。
定理の内容
具体的には、この定理は次の式で表される。
- [math]\pi (x)\sim \operatorname{Li} x[/math]
これは「π(x) を Li x で近似できる」という意味であり、
- [math]\lim_{x\to \infty} \frac{\operatorname{Li} x}{\pi (x)} =1[/math]
ということである。
π(x) は素数の個数関数または素数計数関数 (prime counting function) で、x 以下の素数の個数を表す。また Li x は(補正)対数積分 (logarithmic integral) で、次の積分で定義される:
- [math]\operatorname{Li} x=\int_2^x \frac{dt}{\ln t}[/math]
(積分の下端は正でさえあれば定理の本質に関係しないが、慣例的に最初の素数である 2 を選ぶことが多い)
また、対数積分を1回部分積分すると、
- [math]\int_2^x \frac{dt}{\ln t} =\frac{x}{\ln x} +O\left( \frac{x}{(\ln x)^2} \right)[/math]
となる。ただし O はランダウの記号である。このことから、定理を次のように述べることもできる。
- [math]\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}[/math]
これは同様に xln x で近似できるということを意味する。こちらのほうが近似精度は少し悪くなるが計算上扱い易い。これを
[math]\frac{\pi (x)}{x} \sim \frac{1}{\ln x}[/math]
と変形すれば、x 以下での素数の割合が 1ln x で近似できることが分かる。
上の2通りの近似は x が小さくても比較的正確である(以下の表を参照)。
また、n 番目の素数を pn とすると、n ≥ 6 に対して
- [math]n(\ln n + \ln (\ln n) - 1) \lt p_n \lt n(\ln n + \ln (\ln n))[/math]
が成り立つ。(ピエール・デザルト)
π(x), x / ln x, li x の表{{safesubst:#invoke:Anchor|main}}
表は π(x) の正確な値を x / ln x と li x の2つの近似と比較している。最後の列、x / π(x)、は x 以下の平均 en:prime gap である。
近似の様子 x π(x) π(x) − x / ln x π(x) / (x / ln x) li x − π(x) x / π(x) 10 4 −0.3 0.921 2.2 2.500 102 25 3.3 1.151 5.1 4.000 103 168 23 1.161 10 5.952 104 1,229 143 1.132 17 8.137 105 9,592 906 1.104 38 10.425 106 78,498 6,116 1.084 130 12.740 107 664,579 44,158 1.071 339 15.047 108 5,761,455 332,774 1.061 754 17.357 109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 19.667 1010 455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 21.975 1011 4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 24.283 1012 37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 26.590 1013 346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 28.896 1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 31.202 1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 33.507 1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 35.812 1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,956,589 38.116 1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 40.420 1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 42.725 1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 45.028 1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 1.022 597,394,254 47.332 1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1.021 1,932,355,208 49.636 1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 1.020 7,250,186,216 51.939 1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 1.019 17,146,907,278 54.243 1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 1.018 55,160,980,939 56.546 OEIS テンプレート:OEIS2C テンプレート:OEIS2C テンプレート:OEIS2C
π(1024) の値はもともとリーマン予想を仮定して計算されたが[2]、その後無条件で証明された[3]。
算術級数の素数定理
この定理はまた、算術級数(等差数列)中の素数に関しても拡張されており、これを算術級数の素数定理という:
すなわち、算術級数 an + b (a > 0) に含まれる素数で、x 以下のものの数を πa,b(x) で表すとき、
- [math]\pi_{a,b} (x)\sim \frac{1}{\phi (a)} \operatorname{Li} x[/math]
が成り立つ。ここで φ(n) はオイラーの関数と呼ばれるもので、n と互いに素な n 以下の自然数の個数を表す。この漸近公式はルジャンドルやペーター・グスタフ・ディリクレによって予想されていたが、これもド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。近年、Ivan Soprounov により、より初等的な証明が発見された。
誤差評価
より詳しくは、現今最良の近似の誤差は次の結果である(ヴィノグラードフの素数定理)。充分大きな x について,
- [math]\pi (x)=\operatorname{Li} x+O\left( x\exp \left\{ -c(\ln x)^{\frac{3}{5}} (\ln \ln x)^{-\frac{1}{5}} \right\} \right)[/math]
ただし、c > 0 は絶対常数である. さらに、1901年にヘルゲ・フォン・コッホは、もしリーマン予想が正しければ次のように誤差評価を改善できることを証明した。
- [math]\pi (x)=\operatorname{Li} x+O\left( \sqrt{x} \ln x\right)[/math]
逆に、上記の評価式が成り立てばリーマン予想が成り立つことも知られている。
また前節で挙げた表を見れば分かるように、x が小さければ
- [math]\pi (x)\lt \operatorname{Li} x[/math]
が成り立っている。これが全ての x で成り立つであろうと、ガウスやリーマンさえも予想していたが、これが正しくないことは1914年にジョン・エデンサー・リトルウッドが初めて示した。これが成り立たない最小の x をスキューズ数というが、具体的な値はほとんど分かっていない。
より詳しくいえば
- [math]\pi (x)-\operatorname{Li} x[/math]
は x が大きくなるにつれて、無限に符号を変える。
リーマン関数
リーマンは、リーマン関数
- [math]R(x) = \sum_{m=1}^\infty \frac{\mu(m)}{m} \operatorname{Li} x^\frac{1}{m}[/math]
を用いて、π(x) に関する以下の公式を与えた。
- [math]\pi(x)=R(x)-\sum_{\rho} R(x^\rho )[/math]
ただし、和はゼータ関数の複素零点 ρ 全体をわたる。
R(x) の項だけをとっても、これは Li x よりかなり良い近似を与える。
R(x) は、以下の級数を用いて計算可能である[4]。
- [math]R(x)=1+\sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{1}{n\zeta (n+1)} \cdot \frac{(\ln x)^n}{n!} \right\}[/math]
有限体上の既約多項式での類似
有限体上の既約多項式の「分布」を記述する素数定理の類似がある。形式は古典的な素数定理の場合に全く同一に見える。
このことを詳しく述べるために、F = GF(q) を q 個の元を持つ有限体とし、ある固定された q に対し、Nn をモニックで既約な F 上の多項式で、次数が n となるものの数を表すとする。モニックな既約多項式とは、つまり、F の中に係数をもつ多項式と見て、小さな次数の積としては書くことができないような多項式とする。この設定では、モニックな既約多項式は、他の全てのモニックな多項式はモニックな既約多項式の積で書くことができるので、素数の役割を果たす。すると次のことを証明することができる。
- [math]N_n \sim \frac{q^n}{n}[/math]
x = qn を代入すると、この式の右辺は、
- [math]\frac{x}{\log_q x}[/math]
であり、類似がより明白になる。qn は次数 n のモニックな既約多項式であるので、このことは次のように言い換えることができる。次数 n のモニック多項式をランダムに選ぶと、既約である確率は、約 1n である。
リーマン予想の類似、すなわち、
- [math]N_n =\frac{q^n}n +O\left( \frac{q^{\tfrac{n}{2}}}{n} \right)[/math]
が成り立つことを証明することができる。
多項式についての命題の証明は、古典的な(数についての)命題の証明に比較して、非常に易しい。短い組み合わせ的な議論により証明することができる[5]。まとめると、F の次数 n の拡大の全ての元は、n を割る次数 d のある既約多項式の根であり、2つの方法でこれらの根の数を数え上げることにより、
- [math]q^n =\sum_{d\mid n} dN_d[/math]
を成立させることができる。ここに和は n の因子 d の全てを渡る。よって、μ(k) をメビウス関数とすると、反転公式は、
- [math]N_n = \frac1n \sum_{d\mid n} \mu \left( \frac{n}{d} \right) q^d[/math]
である。(この公式をガウスは既に知っていた。)主要項は d = n であり、残余項の境界を示すことは難しくはない。多項式の「リーマン予想」の命題は、最大な n の n 未満の因子は n2 よりも大きくはなり得ないという事実には依存しない。
脚注
- ↑ 1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」
- ↑ “Conditional Calculation of pi(1024)”. Chris K. Caldwell. . 2010閲覧.
- ↑ “Computing π(x) Analytically)”. . 2012閲覧.
- ↑ Gram, 1893
- ↑ Chebolu, Sunil; Ján Mináč (December 2011). “Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle”. Mathematics Magazine 84 (5): 369–371. doi:10.4169/math.mag.84.5.369 .
参考文献
- 本橋洋一,解析的整数論 I -- 素数分布論 --,朝倉書店,東京 2009(第2刷 2012: 加筆含む)ISBN 978-4-254-11821-6{{#invoke:check isxn|check_isbn|978-4-254-11821-6|error={{#invoke:Error|error|{{ISBN2}}のパラメータエラー: 無効なISBNです。|tag=span}}}}
- 日本数学会市民講演 “素数の翼に乗って” http://mathsoc.jp/publication/tushin/1001/motohashi.pdf
- ウワディスワフ・ナルキェヴィッチ 『素数定理の進展』上、中嶋眞澄訳、シュプリンガー・ジャパン、2008-06。ISBN 978-4-431-71086-8。
- ウワディスワフ・ナルキェヴィッチ 『素数定理の進展』上、中嶋眞澄訳、丸善出版、2012-07-17。ISBN 978-4-621-06315-6。 - ナルキェヴィッチ(2008)の復刊。
- 松本耕二 「第3章 素数定理」『リーマンのゼータ関数』 朝倉書店〈開かれた数学 1〉、2005年11月。ISBN 4-254-11731-0。
- 吉田信夫 『複素解析の神秘性 複素数で素数定理を証明しよう!』 アップ研伸館編集、現代数学社、2011年10月。ISBN 978-4-7687-0416-5。
- A-M.ルジャンドル 『数の理論』 高瀬正仁訳、海鳴社、2007年12月。ISBN 978-4-87525-245-0。
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Prime Number Theorem”. MathWorld(英語). Template:Cite webの呼び出しエラー:引数 accessdate は必須です。
- Weisstein, Eric W. “Skewes Number”. MathWorld(英語). Template:Cite webの呼び出しエラー:引数 accessdate は必須です。