一般化アペル多項式

数学において、ある多項式列 [math]\{p_n(z) \}[/math] に一般化アペル表現（いっぱんかアペルひょうげん、英: generalized Appell representation）が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う：

[math]K(z,w) = A(w)\Psi(zg(w)) = \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n. [/math]

ただし母関数あるいは核と呼ばれる [math]K(z,w)[/math] は、次の級数によって構成される：

[math]A(w)= \sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad[/math] with [math]a_0 \ne 0 [/math]

および

[math]\Psi(t)= \sum_{n=0}^\infty \Psi_n t^n \quad[/math] and all [math]\Psi_n \ne 0 [/math]

および

[math]g(w)= \sum_{n=1}^\infty g_n w^n \quad[/math] with [math]g_1 \ne 0.[/math]

上述のように、[math]p_n(z)[/math] が次数 [math]n[/math] の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式が挙げられる。

特別な場合

• [math]g(w)=w[/math] とすると、ブレンケ多項式のクラスに属する多項式が得られる。
• [math]\Psi(t)=e^t[/math] とすると、ニュートン多項式のような一般差分多項式を含む多項式のシェファー列が得られる。
• それらを合わせて [math]g(w)=w[/math] および [math]\Psi(t)=e^t[/math] とすることで、多項式のアペル列が得られる。

陽的表現

一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

[math]p_n(z) = \sum_{k=0}^n z^k \Psi_k h_k.[/math]

この定数は

[math]h_k=\sum_{P} a_{j_0} g_{j_1} g_{j_2} \cdots g_{j_k} [/math]

で与えられる。ただしこの和は [math]n[/math] を [math]k+1[/math] 個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての [math]\{j\}[/math] に対して取られる。

[math]j_0+j_1+ \cdots +j_k = n.\,[/math]

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

[math]p_n(z) = \sum_{k=0}^n \frac {a_{n-k} z^k} {k!}.[/math]

漸化式

核 [math]K(z,w)[/math] が [math]g_1=1[/math] に対し [math]A(w)\Psi(zg(w))[/math] と書くことが出来るための必要十分条件は

[math]\frac{\partial K(z,w)}{\partial w} = c(w) K(z,w)+\frac{zb(w)}{w} \frac{\partial K(z,w)}{\partial z}[/math]

が成り立つことである。ただし [math]b(w)[/math] および [math]c(w)[/math] にはべき級数表現

[math]b(w) = \frac{w}{g(w)} \frac {d}{dw} g(w) = 1 + \sum_{n=1}^\infty b_n w^n[/math]

および

[math]c(w) = \frac{1}{A(w)} \frac {d}{dw} A(w) = \sum_{n=0}^\infty c_n w^n [/math]

が存在する。今

[math]K(z,w)= \sum_{n=0}^\infty p_n(z) w^n[/math]

を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。

[math] z^{n+1} \frac {d}{dz} \left[ \frac{p_n(z)}{z^n} \right]= -\sum_{k=0}^{n-1} c_{n-k-1} p_k(z) -z \sum_{k=1}^{n-1} b_{n-k} \frac{d}{dz} p_k(z). [/math]

ブレンケ多項式の特別な場合として、[math]g(w)=w[/math] が得られ、したがって [math]b_n=0[/math] が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

関連項目

• q-差分多項式

参考文献

• Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
• William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
• W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.