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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-05-15T15:01:43Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
集合の代数学
2017-04-17T05:43:12Z
<p>2400:4030:88EA:E800:5DE5:C652:F2AB:EE27: </p>
<hr />
<div>'''集合の代数学'''（しゅうごうのだいすうがく、{{lang-en-short|<em>algebra of sets</em>}}）は、集合の集まりを[[合併 (集合論)|結び]]・[[共通部分 (数学)|交わり]]・[[差集合|補演算]]といった集合演算、集合の[[等式|相等関係]]・[[部分集合|包含関係]]のような[[二項関係]]などを持つ体系として捉えたものである。集合の代数学を考えることで、[[集合]]に関する基本的な性質・法則を明らかにし、これらの演算や関係に伴って必要となる式の評価や計算の実行に関して系統的な扱いができるようになる。<br />
<br />
== はじめに ==<br />
集合の代数学は、集合操作と集合関係の基本的性質を扱う。これらの性質は集合の根本的性質への洞察を提供するとともに、実用的な側面も持っている。<br />
<br />
通常の算術における式やその計算とまったく同様に、集合に関する式や計算も複雑になりうるから、そのような式の評価や効率的な計算を自在に行うために、体系的な取り扱い方を有しているということは有効である。<br />
<br />
算術については、算術演算と関係の基本性質を扱うのは初等代数学である。<br />
<br />
例えば、[[加法]]と[[乗法]]は、[[結合法則]]、[[交換法則]]、[[分配法則]]といったよく知られた法則に従う。また、「&mdash;以下」といった関係は[[反射律]]、[[反対称律]]、[[推移律]]といった法則に従う。これらの規則は数や数の操作や関係の基本的性質を表しているだけでなく、計算を容易にするツールとしても働く。<br />
<br />
集合の代数学は、そのような初等代数学を集合論に適用するものである。和集合、共通部分、差集合といった集合論的操作や等価性や部分性の関係に関する代数学である。集合そのものについては[[集合]]の項目や[[素朴集合論]]の項目を参照。また、集合の厳密な[[公理]]的扱いについては[[公理的集合論]]を参照。<br />
<br />
== 集合の代数学の基本法則 ==<br />
[[合併 (集合論)|和集合]]と[[共通部分 (数学)|共通部分]]に関する[[二項関係]]は、さまざまな[[恒等式]]を満足する。その一部には法則としての名称がある。以下で命題として[[証明]]なしで3つの規則を示す。<br />
<br />
'''命題 1''': 任意の[[集合]] ''A''、''B''、''C'' について、以下が成り立つ。<br />
:[[交換法則]]:<br />
::*<math>A \cup B = B \cup A</math><br />
::*<math>A \cap B = B \cap A</math><br />
:[[結合法則]]:<br />
::*<math>(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)</math><br />
::*<math>(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)</math><br />
:[[分配法則]]:<br />
::*<math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math><br />
::*<math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)</math><br />
<br />
和集合と共通部分が数の加法と乗法に性質が非常によく似ている点に注意が必要である。加法や乗法と同じく、和集合や共通部分の操作は可換で結合的であり、共通部分は和集合に対して分配的である。しかし、加法や乗法と異なる点として、和集合も共通部分に対して分配的である。<br />
<br />
次の命題では3つの特殊な集合に関する2組の規則を示している。3つの特殊な集合とは、[[空集合]]、[[普遍集合]]（universal set）、[[差集合|補集合]]である。<br />
<br />
'''命題 2''': 普遍集合 '''U''' の任意の[[部分集合]] ''A'' について、以下が成り立つ。<br />
<br />
:同一性の規則（identity laws）:<br />
::*<math>A \cup \varnothing = A</math><br />
::*<math>A \cap U = A</math><br />
:相補性の規則（complement laws）:<br />
::*<math>A \cup A^C = U</math><br />
::*<math>A \cap A^C = \varnothing</math><br />
<br />
同一性の規則（と相補性の規則）は、加法や乗法で 0 と 1 がそうであるように、&empty; と '''U''' が和集合や共通部分の[[単位元]]であることを示している。<br />
<br />
加法や乗法とは異なり、和集合や共通部分は[[逆元]]を持たない。しかし、相補性の規則は一種の逆元的な集合の相補性の[[単項演算]]の基本的性質を示している。<br />
<br />
以上の5組の規則（交換、結合、分配、同一性、相補性）が集合の代数学の基本であり、これらから全ての集合の代数学の定理が生まれる。<br />
<br />
== 双対原理 ==<br />
{{seealso|{{仮リンク|順序集合に関する双対性|en|Duality (order theory)}}}}<br />
上述の命題から次のような興味深いパターンが表れる。すなわち、全ての規則は組になっていて、∪ と ∩、&empty; と '''U''' を入れ替えることで相互に変換が可能である（束に関する双対性）。<br />
<br />
これは集合の代数学の重要かつ強力な性質の例であり、'''[[集合の双対原理]]'''（principle of duality）と呼ばれ、集合に関する任意の正しい式について、その中の和集合演算と共通部分演算を入れ替え、'''U''' と &empty; を入れ替えた式もやはり正しいことを示している。入れ替えた後の式が入れ替え前の式と同じである場合、これらを'''自己双対'''（self-dual）であるという。<br />
<br />
== 和集合と共通部分の追加規則 ==<br />
次の命題は、和集合と共通部分に関する6つの重要な法則を示している。<br />
<br />
'''命題 3''': 普遍集合 '''U''' の任意の部分集合 ''A'' と ''B'' について、以下が成り立つ。<br />
:[[等冪]]法則（idempotent laws）:<br />
::*<math>A \cup A = A</math><br />
::*<math>A \cap A = A</math><br />
:統治法則（domination laws）:<br />
::*<math>A \cup U = U</math><br />
::*<math>A \cap \varnothing = \varnothing</math><br />
:[[吸収法則]]（absorption laws）:<br />
::*<math>A \cup (A \cap B) = A</math><br />
::*<math>A \cap (A \cup B) = A</math><br />
<br />
前述の通り、命題3の各法則は命題1および命題2の基本法則から導出できる。例として、以下に和集合の等冪法則の証明を示す。<br />
<br />
''証明:''<br />
{|<br />
|-<br />
|<math>A \cup A</math><br />
|<math>=(A \cup A) \cap U</math><br />
|共通部分の同一性の規則による<br />
|-<br />
|<br />
|<math>=(A \cup A) \cap (A \cup A^C)</math><br />
|和集合の相補性の規則による<br />
|-<br />
|<br />
|<math>=A \cup (A \cap A^C)</math><br />
|共通部分に対する和集合の分配法則による<br />
|-<br />
|<br />
|<math>=A \cup \varnothing</math><br />
|共通部分の相補性の規則による<br />
|-<br />
|<br />
|<math>=A</math><br />
|和集合の同一性の規則による<br />
|}<br />
次の証明は、上記の和集合の等冪法則の証明と双対関係にあり、共通部分の等冪法則の証明となっている。<br />
<br />
''証明:''<br />
{|<br />
|-<br />
|<math>A \cap A</math><br />
|<math>=(A \cap A) \cup \varnothing</math><br />
|和集合の同一性の規則による<br />
|-<br />
|<br />
|<math>=(A \cap A) \cup (A \cap A^C)</math><br />
|共通部分の相補性の規則による<br />
|-<br />
|<br />
|<math>=A \cap (A \cup A^C)</math><br />
|和集合に対する共通部分の分配法則による<br />
|-<br />
|<br />
|<math>=A \cap U</math><br />
|和集合の相補性の規則による<br />
|-<br />
|<br />
|<math>=A</math><br />
|共通部分の同一性の規則による<br />
|}<br />
<br />
== 補集合の追加規則 ==<br />
次の命題は補集合に関する集合の代数学の5つの規則を示している。<br />
<br />
'''命題 4''': ''A'' と ''B'' が普遍集合 '''U''' の部分集合であるとき、以下が成り立つ。<br />
:[[ド・モルガンの規則]]:<br />
::*<math>(A \cup B)^C = A^C \cap B^C</math><br />
::*<math>(A \cap B)^C = A^C \cup B^C</math><br />
:二重補集合または[[対合]]法則:<br />
::*<math>A^{CC} = A</math><br />
:普遍集合と空集合の補集合の規則:<br />
::*<math>\varnothing^C = U</math><br />
::*<math>U^C = \varnothing</math><br />
<br />
二重補集合の規則は自己双対であることに注意。<br />
<br />
次の命題も自己双対であり、補集合の規則を満たす集合は補集合しかないことを示している。換言すれば相補性は補集合の規則で特徴付けられる。<br />
<br />
'''命題 5''': ''A'' と ''B'' が普遍集合 '''U''' の部分集合であるとき、以下が成り立つ。<br />
:補集合の普遍性:<br />
::* <math>A \cup B = U</math> で、かつ <math>A \cap B = \varnothing</math> なら、<math>B = A^C</math> が成り立つ。<br />
<br />
== 包含の代数学 ==<br />
次の命題は、部分集合に[[順序集合|半順序]]が成り立つことを示している。<br />
<br />
'''命題 6''': 集合 ''A''、''B''、''C'' について次が成り立つ。<br />
<br />
:[[反射律]]:<br />
::*<math>A \subseteq A</math><br />
<br />
:[[反対称律]]:<br />
::*<math>A \subseteq B</math> かつ <math>B \subseteq A</math> であることと <math>A = B</math> は等価<br />
<br />
:[[推移律]]:<br />
::* <math>A \subseteq B</math> で、かつ <math>B \subseteq C</math> であるなら、<math>A \subseteq C</math> が成り立つ。<br />
<br />
次の命題は、任意の集合 ''S'' とその[[冪集合]]に包含関係の順序性、[[束論|上限と下限]]があり、分配法則と相補性の規則から[[ブール代数]]が導かれることを示している。<br />
<br />
'''命題 7''': 集合 ''A''、''B''、''C'' が集合 ''S'' の部分集合であるとき、以下が成り立つ。<br />
<br />
:下限と上限の存在:<br />
::*<math>\varnothing \subseteq A \subseteq S</math><br />
<br />
:[[束論|結び]]の存在:<br />
::*<math>A \subseteq A \cup B</math><br />
::* <math>A \subseteq C</math> で、かつ <math>B \subseteq C</math> なら、<math>A \cup B \subseteq C</math> が成り立つ。<br />
<br />
:[[束論|交わり]]の存在:<br />
::*<math>A \cap B \subseteq A</math><br />
::* <math>C \subseteq A</math> で、かつ <math>C \subseteq B</math> なら、<math>C \subseteq A \cap B</math> が成り立つ。<br />
<br />
次の命題は <math>A \subseteq B</math> という式を和集合や積集合や補集合を使って表現できることを示している。<br />
<br />
'''命題 8''': 任意の2つの集合 ''A'' と ''B'' について、以下の式は等価である。<br />
:*<math>A \subseteq B</math><br />
:*<math>A \cap B = A</math><br />
:*<math>A \cup B = B</math><br />
:*<math>A - B = \varnothing</math><br />
:*<math>B^C \subseteq A^C</math><br />
<br />
この命題は集合の包含関係を和集合や共通部分で表せることを示しており、換言すれば包含関係の記述は公理的に冗長である。<br />
<br />
== 差集合の代数学 ==<br />
<br />
以下の命題は[[差集合]]に関するいくつかの恒等式が並べてある。&minus; は差集合を求める演算を表し、<math>\bullet^c</math> は <math>\bullet</math> の[[補集合]]を表す。<br />
<br />
'''命題 9''': 任意の普遍集合 '''U''' とその部分集合 ''A''、''B''、''C'' について、以下が成り立つ。<br />
:*<math>C - (A \cap B) = (C - A) \cup (C - B)</math><br />
:*<math>C - (A \cup B) = (C - A) \cap (C - B)</math><br />
:*<math>C - (B - A) = (A \cap C)\cup(C - B)</math><br />
:*<math>(B - A) \cap C = (B \cap C) - A = B \cap (C - A)</math><br />
:*<math>(B - A) \cup C = (B \cup C) - (A - C)</math><br />
:*<math>A - A = \varnothing</math><br />
:*<math>\varnothing - A = \varnothing</math><br />
:*<math>A - \varnothing = A</math><br />
:*<math>B - A = A^c \cap B</math><br />
:*<math>(B - A)^c = A \cup B^c</math><br />
:*<math>U - A = A^c</math><br />
:*<math>A - U = \varnothing</math><br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[論理演算]]<br />
* [[ブール代数]]<br />
* [[集合代数]]<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* Stoll, Robert R.; ''Set Theory and Logic'', Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. [http://books.google.com/books?id=3-nrPB7BQKMC&pg=PA16#v=onepage&q&f=false "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23]<br />
* Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, ''What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods'', Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3. [http://books.google.com/books?id=UfdossHPlkgC&pg=PA17-IA8&dq=%22algebra+of+sets%22&hl=en&ei=k8-RTdXoF4K2tgfM-p1v&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDYQ6AEwAg#v=onepage&q=%22algebra%20of%20sets%22&f=false "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS"]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
*[http://www.apronus.com/provenmath/btheorems.htm Operations on Sets at ProvenMath]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:しゆうこうたいすう}}<br />
[[Category:集合の基本概念]]<br />
[[Category:ブール代数]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
<br />
[[en:Algebra of sets]]<br />
[[es:Álgebra de conjuntos]]<br />
[[fa:جبر مجموعهها]]<br />
[[ru:Алгебра множеств]]<br />
[[uk:Алгебра множин]]<br />
[[zh:集合代数]]</div>
2400:4030:88EA:E800:5DE5:C652:F2AB:EE27
ハイネ・カントールの定理
2017-04-17T05:37:50Z
<p>2400:4030:88EA:E800:5DE5:C652:F2AB:EE27: </p>
<hr />
<div>'''ハイネ・カントールの定理'''とは、次のような定理である。<br />
<br />
:''M'' を[[コンパクト (数学)|コンパクト]]な[[距離空間]]、''N'' を距離空間とする。このとき、任意の[[連続関数]] ''f'' &nbsp;:&nbsp;''M''&nbsp;→&nbsp;''N'' は一様連続である。<br />
<br />
== 微分積分学における言明 ==<br />
[[微分積分学]]では次のように表現される。<br />
<br />
'''定理 '''[[有界]][[閉区間]] ''I'' 上の連続関数 ''f'' : ''I'' → '''''R''''' は[[一様連続]]である。<br />
<br />
微分積分学ではほとんどの場合に「連続かつ一様連続でない」として「連続でない」という[[背理法|矛盾を導く]]証明が提示されるが、その過程で連続という仮定は一切使われないので、連続という仮定を廃して全く同じ過程で進めば背理法に依らず示すことができる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
*[[エドゥアルト・ハイネ]]<br />
*[[ゲオルグ・カントール]]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:はいねかんとおるのていり}}<br />
[[Category:距離空間]]<br />
[[Category:解析学の定理]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
2400:4030:88EA:E800:5DE5:C652:F2AB:EE27
凸錐
2017-04-17T05:25:58Z
<p>2400:4030:88EA:E800:5DE5:C652:F2AB:EE27: /* 定義 */</p>
<hr />
<div>{{Unreferenced|date=November 2014}}<br />
<br />
[[数学]]の[[線型代数学]]の分野において、'''凸錐'''（とつすい、{{Lang-en-short|convex cone}}）とは、ある[[順序体]]上の[[ベクトル空間]]の[[部分集合]]で、正係数の[[線型結合]]の下で閉じているもののことを言う。<br />
<br />
[[Image:Convex cone illust.svg|right|thumb|凸錐（薄い青色の部分）。その内部の薄い赤色の部分もまた凸錐で、α, β > 0 に対する α''x'' + β''y'' のすべての点を表すものである。遠方で曲線となっているのは、その領域の広さが無限大であることを意味する。]]<br />
<br />
== 定義 ==<br />
ベクトル空間 {{mvar|V}} の[[部分集合]] {{mvar|C}} が'''錐'''（あるいは'''線型錐'''）とは、{{mvar|C}} の各元 {{mvar|x}} と正のスカラー {{mvar|α}} に対して、積 {{mvar|αx}} が {{mvar|C}} に属することである<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=x7isojLkDTcC|title=Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (Second Edition)|last=Bernstein|first=Dennis S.|date=2009-07-26|publisher=Princeton University Press|isbn=0691140391|pages=97|language=en}}</ref>。<br />
<br />
部分集合 {{mvar|C}} が'''凸錐'''であるとは、任意の正のスカラー {{mvar|α, β}} と {{mvar|C}} の任意の元 {{math|''x'', ''y''}} に対して {{math|''αx'' + ''βy''}} が {{mvar|C}} に属することをいう<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=cX-TGJb1gfkC|title=Linear Algebra|last=Nef|first=Walter|date=1988-01-01|publisher=Courier Corporation|isbn=9780486657721|pages=35|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=WHjO9K6xEm4C|title=Encyclopedic Dictionary of Mathematics|last=Itô|first=Kiyosi|date=1993-01-01|publisher=MIT Press|isbn=9780262590204|language=en}}</ref>。<br />
<br />
この概念は、[[有理数|有理数体]]や[[代数体]]や（よりよく使われる）[[実数|実数体]]上の空間のように「正」のスカラーの概念が存在する任意のベクトル空間に対して意味を持つ。定義におけるスカラーは正なので原点は {{mvar|C}} に属していなくてもよいことにも注意。著者によっては原点が {{mvar|C}} に属することを定義に含めることもある<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=jzpzBwAAQBAJ|title=Convex Analysis|last=Rockafellar|first=Ralph Tyrell|date=2015-04-29|publisher=Princeton University Press|isbn=9781400873173|pages=13|language=en}}</ref>。スケーリングパラメーター {{math|''α'', ''β''}} のため、錐は（空集合や {{math|{{mset|0}}}} でなければ）無限に拡がり有界ではない。<br />
<br />
''C'' が凸錐であるなら、任意の正のスカラー α と任意の ''C'' の元 ''x'' に対するベクトル α''x'' = (α/2)''x'' + (α/2)''x'' もまた ''C'' の元である。このことより、凸錐 ''C'' は線型錐の特別な場合であることが分かる。<br />
<br />
空集合や、全空間 ''V'' およびその任意の線型部分空間（自明空間 {'''[[零ベクトル|0]]'''} も含む）は、定義より凸錐である。その他の例として、''V'' の任意のベクトル ''v'' とその正の定数倍からなる集合や、'''R'''<sup>''n''</sup> の正の[[象限]]（すべての成分が正であるベクトルの集合）などが挙げられる。<br />
<br />
より一般の例として、正のスカラー λ と、''V'' のある[[凸集合|凸部分集合]] ''X'' の元 ''x'' に対するベクトル λ''x'' の集合が挙げられる。特に ''V'' が[[ノルム線型空間]]で、''X'' が '''0''' を含まない ''V'' の開球（resp. 閉球）であるなら、この構成法により得られる凸錐は'''開'''（resp. '''閉'''）'''凸円錐'''である。<br />
<br />
同一のベクトル空間内の二つの凸錐の共通部分はまた凸錐である。しかし、それらの合併は凸錐でないこともあり得る。凸錐の類はまた、任意の[[線型写像]]の下で閉じている。特に、''C'' が凸錐であるなら、−''C'' もまた凸錐である。さらに ''C'' ∩ −''C'' は ''C'' に含まれる最大の線型部分空間である。<br />
<br />
<br />
=== 代替の定義 ===<br />
上述の性質より凸錐は、[[線型結合]]や単なる[[加法]]の下で閉じている線型錐として定義することも出来る。より簡潔に言うと、集合 ''C'' が凸錐であるための必要十分条件は、''V'' 内の任意の正のスカラー α に対して "α''C'' = ''C'' および ''C'' + ''C'' = ''C'' が成り立つことである。<br />
<br />
さらに上述の定義における「正のスカラー α, β」は、「少なくともいずれかは 0 でない非負のスカラー α, β」に置き換えることも出来る。<br />
<br />
== 鈍凸錐と鋭凸錐 ==<br />
上述の定義より、''C'' が凸錐であるなら ''C'' ∪ {'''0'''} も凸錐であることが分かる。凸錐は、零ベクトル '''0''' を含むかどうかによって、'''鋭'''（pointed）または'''鈍'''（blunt）と区別されて呼ばれる。鈍凸錐は、上述の α, β の条件における「正」を「非負」に置き換えることで、凸錐の定義から除くことが出来る。「鋭」という語はまた、完全な直線を含まない（すなわち、全ベクトル空間 V の非自明な部分空間を含まない）閉錐に対しても用いられる。これは以下で述べる突凸錐（salient convex cone）である。<br />
<br />
== 半空間 ==<br />
''V'' の（線型）'''超平面'''（hyperplane）は、''V'' の極大の真線型部分空間である。''V'' の開（resp. 閉）'''半空間'''（half-space）は、''V'' からそのスカラー場への任意の線型函数 ''L'' に対して条件 ''L''(''x'') > 0（resp. ''L''(''x'') ≥ 0）を満たす ''V'' の任意の部分集合 ''H'' で定義される。''L''(''v'') = 0 で定義される超平面は、''H'' の'''有界超平面'''（bounding hyperplane）である。<br />
<br />
半空間は（開か閉かには係らず）凸錐である。さらに、全空間 ''V'' ではない任意の凸錐 ''C'' は、''V'' のある閉半空間 ''H'' に必ず含まれる。実際、位相的閉凸錐は、それを含むすべての閉半空間の共通部分である。同様の結果は、任意の位相的開凸錐に対しても成立する。<br />
<br />
== 突凸錐と完全半空間 ==<br />
<br />
凸錐は、ある非ゼロのベクトル ''x'' に対して ''x'' と -''x'' のいずれもがそこに含まれるなら、'''平'''（flat）と言われる。そうでない場合、'''突'''（salient）と言われる。<br />
<br />
鈍凸錐は必ず突であるが、その逆は必ずしも真ではない。凸錐 ''C'' が突であるための必要十分条件は、''C'' ∩ −''C'' ⊆ {'''0'''} である。すなわち、''C'' が ''V'' の任意の非自明な線型部分空間を含まないことである。<br />
<br />
''V'' の'''完全半空間'''（perfect half-space）は、次のように帰納的に定義される：''V'' が零次元であるなら、それは集合 {'''0'''} である。そうでないなら、それは ''V'' の任意の開半空間 ''H'' と、''H'' の有界超平面の完全半空間である。<br />
<br />
すべての完全半空間は、突凸錐である。さらに、すべての突凸錐はある完全半空間に含まれる。言い換えると、完全半空間は（包含順序の下での）極大突凸錐である。実際、すべての鋭突凸錐は（それが位相的に開であるか閉であるかあるいはそれらの混合であるかに係らず）、それを含むすべての完全半空間の共通部分である。<br />
<br />
== 凸集合の断面と射影 ==<br />
<br />
=== 平断面 ===<br />
''V'' の'''アフィン超平面'''（affine hyperplane）とは、''V'' に属するベクトル ''v'' と、ある（線型）超平面 ''H'' に対して、''v'' + ''H'' の形式を持つ ''V'' の任意の部分集合のことを言う。<br />
<br />
半空間の包含の性質より、次の結果が成立する。''Q'' を ''V'' に含まれるある開半空間とし、''Q'' の有界超平面 ''H'' と任意の ''Q'' のベクトル ''v'' に対して ''A'' = ''H'' + ''v'' を定める。''C'' を ''Q'' に含まれる線型錐とする。このとき ''C'' が凸錐であるための必要十分条件は、集合 ''C''′ = ''C'' ∩''A'' が ''A'' の[[凸集合|凸部分集合]]（すなわち、[[凸結合]]の下で閉じている集合）であることである。<br />
<br />
この結果より、[[アフィン空間]]の凸集合のすべての性質は、ある固定された開半空間に含まれる凸錐に対する性質との類似点を持つことが分かる。<br />
<br />
=== 球断面 ===<br />
''V'' に[[ノルム]] | · | が与えられたとき、''V'' の'''単位球面'''は次の集合で定義される：<br />
<br />
:<math>S = \{x \in V\;:\;|x| = 1\}.</math><br />
<br />
| · | の値が ''V'' のスカラーであるとき、''V'' の線型錐 ''C'' が凸錐であるための必要十分条件は、その球断面 ''C''′ ∩ ''S''（その単位ノルムベクトルの集合）が次の意味で ''S'' の凸部分集合であることである：''u'' ≠ −''v'' であるような任意の二つのベクトル ''u'', ''v'' ∈ ''C''′ に対し、''u'' から ''v'' への ''S'' 内の最短経路にあるすべてのベクトルが ''C''′ に含まれる。<br />
<br />
== 双対錐 ==<br />
<br />
''C'' ⊂ ''V'' を、[[内積]]を備えるある実ベクトル空間 ''V'' 内の凸錐とする。''C'' の'''双対錐'''（dual cone）は次の集合である。<br />
<br />
:<math> \{ v\in V\;:\;\forall w\in C, \langle w,v \rangle \ge 0 \}. </math><br />
<br />
これはまた凸錐でもある。''C'' は、その双対錐と等しいとき、'''自己双対'''（self-dual）と呼ばれる。<br />
<br />
錐 ''C'' ⊂ ''V'' の双対に関するまた別の概念として、[[双対空間]] ''V*'' において次で定義される錐 ''C*'' が挙げられる。<br />
<br />
:<math> C^* := \left \{ v\in V^*\;:\;\forall w\in C, v(w) \ge 0 \right \}. </math><br />
<br />
言い換えると、''V*'' が ''V'' の[[代数的双対]]であるなら、''C*'' は元の錐 ''C'' 上の非負の線型汎函数の集合である。また ''V*'' を[[双対ベクトル空間|連続双対]]であるように取ると、''C*'' は元の錐 ''C'' 上の非負の連続線型汎函数の集合となる。この概念は ''V'' 上の内積に関しては何も必要としていない。<br />
<br />
有限次元において、双対錐のこれら二種類の概念は本質的に同一である。なぜならば、任意の内積は ''V*'' から ''V'' への線型同型（非特異線型写像）を導き、その同型は ''V*'' 内において第二の定義の双対錐を、第一の定義のそれに写すからである。錐は、それに関する内積が第一の定義における双対と等しいのであれば、与えられた内積について特に注意することなく自己双対であるとすることが出来る。この内積によって導かれる ''V'' から ''V*'' への写像はしたがって、''C*'' ⊂ ''V*'' を ''C'' ⊂ ''V'' へ写す。しかし、双対錐から元の錐への上への線型同型の存在は、この意味における自己双対性と同値ではない。すなわち、そのようなすべての同型は ''V'' 上の非特異な双線型形式を導くが、この形式は必ずしも正定ではない（すなわち、必ずしも内積ではない）。双対錐への線型同型であるが、自己同型でないような錐には多くの例がある。そのような一例として、偶数個の頂点を持つ正多角基（regular polygonal base）を伴う三次元の任意の錐が挙げられる。<br />
<br />
== 凸錐によって定義される半順序 ==<br />
<br />
鋭凸錐あるいは突凸錐 ''C'' は、''y'' − ''x'' ∈ ''C'' であることと ''x''≤''y'' が同値であるように ''V'' 上の[[順序集合|半順序]]を定める（平錐の場合は、同様の定義によって{{仮リンク|前順序|en|preorder}}が定められる）。この順序に関する妥当不等式（valid inequality）の和や正のスカラー倍は、再び妥当不等式となる。このような順序を伴うベクトル空間は、{{仮リンク|順序ベクトル空間|en|ordered vector space}}と呼ばれる。その例には、実数値ベクトルの空間 ('''R'''<sup>''n''</sup>) 上の[[直積順序]]や、行列上のレヴナー順序（Loewner order）が挙げられる。<br />
<br />
== 真凸錐 ==<br />
'''真凸錐'''（proper convex cone）という語は、文脈によって様々な意味で定義されている。それはしばしば ''V'' の任意の超平面に含まれない突凸錐のことを指したり、位相的に閉（したがって鋭）、あるいは位相的に開（したがって鈍）などの他の条件を含むもののことを指すこともある。人によっては、この記事で凸錐と呼んでいるものに対して'''楔'''（wedge）という語を使い、この記事で突凸錐や真凸錐と呼んでいるもののことを'''錐'''と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 凸錐の例 ==<br />
<br />
* [[ヒルベルト空間]] ''V'' の閉凸部分集合 ''K'' が与えられたとき、''K'' 内の点 ''x'' での集合 ''K'' の'''法錐'''（normal cone）は次で定義される：<br />
<br />
:<math>N_K(x) = \left \{ p \in V\;:\;\forall x^* \in K, \langle p, x - x^* \rangle \geq 0 \right \}.</math><br />
<br />
* ''V'' の閉凸部分集合 ''K'' が与えられたとき、点 ''x'' での集合 ''K'' の'''{{仮リンク|接錐|en|tangent cone}}'''（tangent cone）は次で定義される：<br />
<br />
:<math>T_K(x) = \overline{\bigcup_{h>0} \tfrac{1}{h} (K-x)}.</math><br />
<br />
* ヒルベルト空間 ''V'' の閉凸部分集合 ''K'' が与えられたとき、点 ''x'' での集合 ''K'' への'''外向き法錐'''（outward normal cone）は次で定義される：<br />
<br />
:<math>N_K(x) = \left \{ p \in V\;:\;\forall x^* \in K, \langle p, x - x^* \rangle \leqslant 0 \right \}.</math><br />
<br />
* ヒルベルト空間 ''V'' の閉凸部分集合 ''K'' が与えられたとき、点 ''x'' での集合 ''K'' への'''接錐'''（tangent cone）は、外向き法錐 <math>N_K(x)</math> への[[双対錐と極錐|極錐]]として、次のように定義される：<br />
<br />
:<math>T_K(x) = N_K^*(x)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\{y\in V|\forall \xi\in N_K(x): \langle y, \xi \rangle \leqslant 0 \}. </math><br />
<br />
法錐と接錐のいずれも閉かつ凸という性質を持っている。それらは[[凸最適化]]や{{仮リンク|変分不等式|en|variational inequality}}、[[射影力学系]]などの分野において重要な概念である。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[錐]]<br />
** [[錐体]]<br />
** [[錐 (位相空間論)]]<br />
* {{仮リンク|ファルカスの補題|en|Farkas' lemma}}<br />
* [[双極定理]]<br />
<br />
=== 関連する結合 ===<br />
* [[アフィン結合]]<br />
* [[凸結合]]<br />
* [[線型結合]]<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{Citation | last1=Bourbaki | first1=Nicolas | author1-link=ニコラ・ブルバキ | title=Topological vector spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Elements of mathematics | isbn=978-3-540-13627-9 | year=1987}}<br />
* [[:en:R. T. Rockafellar|R. T. Rockafellar]], ''Convex analysis,'' Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970. Reprint: 1997.<br />
* {{cite book|last=Zălinescu|first=C.|title=Convex analysis in general vector spaces|publisher=World Scientific Publishing&nbsp; Co.,&nbsp;Inc|location= River Edge,&nbsp;NJ,| year =2002|pages=xx+367|isbn=981-238-067-1|mr=1921556}}<br />
* Moreau J. J. Numerical aspects of the sweeping process. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 177 (1999) 329-349 http://www.continuousphysics.com/ftp/pub/test/files/physics/papers/moreau.99.pdf<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:とつすい}}<br />
[[Category:凸解析]]<br />
[[Category:凸幾何学]]<br />
[[Category:線型代数学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
2400:4030:88EA:E800:5DE5:C652:F2AB:EE27
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