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| − | [[代数学]]において、与えられた[[群 (数学)|群]]および[[環 (数学)|環]]に対する'''群環'''（ぐんかん、{{lang-en-short|''group ring''}}）は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を[[スカラー (数学)|係数環]]とし与えられた群を[[加群の生成|生成系]]とする[[自由加群]]であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が[[可換環|可換]]であるとき、群環は与えられた[[環上の多元環]]（代数）の構造を持ち、群多元環（ぐんたげんかん、{{lang-en-short|''group algebra''}}; 群代数）（あるいは短く群環<ref group="注">これは少々紛らわしいが、任意の群環は係数[[環の中心]]上の群多元環となるから、その文脈で何を係数環としているかが明らかならば混乱の虞は無いであろう。</ref>）と呼ばれる。
| + | {{テンプレート:20180815sk}} __NOINDEX__ |
| − | | |
| − | 群環は、特に有限群の[[表現論]]において重要な役割を果たす[[代数的構造]]である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため[[位相群の群環]]の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は[[群ホップ代数]]を見よ。
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| − | | |
| − | == 定義 ==
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| − | {{seealso|モノイド環#定義}}
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| − | {{mvar|R}} を[[環 (数学)|環]]、{{mvar|G}} を[[群 (数学)|群]] とする。
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| − | | |
| − | {{ordered list
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| − | |1=
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| − | {{mvar|G}} を生成系とする {{mvar|R}}-係数の形式的な（「有限」）[[線型結合]]の全体（{{mvar|G}} 上の {{mvar|R}}-[[自由加群]]、特に {{mvar|R}} が[[可換体|体]]のときは[[自由ベクトル空間]]）を {{math|''R''[''G'']}} と書く（{{mvar|RG}} とも書かれる{{sfn|Polcino Milies|Sehgal|2002|loc=p.129 and 131}}）。即ち、任意の元 {{math|''x'' ∈ ''R''[''G'']}} は
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| − | : <math>x=\sum_{g\in G} a_g\,g\quad (a_g \in R)</math>
| |
| − | の形に書ける。ただし、右辺の和において[[補有限|有限個の例外を除く全て]]の {{mvar|g}} に対して {{math|''a''{{ind|''g''}} {{=}} 0}} でなければならない。{{mvar|G}} の元と {{math|''R''[''G'']}} の元との区別を明確にする場合には、各元 {{math|''g'' ∈ ''G''}} に対応する生成元を {{mvar|e{{ind|g}}}} などと書いて
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| − | : <math>x=\sum_{g\in G} a_g\,e_g</math>
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| − | のようにも書く{{sfn|Polcino Milies|Sehgal|2002|p=131}}<ref group="注">特に群 {{mvar|G}} が加法的に書かれている場合、群環における乗積表は {{math|''e''{{ind|''g''}}⋅''e''{{ind|''h''}} {{=}} ''e''{{ind|''g''+''h''}}}} から得られるが、群の元 {{mvar|g}} を生成元 {{mvar|e{{ind|g}}}} と同一視する記法では、群の演算と群環の形式和の区別が紛らわしい。</ref>。この集合 {{math|''R''[''G'']}} 上に項ごとの和
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| − | : <math>(\sum_{g\in G} a_g\,g)+(\sum_{g\in G} b_g\,g) := \sum_{g\in G} (a_g+b_g)\cdot g</math>
| |
| − | を加法とし、{{mvar|G}} の積を線型に拡張した
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| − | :<math>( \sum_{g \in G} a_g\,g)(\sum_{g \in G} b_g\,g) := \sum_{g, h \in G} (a_g b_h)\cdot gh = \sum_{g\in G}(\sum_{h\in G} a_h b_{h^{-1}g})\cdot g</math>
| |
| − | を乗法とする環を成し、さらにスカラー倍
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| − | : <math>r\cdot(\sum_{g\in G} a_g\,g) := \sum_{g\in G} (ra_g)\cdot g</math>
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| − | により {{mvar|R}} 上の[[環上の多元環|多元環]]（線型環）を成す。この多元環 {{math|''R''[''G'']}} を {{mvar|G}} 上の {{mvar|R}}-係数の群環、{{mvar|G}} で生成される {{mvar|R}} 上の群環などと呼ぶ。
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| − | |2=
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| − | （[[離散位相]]に関して）群 {{mvar|G}} 上の {{mvar|R}}-値[[コンパクト台]]付き[[連続函数]]全体の成す空間 {{math|''C''{{msub|''c''}}(''G''; ''R'')}} の元 {{mvar|f}} は、群 {{mvar|G}} から可換環 {{mvar|R}} への写像 {{math|''f'': ''G'' → ''R''}} であって、[[関数の台|有限な台]]を持つ（つまり有限個の例外を除き {{math|''f''(''g'') {{=}} 0}} ({{math|''g'' ∈ ''G''}}) となる）ようなものである。点ごとの和
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| − | : <math>(f + h)(g) := f(g) + h(g)\quad (g\in G)</math>
| |
| − | と[[畳み込み]]
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| − | : <math>(f\ast h)(g) := \sum_{\gamma\in G}f(\gamma)h(\gamma^{-1}g)</math>
| |
| − | およびスカラー倍
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| − | : <math>(rf)(g) := r(f(g)) \quad (r\in R)</math>
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| − | のもと {{math|''C''{{msub|''c''}}(''G''; ''R'')}} は {{mvar|R}} 上の多元環となる。
| |
| − | }}
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| − | | |
| − | {{math|G}} の各元 {{mvar|g}} に対して、[[一元集合|一点集合]] {{math|{{mset|''g''}}}} の {{mvar|R}}-値[[指示函数]]（ディラックのデルタ函数）
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| − | : <math>\delta_g(h) := \begin{cases} 1=1_R & (h=g)\\ 0=0_R & (h\ne g)\end{cases}</math>
| |
| − | を考えるとき、{{math|''C''{{msub|''c''}}(''G''; ''R'')}} は {{mvar|R}} 上の標準基底として {{math|{{mset|δ{{ind|''g''}} | ''g'' ∈ ''G''}}}} を持ち、
| |
| − | : <math>R[G] \to C_c(G;R);\; \sum_{g\in G} a_g\,g \mapsto \sum_{g\in G} a_g\delta_g</math>
| |
| − | は多元環の同型である。しばしばここでいう {{math|''C''{{msub|''c''}}(''G''; ''R'')}} を（1. の場合と同じく） {{math|''R''[''G'']}} などとも書き、{{mvar|G}} の {{mvar|R}} 上の群環と呼ぶ{{sfn|Polcino Milies|Sehgal|2002|p=131}}。
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| − | | |
| − | {{mvar|G}} が有限群ならば、この {{math|''C''{{msub|''c''}}(''G''; ''R'')}} は {{mvar|G}} から {{mvar|R}} への写像全体の成す空間 {{math|''R''{{msup|''G''}} ({{=}} ''R''(''G'') {{=}} Hom(''G'', ''R''))}} に他ならない。これは無限群の場合には一般には成り立たないが、それでも以下に示すような意味で群環 {{math|''R''[''G'']}} と写像空間 {{math|''R''{{msup|''G''}}}} は互いに双対の関係にある：
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| − | | |
| − | 群環の元
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| − | :<math>x = \sum_{g\in G} a_g\,g</math>
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| − | と {{mvar|''R''}}-値写像 {{math|''f'': ''G'' → ''K''}} の対に対して、[[双対対|内積]]
| |
| − | : <math>(x,f) = \sum_{g\in G} a_g f(g)\quad \in R</math>
| |
| − | が矛盾なく定まる（右辺が実質有限和であることに注意せよ）。
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| − | | |
| − | ==例==
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| − | [[位数 (群論)|位数]] 3 の[[巡回群]] {{math|''G'' {{=}} ⟨ ''g'' {{!}} ''g''<sup>3</sup> {{=}} 1 ⟩}} を取り、{{math|ω {{=}} exp(2π''i''/3)}} とおく。
| |
| − | このとき
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| − | :<math>\begin{align}
| |
| − | e_1 &= \tfrac{1}{3}(1 + g + g^2) \\
| |
| − | e_2 &= \tfrac{1}{3}(1 + \omega g + \omega^2 g^2) \\
| |
| − | e_3 &= \tfrac{1}{3}(1 + \omega^2 g + \omega g)
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | と群環 {{math|'''C'''''G''}} の元を定めると、これらは中心的直交原始[[冪等#環の冪等元|冪等元]]分解 {{math|1 {{=}} ''e''<sub>1</sub> + ''e''<sub>2</sub> + ''e''<sub>3</sub>}} を与え、次の[[直既約加群|直既約]]分解と同型が得られる。
| |
| − | :<math>
| |
| − | \mathbb{C}G = e_1 \mathbb{C}G \oplus e_2 \mathbb{C}G \oplus e_3 \mathbb{C}G \cong
| |
| − | \begin{pmatrix} \mathbb{C} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbb{C} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbb{C} \end{pmatrix}
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| − | </math>
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| − | | |
| − | == 群環上の加群 ==
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| − | {{main|群上の加群}}
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| − | 環 {{mvar|K}} 上の群環 {{math|''K''[''G'']}} を環と見るとき、[[環上の加群|環 {{math|''K''[''G'']}} 上の加群]]は、[[群上の加群|群 {{mvar|G}} 上の加群]]と呼ばれる。[[群の表現|群 {{mvar|G}} の表現]]は {{mvar|G}}-加群の言葉で読みかえることができる。特に
| |
| − | * 単純 {{mvar|G}}-加群は {{mvar|G}}-[[既約表現]]のことである。
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| − | * {{mvar|G}} の表現空間が {{mvar|K}}-加群 {{math|''V''{{sub|1}}, ''V''{{sub|2}}}} であるとき、表現の間の準同型は、{{mvar|G}}-加群 {{math|''V''{{sub|1}}, ''V''{{sub|2}}}} の間の {{mvar|K}}-線型準同型のことであり、その全体は {{math|Hom{{su|b=''K''|p=''G''}}(''V''{{sub|1}}, ''V''{{sub|2}})}} などで表される。
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| − | | |
| − | 古典的な結果として、もともとは係数環 {{mvar|K}} が[[複素数]]体 {{math|'''C'''}} で、群 {{mvar|G}} が有限群の場合に得られたものだが、そのような条件のもとで群環 {{math|''K''[''G'']}} が[[半単純環]]となることを示すことができて、それは有限群の表現において深い意味を持つ事実である。より一般に、マシュケの定理と呼ばれる以下の定理が成り立つ：
| |
| − | ; 定理 ([[マシュケの定理|Maschke]])
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| − | : [[有限群]] {{mvar|G}} の位数が[[可換体|体]] {{mvar|F}} の[[標数]]と互いに素なとき、あるいは標数 {{math|0}} のとき、群環 {{mvar|FG}} は[[半単純]]である。
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| − | 特に、群環 {{math|'''C'''[''G'']}} が半単純であることは、それが {{math|'''C'''}} に成分をとる[[行列環]]の[[加群の直和|直和]]として理解することができることを意味する。
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| − | | |
| − | {{mvar|G}} が有限アーベル群ならば、群環は可換環であり、その構造は[[1の冪根| {{math|1}} の冪根]]を用いて容易に記述することができる。係数環 {{mvar|R}} が[[標数]] {{mvar|p}} の体で、その素数 {{mvar|p}} が有限群 {{mvar|G}} の位数を割るならば、群環は半単純でなく非自明な[[ジャコブソン根基]]を持つ。このことは、そのような条件下での[[モジュラー表現論]]における対応する主題において重要な意味を示す。
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| − | | |
| − | == 性質 ==
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| − | === 基本性質 ===
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| − | 環 {{mvar|R}} が乗法単位元 {{math|1 {{=}} 1{{ind|''R''}}}} を持つとき（群 {{mvar|G}} の単位元は {{math|1 {{=}} 1{{ind|''G''}}}} と書くことにする）、群環 {{math|''R''[''G'']}} は {{mvar|R}} に環同型な部分環を持ち、またその[[単元群]]は {{mvar|G}} に群同型な部分群を含む。実際、
| |
| − | : <math>R \to R[G]; r \mapsto r\cdot 1_G\quad (\text{or }r \mapsto r\delta_{1_G})</math>
| |
| − | は単射環準同型であり、同様に
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| − | : <math>G \to (R[G])^\times;\; g \mapsto 1_R\cdot g\quad (\text{or }g\mapsto \delta_g)</math> | |
| − | は乗法群に関する単射群準同型になる。特に、{{math|1{{msub|''R''}}⋅1{{msub|''G''}}}} は {{math|''R''[''G'']}} の乗法単位元である。
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| − | | |
| − | * {{mvar|R}} が[[可換環]]であり、かつ {{mvar|G}} が[[アーベル群]]であるとき、群環 {{math|''R''[''G'']}} は可換多元環である。
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| − | * {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の[[部分群]]ならば、群環 {{math|''R''[''H'']}} は {{math|''R''[''G'']}} の[[部分環]]である。同様に、{{mvar|S}} が {{mvar|R}} の部分環であるとき、群環 {{math|''S''[''G'']}} は {{math|''R''[''G'']}} の部分環である。
| |
| − | | |
| − | === 群環の中心 ===
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| − | {{seealso|類函数}}
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| − | 環 {{math|''K''[''G'']}} の積の定義の仕方から、その[[環の中心|環としての中心]]は {{mvar|G}} 上で定義された{{mvar|K}}-値[[類函数]]（つまり、{{mvar|G}} の各[[共軛類]]上で定数となる函数）の全体に一致する。これは配置集合 {{math|''K<sup>G</sup>''}} の[[部分線型空間]]で、各共軛類 {{math|''c'' ∊ ''C''}} の[[指示函数]]の族 {{math|('''1'''<sub>''c''</sub>)<sub>''c∊C''</sub>}} を標準基底に持つ（これらの指示函数は {{math|''K<sup>G</sup>''}} の標準基底によって{{math|'''1'''<sub>''c''</sub> {{=}} ∑<sub>''s∊c''</sub>δ<sub>''s''</sub>}} と分解できる）。
| |
| − | | |
| − | また、{{mvar|K{{sup|G}}}} 上の非退化な[[対称双線型形式]]（[[内積]]）を
| |
| − | : <math>(f\mid h) = \frac{1}{g}\sum_{s\in G}f(s)h(s^{-1})</math>
| |
| − | で定義することができる。
| |
| − | * [[既約指標]]の全体はこの類函数の空間の正規直交基底を成す
| |
| − | これにより、（この部分空間の次元を考えて）
| |
| − | * 既約表現の（同型類の）総数は、群の共軛類の数 {{mvar|h}} に等しい
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| − | | |
| − | ゆえに、群 {{mvar|G}} の {{mvar|K}} 上の既約表現 {{math|(''S''<sub>1</sub>, ρ<sub>1</sub>), … (''S<sub>h</sub>'', ρ<sub>''h''</sub>)}} が（[[同型を除いて]]）存在して、それらの指標 {{math|χ<sub>1</sub>, …, χ<sub>''h''</sub>}} が群環 {{math|''K''[''G'']}} の中心の基底を成す。
| |
| − | | |
| − | === アルティン–ウェダーバーンの定理 ===
| |
| − | 前節の記号を引き続き用いて以下の基本的な定理が直接的に示せる。
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| − | * 群環 {{math|''K''[''G'']}} は群 {{mvar|G}} の {{mvar|h}}-個の既約表現 {{mvar|S{{sub|i}}}} の {{mvar|K}}-[[自己準同型環]] {{math|End<sub>''K''</sub>(''S<sub>i</sub>'')}} の直和に同型である:<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>K[G] \simeq \bigoplus_{i=1}^h \operatorname{End}_K(S_i).</math></div>さらに {{mvar|K}} が[[代数閉体]]と仮定すれば、有限次元[[半単純環]]に関する[[アルティン・ウェダーバーンの定理]]から同じ結果が得られる。
| |
| − | * 群環 {{math|''K''[''G'']}} は {{math|''K<sup>G</sup>''}} の部分空間であるから、各{{math|''S<sub>i</sub>''}} の次元を {{math|''d<sub>i</sub>''}} とすれば、群環自身の次元は<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>g=\sum_{i=1}^hd_i^2</math></div>で与えられる（{{mvar|K}} が正標数の場合は[[:fr:Représentation régulière#Identités remarquables]]を見よ）。
| |
| − | * {{math|''K''[''G'']}} の元 {{mvar|f}} が中心に属するための必要十分条件は、その成分が {{math|''S<sub>i</sub>''}} 上の相似拡大 (homothety) となることである。さらに類函数に関する結果を用いれば、その {{math|''S<sub>i</sub>''}} における相似比 {{math|λ<sub>''i''</sub>}} が<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>\lambda_i=\frac1{d_i}\sum_{s\in G}f(s)\chi_i(s)</math></div>で与えられる。
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| − | | |
| − | === 正則表現 ===
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| − | {{main|正則表現 (数学)}}
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| − | 群 {{mvar|G}} の正則表現 {{mvar|λ}} は、既に述べた対応により自然に群環 {{mvar|''K''[''G'']}} 上の左 {{math|''K''[''G'']}}-加群の構造に対応する。前節で述べた群環の分解に従えば:
| |
| − | * {{mvar|G}} の正則表現は {{mvar|G}} の既約表現 {{mvar|ρ<sub>i</sub>}} をその次数 {{mvar|d<sub>i</sub>}} と同じ数だけ重複したものの直和<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>(K^G,\lambda) \simeq \bigoplus_{i=1}^h d_i(S_i,\rho_i)</math></div>に分解される。即ち、この {{mvar|λ}} に付随する半単純加群の{{仮リンク|等型成分|en|Isotypic component}}は<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>d_i(S_i,\rho_i)=\underbrace{(S_i,\rho_i)\oplus\dotsb\oplus(S_i,\rho_i)}_{d_i\text{ summand }}\quad (d_i=\dim(S_i))</math></div>で与えられる。
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| − | | |
| − | === 指標の直交関係 ===
| |
| − | 表現の指標と群環は、直交性を考えるとき、互いに相補的な関係にある。{{mvar|G}} の表現 {{math|(''V''<sub>1</sub>, ρ{{sup|1}}), (''V''<sub>2</sub>, ρ{{sup|2}})}} に対して、{{math|χ{{sup|1}}, χ{{sup|2}}}} をそれぞれ表現 {{math|ρ{{sup|1}}, ρ{{sup|2}}}} の指標とするとき、表現 {{math|(''V''<sub>1</sub>, ρ{{sup|1}}), (''V''<sub>2</sub>, ρ{{sup|2}})}} を {{mvar|G}}-加群と見て
| |
| − | : <math>(\chi_1\mid \chi_2)=\dim_K(\hom_K^G(V_1,V_2))</math>
| |
| − | が成り立つ。右辺の次元は {{mvar|K}} 上で考える。
| |
| − | <!--{{Démonstration|contenu=
| |
| − | En utilisant les notations précédentes, notons :
| |
| − | <center><math>(V_1,\rho^1)\simeq\bigoplus_{i=1}^hn_{1,i}(S_i,\rho_i)\quad\text{et}\quad(V_2,\rho^2)\simeq\bigoplus_{i=1}^hn_{2,i}(S_i,\rho_i).</math></center>
| |
| − | Le lemme de Schur démontre que dim(Hom''<sub>K</sub><sup>G</sup>''(''S<sub>i</sub>,S<sub>j</sub>''))=δ<sub>''i,j''</sub> (le [[symbole de Kronecker]]). On en déduit :
| |
| − | <center><math>\dim\left(\hom_K^G(V_1,V_2)\right)=
| |
| − | \dim\left(\hom_K^G\left(\bigoplus_{i=1}^hS_i^{n_{1,i}},\bigoplus_{j=1}^hS_j^{n_{2,j}}\right)\right)=
| |
| − | \sum_{i,j\in[1,h]} n_{1,i}n_{2,j}\dim\left(\hom_K^G(S_i,S_j)\right)=
| |
| − | \sum_{i=1}^h n_{1,i}n_{2,i}.</math></center>
| |
| − | La propriété d'orthonormalité des caractères irréductibles permet de conclure.}}-->
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| − | | |
| − | すると、[[シューアの補題]]により、既約指標 {{math|π{{sub|1}}, π{{sub|2}}}} の間の直交関係
| |
| − | : <math>(\pi_1\mid\pi_2)=\begin{cases} 1 & \pi_1\simeq \pi_2\\ 0 & \pi_1 \not\simeq \pi_2\end{cases}</math>
| |
| − | が得られる。
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| − | | |
| − | == 応用 ==
| |
| − | === フロベニウス相互律 ===
| |
| − | {{main|{{仮リンク|フロベニウス相互律|fr|Réciprocité de Frobenius}}}}
| |
| − | 群環の構造を用いるよい例としてフロベニウス相互律を挙げられる。これは {{mvar|G}}-加群の{{仮リンク|誘導表現|en|induced representation}}を構成する方法とも理解される。有限群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} と {{math|''K''[''H'']}}-加群 {{mvar|W}} に対して、{{mvar|W}} から誘導される {{mvar|G}}-加群とは
| |
| − | : <math>V \simeq K[G] \otimes_{K[H]} W</math>
| |
| − | のことを言う（{{math|⊗{{sub|''K''[''H'']}}}} は {{math|''K''[''H'']}}-加群としての[[加群のテンソル積|テンソル積]]である）。この誘導表現は、{{mvar|H}}-加群 {{mvar|W}} の（環 {{math|''K''[''H'']}} から {{math|''K''[''G'']}} への）{{仮リンク|係数拡大|en|extension of scalars}}に対応する。{{mvar|H}} が {{mvar|G}} の[[正規部分群]]のときは、この誘導表現は {{mvar|H}} による[[半直積]]に同値である。
| |
| − | | |
| − | フロベニウス相互律は、誘導表現の指標に関する内積を計算するための便法を与える。{{mvar|ψ}} を {{mvar|H}} の表現 {{mvar|θ}} としての {{mvar|H}}-加群 {{mvar|W}} の指標とし、{{mvar|χ}} を {{mvar|G}} の表現 {{mvar|ρ}} の指標とする。{{mvar|ψ}} の {{mvar|G}} への誘導表現の指標を {{math|Ind ''ψ''}}、{{mvar|ρ}} の {{mvar|H}} への制限の指標を {{math|Res ''χ''}} とすれば、フロベニウス相互律とは
| |
| − | : <math>\langle \operatorname{Ind}_H^G \psi \mid \chi\rangle_G = \langle\psi \mid \operatorname{Res}_H^G \chi\rangle_H</math>
| |
| − | なる関係が成り立つことを主張するものである。これはそれぞれの付随する {{mvar|K}}-多元環準同型の空間の同型 {{math|Hom{{sub|''G''}}(Ind ''θ'', ''ρ'') ≅ Hom{{sub|''H''}}(''θ'', Res ''ρ'')}} を構成することで（次元を見れば）示される。
| |
| − | | |
| − | === 代数的整数 ===
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| − | {{main|整元}}
| |
| − | * {{math|''u'' ∈ ''K''[''G'']}} の標準基底に関する座標成分が全て{{math|ℤ}} 上で整ならば、{{mvar|u}} は {{math|ℤ}} 上[[整元|整]]である。
| |
| − | 実際に標準基底としての {{mvar|G}} の元 {{math|δ<sub>''s''</sub>}} は {{math|ℤ}} 上整であり、これらの生成する[[有限生成加群|有限生成 {{math|ℤ}}-加群]]は実際には[[環上の多元環| {{math|ℤ}}-多元環]]を成す。
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| − | | |
| − | 前節からの記号を引き続き使用して、以下が成り立つ:
| |
| − | * {{mvar|u}} が {{math|''K''[''G'']}} の中心に属する元で、その座標成分が {{math|ℤ}} 上整ならば以下の {{mvar|K}} の元<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>\lambda_i=\frac1{d_i}\sum_{s \in G} u_s \chi_i(s)</math></div>もまた {{math|ℤ}} 上整である。
| |
| − | 実際、[[#アルティン–ウェダーバーンの定理|上記]]の節によれば、この数は {{math|''S<sub>i</sub>''}} 上での相似比 {{math|ρ<sub>i</sub>(''u'')}} である。先に掲げた命題によりこの相似比は {{math|ℤ}} 上の整元であり、相似拡大の結合は多元環の準同型となるから、もとの数もそうである。
| |
| − | | |
| − | {{mvar|K}} が標数 {{math|0}} ならば以下の性質が導かれる:
| |
| − | * 既約表現の次数 {{mvar|d<sub>i</sub>}} は群の位数 {{mvar|g}} を割り切る。
| |
| − | <!--{{Démonstration|titre=Démonstration directe|contenu=
| |
| − | Considérons l'élément ''u'' égal à la somme, pour ''s'' décrivant ''G'', des éléments χ<sub>''i''</sub>(''s''<sup>-1</sup>)δ<sub>''s''</sub>. Les χ<sub>''i''</sub>(''s''<sup>-1</sup>) sont des [[Entier algébrique|entiers algébriques]], par [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini#Premières propriétés|intégralité des caractères]]. D'autre part χ<sub>i</sub> est, comme tout caractère, une fonction centrale sur ''G'', ce qui démontre que ''u'' est un élément du centre de ''K''[''G'']. Comme ses coordonnées dans la base canonique sont des entiers algébriques, la proposition précédente s'applique et ''g''/''d''<sub>i</sub> est un entier algébrique. Mais c'est aussi un nombre rationnel et donc un élément de '''Z''', ce qui démontre que ''d''<sub>i</sub> divise l'ordre du groupe.
| |
| − | }}-->
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| − | | |
| − | === 可換群上の調和解析 ===
| |
| − | {{main|{{仮リンク|有限可換群上の調和解析|fr|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}}}}
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| − | 有限群 {{mvar|G}} がアーベル群ならば、その[[指標群|双対群]]もまた有限で {{mvar|G}} に（自然でない）同型である。故に（複素係数）群環上の[[調和解析]]の道具は有効で、[[フーリエ変換]]や[[畳み込み]]を定義し、[[パーシヴァルの等式]]、[[プランシュレルの定理]]、[[ポントリャーギン双対性]]などの定理を適用することができる。
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| − | 多くの古典的な定理を有限可換群上の調和解析の言葉で解釈しなおすことができる。それらの中には、[[平方剰余の相互法則]]を示すのに使う[[ルジャンドル記号]]や[[ガウス和]]、[[円分多項式]]の求根に用いる[[ガウス周期]]など[[数論]]的な道具も含まれる。
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| − | == 注釈 ==
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| − | {{reflist|group="注"}}
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| − | == 出典 ==
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| − | {{reflist}}
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| − | == 参考文献 ==
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| − | * {{cite book
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| − | |last1 = Alperin
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| − | |first1 = J. L.
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| − | |last2 = Bell
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| − | |first2 = Rowen B.
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| − | |year = 1995
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| − | |title = Groups and Representations
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| − | |series = Graduate Texts in Mathematics
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| − | |volume = 162
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| − | |url = {{google books|EroGCAAAQBAJ|plainurl=yes}}
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| − | |publisher = Springer-Verlag
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| − | |isbn = 0-387-94525-3
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| − | |mr = 1369573
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| − | |zbl = 0839.20001
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| − | |doi = 10.1007/978-1-4612-0799-3
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| − | |ref = harv
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| − | }}
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| − | * [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]], Algèbre'', chap. VIII
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| − | * {{cite book
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| − | |last1 = Curtis
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| − | |first1 = Charles W.
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| − | |last2 = Reiner
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| − | |first2 = I.
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| − | |year = 2006
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| − | |origyear = 1962
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| − | |title = Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras
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| − | |url = {{google books|RKwjeZKMr8oC|plainurl=yes}}
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| − | |publisher = AMS Chelsea Publishing
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| − | |isbn = 0-8218-4066-5
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| − | |mr = 2215618
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| − | |zbl = 1093.20003
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| − | |doi = 10.1090/chel/356
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| − | |ref = harv
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| − | }}
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| − | * {{Hall1}}
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| − | * {{Lang1}}
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| − | * {{cite book
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| − | |last1 = Passman
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| − | |first1 = Donald S.
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| − | |year = 1985
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| − | |origyear = 1977
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| − | |title = The Algebraic Structure of Group Rings
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| − | |url = {{google books|2xrSHX-rpGMC|plainurl=yes}}
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| − | |publisher = Robert E. Krieger Publishing
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| − | |isbn = 0-89874-789-9
| |
| − | |mr = 0798076
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| − | |zbl = 0654.16001
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| − | |ref = harv
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| − | }}
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| − | * {{cite book
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| − | |last1 = Polcino Milies
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| − | |first1 = C.
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| − | |last2 = Sehgal
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| − | |first2 = Sudarshan K.
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| − | |year = 2002
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| − | |title = An Introduction to Group Rings
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| − | |url = {{google books|7m9P9hM4pCQC|plainurl=yes}}
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| − | |publisher = Kluwer Academic Publishers
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| − | |isbn = 1-4020-0238-6
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| − | |mr = 1896125
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| − | |zbl = 0997.20003
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| − | |doi = 10.1007/978-94-010-0405-3
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| − | |ref = harv
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| − | }}
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| − | * {{Serre2}}
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[モノイド代数]]
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| − | * [[フロベニウス代数]]
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| − | == 外部リンク ==
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| − | * {{springer|id=G/g045220|title=Group algebra|author=A. A. Bovdi}}
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| − | * {{MathWorld|urlname=GroupRing|title=Group Ring}}
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| − | * {{MathWorld|urlname=GroupAlgebra|title=Group Algebra|author=Barile, Margherita; Moslehian, Mohammad Sal; Weisstein, Eric W.}}
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| − | * {{PlanetMath|urlname=GroupRing|title=group ring}}
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| − | * {{nlab|urlname=group+algebra|title=group algebra}}
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| − | {{DEFAULTSORT:くんかん}}
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| − | [[Category:群の表現論]]
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| − | [[Category:調和解析]]
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| − | [[Category:多元環論]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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