ja>Cewbot |
|
| (同じ利用者による、間の2版が非表示) |
| 1行目: |
1行目: |
| − | {{要改訳}}
| |
| − | {{正確性|date=2015年2月}}
| |
| − | [[File:Imaginary log analytic continuation.png|thumb|360px|複素対数の虚部。<math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> 上で複素数での対数を定義しようとすると、異なる経路に沿った場合は異なる値となる。このことは、無限巡回モノドロミー群と{{仮リンク|ヘリコイド|en|helicoid}}(helicoid)による <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math>の被覆を導く。]]
| |
| | | | |
| − | 数学では、'''モノドロミー''' (monodromy) は、[[解析学]]、[[代数トポロジー]]、[[代数幾何学]]や[[微分幾何学]]の観点から[[特異点 (数学)|特異点]]の周りで対象がどのように振舞うかを研究する。名前が意味しているように、モノドロミーの基本的な意味は、「ひとりで回る」という意味である。[[被覆空間|被覆写像]]と被覆写像の[[分岐点 (数学)|分岐点]]への退化とは密接に関係している。モノドロミー現象が生ずることは、定義したある[[函数]]が'''一価性'''に失敗することを意味し、特異点の周りを回る経路を動くことである。このモノドロミーの失敗は、'''モノドロミー群'''を定義することによりうまく測ることができる。モノドロミー群は、「回る」ことに伴い起きることをエンコードするデータに作用する[[群 (数学)|群]]である。
| |
| − | <!--[[File:Imaginary log analytic continuation.png|thumb|The imaginary part of the complex logarithm. Trying to define the complex logarithm on '''C''' \ {0} gives different answers along different paths. This leads to an infinite cyclic monodromy group and a covering of '''C''' \ {0} by a [[helicoid]].]]
| |
| | | | |
| − | In [[mathematics]], '''monodromy''' is the study of how objects from [[mathematical analysis]], [[algebraic topology]] and [[algebraic geometry|algebraic]] and [[differential geometry]] behave as they 'run round' a [[Mathematical singularity|singularity]]. As the name implies, the fundamental meaning of ''monodromy'' comes from 'running round singly'. It is closely associated with [[covering map]]s and their degeneration into [[ramification]]; the aspect giving rise to monodromy phenomena is that certain [[function (mathematics)|function]]s we may wish to define fail to be ''single-valued'' as we 'run round' a path encircling a singularity. The failure of monodromy is best measured by defining a '''monodromy group''': a [[group (mathematics)|group]] of transformations acting on the data that encodes what does happen as we 'run round'.-->
| + | '''モノドロミー''' (monodromy) |
| | | | |
| − | ==定義==
| + | 一価性の定理. |
| − | ''X'' を ''x'' を基点とする連結で[[局所連結]]な[[位相空間]]とし、<math>p\colon\tilde{X}\to X</math> を[[ファイバー (数学)|ファイバー]](fiber) <math>F = p^{-1}(x)</math> を持つ[[被覆写像]]とする。''x'' を基点とするループ {{math|γ: [0, 1] → ''X''}} に対し、被覆写像（出発点を <math>\tilde{x}\in F</math> とする）のしたでの{{仮リンク|ホモトピーリフトの性質|label=リフト|en|homotopy lifting property}}(lift)を <math>\tilde{\gamma}</math> で表す。さらに、<math>\tilde{x}\cdot\gamma</math> により終点を表し、そこでは一般に <math>\tilde{x}</math> は異なっている。この構成が ''F'' の基本群 {{math|{{π}}<sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} をうまく定義することができ、<math>\tilde{x}</math> の[[群作用#軌道と等方部分群|安定化部分群]]は、ちょうど <math>p_{*}(\pi_1(\tilde{X},\tilde{x}))</math> に一致する。すなわち、元 [γ] は ''F'' の点を固定することと、<math>\tilde{x}</math> を起点とする <math>\tilde{X}</math> の中のループの像により表現されることと同値である。この作用は、'''モノドロミー作用''' (monodromy action) と呼ばれ、対応する ''F'' の[[自己同型群]]への[[群準同型|準同型]] {{math|{{π}}<sub>1</sub>(''X'', ''x'') → Aut(''F'')}} は'''モノドロミー'''である。この準同型の像が'''モノドロミー群''' (monodromy group) である。
| |
| − | <!--==Definition==
| |
| − | Let ''X'' be a connected and [[locally connected]] based [[topological space]] with base point ''x'', and let <math>p:\tilde{X}\to X</math> be a [[covering map|covering]] with [[Fiber (mathematics)|fiber]] <math>F = p^{-1}(x)</math>. For a loop γ: [0, 1] → ''X'' based at ''x'', denote a [[homotopy lifting property|lift]] under the covering map (starting at a point <math>\tilde{x}\in F</math>) by <math>\tilde{\gamma}</math>. Finally, we denote by <math>\tilde{x}\cdot\gamma</math> the endpoint <math>\tilde{\gamma}(1)</math>, which is generally different from <math>\tilde{x}</math>. There are theorems which state that this construction gives a well-defined [[group action]] of the [[fundamental group]] π<sub>1</sub>(''X'', ''x'') on ''F'', and that the [[stabilizer (group theory)|stabilizer]] of <math>\tilde{x}</math> is exactly <math>p_{*}(\pi_1(\tilde{X},\tilde{x}))</math>, that is, an element [γ] fixes a point in ''F'' if and only if it is represented by the image of a loop in <math>\tilde{X}</math> based at <math>\tilde{x}</math>. This action is called the '''monodromy action''' and the corresponding [[group homomorphism|homomorphism]] π<sub>1</sub>(''X'', ''x'') → Aut(''F'') into the [[automorphism group]] on ''F'' is the '''monodromy'''. The image of this homomorphism is the '''monodromy group'''.-->
| |
| | | | |
| − | ==例==
| + | 有界な単連結領域の解析関数は, その内部でできる限り解析接続しても 1 価であるという定理. |
| − | これらのアイデアは、まず[[複素解析]]の中で明らかになった。[[解析接続]]の過程では、穴あき複素平面 <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> のある開集合 ''E'' で[[解析函数]] ''F''(''z'') であるような函数は、''E'' の中に戻ってきたとき、異なる値となるかも知れない。たとえば、
| |
| | | | |
| − | :''F''(''z'') = log ''z''
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | :''E'' = {''z'' ∈ '''C''' : Re(''z'') > 0}
| |
| − | | |
| − | とすると、円
| |
| − | | |
| − | :|''z''| = 0.5
| |
| − | | |
| − | を反時計回りに回る解析接続は、''F''(''z'') ではなく、
| |
| − | | |
| − | :''F''(''z'') + 2{{π}}''i''
| |
| − | | |
| − | となる。
| |
| − | | |
| − | この場合、モノドロミー群は[[無限巡回群]]であり、被覆空間は穴あき複素平面の普遍被覆である。この被覆は、{{math|ρ > 0}} とした場合に、{{仮リンク|ヘリコイド|en|helicoid}}(helicoid)として視覚化できる。明白な方法で螺旋を潰して穴あき平面を得るという意味で、被覆写像は垂直射影である。
| |
| − | <!--==Example==
| |
| − | These ideas were first made explicit in [[complex analysis]]. In the process of [[analytic continuation]], a function that is an [[analytic function]] ''F''(''z'') in some open subset ''E'' of the punctured complex plane '''C''' \ {0} may be continued back into ''E'', but with different values. For example take
| |
| − | | |
| − | ::''F''(''z'') = log ''z''
| |
| − | ::''E'' = {''z'' ∈ '''C''': Re(''z'') > 0}
| |
| − | | |
| − | then analytic continuation anti-clockwise round the circle
| |
| − | | |
| − | ::|''z''| = 0.5
| |
| − | | |
| − | will result in the return, not to ''F''(''z'') but
| |
| − | | |
| − | ::''F''(''z'')+2π''i''.
| |
| − | | |
| − | In this case the monodromy group is [[infinite cyclic]] and the covering space is the universal cover of the punctured complex plane. This cover can be visualized as the [[helicoid]] (as defined in the helicoid article) restricted to ρ > 0. The covering map is a vertical projection, in a sense collapsing the spiral in the obvious way to get a punctured plane.-->
| |
| − | | |
| − | ==複素領域での微分方程式==
| |
| − | 重要な応用のひとつが[[微分方程式]]であり、そこではひとつの解が解析接続により線型独立な解たちを与えることとなる。さらに詳しくは、複素平面内の開いた連結集合 S の中で定義された線型微分方程式が S の[[基本群]]の[[線型表現]]であるループを回るすべての解析接続のモノドロミー群を持つ。与えられた表現を持ち{{仮リンク|確定特異点|en|regular singularity}}(regular singularities)を持つ方程式を構成する逆問題を{{仮リンク|リーマン・ヒルベルトの問題|en|Riemann–Hilbert problem}}(Riemann–Hilbert problem)という。
| |
| − | | |
| − | 確定特異点を持つ線型系（とくにフックス型の）に対し、通常、反時計回りの系の曲のひとつの回りにある各々のループに対応する作用素 M<sub>j</sub> が、モノドロミーの生成子として選択される。反時計回りに回ると、インデックス j が 1 から p + 1 へ増えるような方法で選択されると、生成子の間の唯一の関係式は <math>M_1...M_{p+1}=id</math> となる。{{仮リンク|ドリーニュ・シンプソンの問題|en|Deligne–Simpson problem}}(Deligne–Simpson problem)は次のような実現問題である。GL(n, '''C''') の共役類の組に対し、上記の関係式を満たす行列の既約な組 M<sub>j</sub> がこれらのクラスに存在するか？ この問題は、[[ピエール・ルネ・ドリーニュ|ドリーニュ]](Pierre Deligne)により最初に定式化され、{{仮リンク|カルロス・シンプソン|en|Carlos Simpson}}(Carlos Simpson)によりこの解決へ向けた最初の結果が得られた。フックス系の留数についての加法的な版の問題は、{{仮リンク|ヴラディミール・コストフ|en|Vladimir Kostov}}(Vladimir Kostov)により定式化され研究された。この問題は、多くの数学者により GL(n, '''C''') 以外に対しても同様に考えられた<ref>{{Citation|author=V.P. Kostov|title=The Deligne–Simpson problem — a survey|journal=J. Algebra|volume=281|year=2004|issue=1|pages=83–108|mr=2091962|doi=10.1016/j.jalgebra.2004.07.013}} and the references therein.</ref>。
| |
| − | <!--==Differential equations in the complex domain==
| |
| − | One important application is to [[differential equation]]s, where a single solution may give further linearly independent solutions by [[analytic continuation]]. Linear differential equations defined in an open, connected set ''S'' in the complex plane have a monodromy group, which (more precisely) is a [[linear representation]] of the [[fundamental group]] of ''S'', summarising all the analytic continuations round loops within ''S''. The inverse problem, of constructing the equation (with [[regular singularity|regular singularities]]), given a representation, is called the [[Riemann–Hilbert problem]].
| |
| − | | |
| − | For a regular (and in particular Fuchsian) linear system one usually chooses as generators of the monodromy group the operators ''M<sub>j</sub>'' corresponding to loops each of which circumvents just one of the poles of the system counterclockwise. If the indices ''j'' are chosen in such a way that they increase from 1 to ''p'' + 1 when one circumvents the base point clockwise, then the only relation between the generators is the equality <math>M_1...M_{p+1}=id</math>. The [[Deligne–Simpson problem]] is the following realisation problem: For which tuples of conjugacy classes in GL(''n'', '''C''') do there exist irreducible tuples of matrices ''M<sub>j</sub>'' from these classes satisfying the above relation? The problem has been formulated by [[Pierre Deligne]] and [[Carlos Simpson]] was the first to obtain results towards its resolution. An additive version of the problem about residua of Fuchsian systems has been formulated and explored by [[Vladimir Kostov]]. The problem has been considered by other authors for matrix groups other than GL(''n'', '''C''') as well.<ref>{{Citation|author=V.P. Kostov|title=The Deligne–Simpson problem — a survey|journal=J. Algebra|volume=281|year=2004|issue=1|pages=83–108|mr=2091962|doi=10.1016/j.jalgebra.2004.07.013}} and the references therein.</ref>-->
| |
| − | | |
| − | ==位相的側面と幾何学的側面==
| |
| − | 被覆写像の場合は、モノドロミーを{{仮リンク|ファイバー構成|en|fibration}}(fibration)の特別の場合と見ることができ、{{仮リンク|ホモトピーリフトの性質|en|homotopy lifting property}}(homotopy lifting property)を使い、被覆 ''C'' へ持ち上げると底空間 ''X''（簡単のために ''X'' を[[弧状連結]]と仮定して）上の経路に従うように見える。''X'' 上の ''x'' を出発点とするループを回ると、''x'' 上の ''c'' を出発点となるようにリフトし、再び ''x'' 上の ''c''<sup>*</sup> を終点とする。{{math|''c'' ≠ ''c''<sup>*</sup>}} となり、このことをコード化すると、[[基本群]] {{math|{{π}}<sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} の作用を、すべての ''c'' の集合上の[[置換群]]として、この脈絡では'''モノドロミー群'''として考える。
| |
| − | | |
| − | 微分幾何学では、類似した役割を{{仮リンク|平行移動|en|parallel transport}}(parallel transport)が担う。[[滑らかな多様体]](smooth manifold) ''M'' 上の[[主束]] ''B'' では、[[接続 (数学)|接続]]{{要曖昧さ回避|date=2016年1月}}は、''M'' の中の ''m'' 上のファイバーから近くのファイバーへの「水平」移動を持っている。''m'' を起点としたループへ適用したときの効果は、''m'' でのファイバーの変換の群の'''{{仮リンク|ホロノミー|en|holonomy}}'''(holonomy)を定義することである。''B'' の構造群が ''G'' であれば、積束 {{math|''M'' × ''G''}} から ''B'' のどのくらい離れているかを測る ''G'' の部分群である。
| |
| − | <!--==Topological and geometric aspects==
| |
| − | In the case of a covering map, we look at it as a special case of a [[fibration]], and use the [[homotopy lifting property]] to 'follow' paths on the base space ''X'' (we assume it [[path-connected]] for simplicity) as they are lifted up into the cover ''C''. If we follow round a loop based at ''x'' in ''X'', which we lift to start at ''c'' above ''x'', we'll end at some ''c*'' again above ''x''; it is quite possible that ''c'' ≠ ''c*'', and to code this one considers the action of the [[fundamental group]] π<sub>1</sub>(''X'', ''x'') as a [[permutation group]] on the set of all ''c'', as a '''monodromy group''' in this context.
| |
| − | | |
| − | In differential geometry, an analogous role is played by [[parallel transport]]. In a [[principal bundle]] ''B'' over a [[smooth manifold]] ''M'', a [[connection (mathematics)|connection]] allows 'horizontal' movement from fibers above ''m'' in ''M'' to adjacent ones. The effect when applied to loops based at ''m'' is to define a '''[[holonomy]]''' group of translations of the fiber at ''m''; if the structure group of ''B'' is ''G'', it is a subgroup of ''G'' that measures the deviation of ''B'' from the product bundle ''M'' × ''G''.-->
| |
| − | | |
| − | ===モノドロミー亜群と葉層===
| |
| − | [[基本群#基本亜群|基本亜群]]の類似として、起点を選択をせずにモノドロミー亜群を定義することが可能である。ここに、ファイバー構成 <math>p:\tilde X\to X</math> の底空間 ''X'' の中のリフト（のホモトピー類）を考える。結果は底空間 ''X'' 上の{{仮リンク|亜群|en|groupoid}}(groupoid)の構造を持つ。有利な点は、''X'' の連結性条件を落とすことができるということである。
| |
| − | | |
| − | さらに、構造は{{仮リンク|葉層構造|en|foliation}}(foliation)へ一般化することができる。<math>(M,\mathcal{F})</math> を ''M'' の（特異性を持ってもよいが）葉層構造とすると、<math>\mathcal{F}</math> 上のすべての葉の中の経路に対し、終点を通る局所[[:en:foliation#transversal section|横断的な切断]](transversal section)上の誘導された微分同相を考えることができる。単連結なチャートの中では、終点の周りの微分同相の[[芽 (数学)|芽]]の上で考える限りは、この微分同相は一意的で異なる横断的切断の間で特別に標準的となる。この方法では、単連結なときに微分同相は（固定された終点の）経路には依存しなく、従ってホモトピー不変である。
| |
| − | <!--===Monodromy groupoid and foliations===
| |
| − | Analogous to the [[Fundamental group#Fundamental groupoid|fundamental groupoid]] it is possible to get rid of the choice of a base point and to define a monodromy groupoid. Here we consider (homotopy classes of) lifts of paths in the base space ''X'' of a fibration <math>p:\tilde X\to X</math>. The result has the structure of a [[groupoid]] over the base space ''X''. The advantage is that we can drop the condition of connectedness of ''X''.
| |
| − | | |
| − | Moreover the construction can also be generalized to [[foliation]]s: Consider <math>(M,\mathcal{F})</math> a (possibly singular) foliation of ''M''. Then for every path in a leaf of <math>\mathcal{F}</math> we can consider its induced diffeomorphism on local [[foliation#transversal section|transversal section]]s through the endpoints. Within a simply connected chart this diffeomorphism becomes unique and especially canonical between different transversal sections if we go over to the [[Germ (mathematics)|germ]] of the diffeomorphism around the endpoints. In this way it also becomes independent of the path (between fixed endpoints) within a simply connected chart and is therefore invariant under homotopy.-->
| |
| − | | |
| − | ==ガロア理論を経由した定義==
| |
| − | '''F'''(''x'') で[[可換体|体]] '''F''' 上の変数 ''x'' の[[有理函数]]の体を表す。これは[[多項式環]] '''F'''[''x''] の[[分数体]]である。'''F'''(''x'') の元 {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} は、有限次[[体の拡大|拡大]] {{math|['''F'''(''x'') : '''F'''(''y'')]}} を決定する。
| |
| − | | |
| − | 拡大は一般的にはガロア拡大ではないが、[[ガロア閉包]] ''L''(''f'') を持っている。体の拡大 {{math|[''L''(''f'') : '''F'''(''y'')]}} に付帯する[[ガロア群]]を ''f'' のモノドロミー群と呼ぶ。
| |
| − | | |
| − | {{math|1='''F''' = '''C'''}} の場合には、[[リーマン面]]の理論は、上記に述べた幾何学的解釈が成り立つ。体の拡大 {{math|['''C'''(''x'') : '''C'''(''y'')]}} が既にガロア的であれば、付帯するモノドロミー群は、[[被覆空間|デック変換群]]と呼ばれることもある。
| |
| − | | |
| − | このことは、[[グロタンディークのガロア理論|被覆空間のガロア理論]]に関連していて、[[代数幾何学と解析幾何学|リーマンの存在定理]]を導く。
| |
| − | <!--==Definition via Galois theory==
| |
| − | Let '''F'''(''x'') denote the field of the [[rational function]]s in the variable ''x'' over the [[field (mathematics)|field]] '''F''', which is the [[field of fractions]] of the [[polynomial ring]] '''F'''[''x'']. An element ''y'' = ''f''(''x'') of '''F'''(''x'') determines a finite [[field extension]] ['''F'''(''x'') : '''F'''(''y'')].
| |
| − | | |
| − | This extension is generally not Galois but has [[Galois closure]] ''L''(''f''). The associated [[Galois group]] of the extension [''L''(''f'') : '''F'''(''y'')] is called the monodromy group of ''f''.
| |
| − | | |
| − | In the case of '''F''' = '''C''' [[Riemann surface]] theory enters and allows for the geometric interpretation given above. In the case that the extension ['''C'''(''x'') : '''C'''(''y'')] is already Galois, the associated monodromy group is sometimes called a [[Covering map|group of deck transformations]].
| |
| − | | |
| − | This has connections with the [[Grothendieck's Galois theory|Galois theory of covering spaces]] leading to the [[Riemann existence theorem]].-->
| |
| − | | |
| − | ==関連項目==
| |
| − | * [[ブレイド群]]
| |
| − | * {{仮リンク|モノドロミー定理|en|Monodromy theorem}}(Monodromy theorem)
| |
| − | * {{仮リンク|写像類群|en|Mapping class group}}(Mapping class group) （穴あき円板の）
| |
| − | | |
| − | ==脚注==
| |
| − | {{Reflist}}
| |
| − | | |
| − | ==参考文献==
| |
| − | *{{springer|author=V. I. Danilov|title=Monodromy|id=M/m064700}}
| |
| − | *{{planetmath reference|id=4000|title=Monodromy}}
| |
| | | | |
| | {{DEFAULTSORT:ものとろみい}} | | {{DEFAULTSORT:ものとろみい}} |