Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-05-16T18:36:27Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
ノルム
2018-05-30T09:12:17Z
<p>210.149.174.124: /* 有限次元ベクトルのノルム */</p>
<hr />
<div>{{Dablink|この項目では、線型代数学と解析学について説明しています。体論については「[[ノルム (体論)]]」を、イデアルについては「{{仮リンク|イデアルのノルム|en|Ideal norm}}」を、群論については「{{仮リンク|ノルム (群論)|en|Norm (group)}}」を、記述集合論におけるノルムについては「{{仮リンク|prewellordering|en|prewellordering}}」をご覧ください。}}<br />
{{出典の明記|date=2016年3月}}<br />
[[解析学]]において、'''ノルム''' ({{lang-en-short|norm}}, {{lang-de-short|Norm}}) は、[[平面]]あるいは[[空間]]における[[空間ベクトル|幾何学的ベクトル]]の "長さ" の概念の一般化であり、[[ベクトル空間]]に対して「距離」を与えるための[[数学]]の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を[[ノルム線型空間|線型ノルム空間]]または単に'''ノルム空間'''という。<br />
: ものによっては[[絶対値]]や[[付値|賦値]]（附値、付値）と呼ばれることもある。また、体の拡大における[[ノルム (体論)|ノルム]]や、多元環に対する[[被約ノルム]]と本質的に同じものである。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
''K'' を実数体 '''R''' または複素数体 '''C''' （あるいは絶対値を備えた任意の[[位相体]]）とし、''K'' 上のベクトル空間 ''V'' を考える。このとき任意の ''a'' &isin; ''K'' と任意の '''u''', '''v''' &isin;''V'' に対して、<br />
# 独立性: &#x2016;'''v'''&#x2016; = 0 &hArr; '''v''' = '''0'''<br />
# 斉次性: &#x2016;''a'''''v'''&#x2016; = &#x007c;''a''&#x007c;&#x2016;'''v'''&#x2016; <br />
# 劣加法性: &#x2016;'''u''' + '''v'''&#x2016; &le; &#x2016;'''u'''&#x2016; + &#x2016;'''v'''&#x2016;<br />
を満たすような[[関数 (数学)|関数]] &#x2016;&bull;&#x2016;: ''V'' &rarr; '''R'''; '''x''' &rarr; &#x2016;'''x'''&#x2016; を ''V'' の'''ノルム'''と呼ぶ。ベクトル空間 ''V'' と ''V'' 上のノルム &#x2016;&bull;&#x2016; との組 (''V'', &#x2016;&bull;&#x2016;) をノルム &#x2016;&bull;&#x2016; を備えたベクトル空間あるいは簡単にノルム付きの線型空間、'''[[ノルム線型空間|ノルム空間]]'''などと呼び、紛れのおそれの無い場合はノルムを省略して単に ''V'' で表す。なお、&#x2016;'''v'''&#x2016; &ge; 0 (正定値性)を定義の内に含めることが多いが、この性質は以下のように定理として導くことができる。左から順に、独立性、劣加法性、斉次性を用いている。<blockquote><math>\forall v \in V, 0 = \lVert 0 \rVert = \left \Vert \frac{1}{2}v + \left (-\frac{1}{2}v \right ) \right \Vert \leq \left \Vert \frac{1}{2}v \right \Vert + \left \Vert -\frac{1}{2}v \right \Vert = \left \vert \frac{1}{2} \right \vert \lVert v \rVert + \left \vert -\frac{1}{2} \right \vert \lVert v \rVert = \lVert v \rVert.</math></blockquote><br />
: ノルムのとる値の集合としては '''R''' を、同様の条件を議論しうるもう少し一般の[[順序体]]や[[順序群]]に取り替えることもある。離散賦値などは有理整数環 '''Z''' の加法群（に同型なアーベル群）を値群とするようなノルムである。<br />
<br />
ノルムの定義から独立性を除いたものを満足する函数 ''p'': ''V'' &rarr; '''R''' を'''半ノルム''' {{lang|en|(semi-norm)}} と呼ぶ。<br />
<br />
== 種々のノルム ==<br />
=== 有限次元ベクトルのノルム ===<br />
ベクトル '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) を考える。&#x007c;&bull;&#x007c; を[[絶対値]]とすると、<br />
;ユークリッドノルム <br />
:<math>\| \mathbf{x} \|_2 := \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2},</math><br />
; 最大値ノルム・無限大ノルム・一様ノルム<br />
:<math>\| \mathbf{x} \|_\infty := \max \{|x_1|, \ldots ,|x_n| \}</math><br />
などはノルムの条件を満たす。一般に 1 &le; ''p'' &lt; &infin; に対して<br />
:<math>\|\mathbf{x}\|_p <br />
:= \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}<br />
= \sqrt[p]{|x_1|^p + \cdots + |x_n|^p}<br />
</math><br />
を ''p'' '''次平均ノルム'''または ''p''-'''ノルム'''と呼ぶ。この呼称を用いると、ユークリッドノルムは 2-'''ノルム'''である。'''R'''<sup>''n''</sup> における最大値ノルムはこの ''p''-ノルムの ''p'' &rarr; &infin; としたときの自然な[[極限]]であると見なされるため、&infin;-'''ノルム'''（'''無限大ノルム'''）とも呼ばれる。また特に ''n'' = 1 のときをかんがえれば<br />
:<math>\|x\|_p = |x| \mbox{ for any }1\le p \le \infty</math><br />
であり、絶対値 &#x007c;&bull;&#x007c; 自身が '''R''' = '''R'''<sup>1</sup> におけるノルムの例になっている。<br />
<br />
{{main2|[[Lp空間]]も}}<br />
<br />
=== 無限次元ベクトル空間のノルム ===<br />
[[数列]]（[[可算無限集合|可算無限]]次元のベクトル）'''x''' = (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''=1,2,...</sub> に対しても、''p''-'''ノルム'''あるいは ''l''<sup>''p''</sup>-'''ノルム'''（''l''<sub>''p''</sub>-'''ノルム'''）<br />
:<math>\|\mathbf{x}\|_p := <br />
\left( \sum_{n=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p}<br />
</math><br />
や、上限ノルム、&infin;-'''ノルム'''、''l''<sup>&infin;</sup>-'''ノルム'''（''l''<sub>&infin;</sub>-'''ノルム'''）<br />
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}}\{|x_n|\}</math><br />
などが定義される。また、[[関数 (数学)|関数]]を連続的な[[媒介変数|添字]]をもつ非可算無限次元のベクトルと見なせば、和を[[積分]]に置き換えて、[[高々 (数学)|高々]]可算な場合と同様に ''p''-ノルムなどを考えることができる。集合 ''X'' 上で定義される関数 ''f''(''x'') に対して ''p''-'''ノルム'''（''L''<sup>''p''</sup>-'''ノルム'''）は<br />
:<math>\|f\|_{p,X} := <br />
\left( \int_X |f(x)|^p\,\mathrm dx \right)^{1/p}<br />
</math><br />
が定義される。また &infin;-'''ノルム'''（''L''<sup>&infin;</sup>-'''ノルム'''）が<br />
:<math>\|f\|_{\infty,X} := \sup_{x\in X} |f(x)|</math><br />
によって定義される。ただし、[[ルベーグ積分]]を扱っている文脈では<br />
:<math>\|f\|_{\infty,X} := <br />
\operatorname{ess.sup}_{x\in X}|f(x)|<br />
= \inf\{\alpha \mid |f(x)| \leq \alpha \mbox{ a.e.}\,x\}<br />
</math><br />
とするほうが自然である。ess.sup は'''本質的上限'''と呼ばれる値である（測度零の集合における例外を除いて上界となる値の下限）。[[関数解析学]]などでは、有界線型作用素（[[連続 (数学)|連続]]な[[線型写像]]）の'''作用素ノルム''' (''operator norm'') と呼ばれるノルム<br />
:<math>\|f\| := \sup_{x\in X} \frac{\|f(x)\|}{\|x\|}</math><br />
も重要である。<br />
<br />
=== ノルムの構成 ===<br />
二つのノルム空間 (''X'', &#x2016;&bull;&#x2016;<sub>''X''</sub>), (''Y'', &#x2016;&bull;&#x2016;<sub>''Y''</sub>) が与えられたとき、直積空間 ''X'' &times; ''Y'' には<br />
: <math>\|(x,y)\| := \sqrt{\|x\|_X^2 + \|y\|_Y^2} \quad(x\in X,\,y\in Y)</math> <br />
でノルムが定まる。<br />
<br />
ノルム空間 (''Z'', &#x2016;&bull;&#x2016;<sub>''Z''</sub>) が与えられたとき、ベクトル空間 ''W'' と単射な線型作用素 ''f'': ''W'' &rarr; ''Z'' に対して<br />
: <math>\|w\| := \|f(w)\|_Z \quad (w\in W)</math><br />
は ''W'' のノルムとなる。<br />
<br />
ベクトル空間 ''V'' が半ノルム ''p'' を持つとき、部分空間 ''V''<sup>&perp;</sup> := {''v'' &isin; ''V'' | ''p''(''v'') = 0} による商空間 ''V''<sup>&sim;</sup> := ''V''/''V''<sup>&perp;</sup> は、&pi;: ''V'' &rarr; ''V''<sup>&sim;</sup> を自然な射影として <br />
: <math>\|\pi(v)\| := p(v) (v\in V)</math><br />
<br />
なるノルムを備える。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
[[file:Vector_norms.svg|thumb|right|平面 '''R'''<sup>2</sup> 上の異なるノルムに関する単位円の様子]]<br />
=== 幾何学的性質 ===<br />
ノルム空間 ''V'' のノルム ''p'' = &#x2016;&bull;&#x2016; に対し、2-変数の実数値関数 ''d''<sub>''p''</sub> : ''V'' &times; ''V'' &rarr; '''R''' を<br />
:<math>d_p(\mathbf{x},\mathbf{y}) := \lVert\mathbf{x}-\mathbf{y}\rVert</math><br />
で定めて、''d''<sub>''p''</sub> をノルム &#x2016;&bull;&#x2016; の定めるまたは'''誘導する距離'''という。''d''<sub>''p''</sub> が ''V'' の[[距離函数]]を定めることはノルムの性質から直ちにわかる。距離空間 (''V'', ''d''<sub>''p''</sub>) の位相をノルム &#x2016;&bull;&#x2016; の定めるまたは'''誘導する位相'''という。<br />
<br />
空間 ''X'' にノルムが与えられたとき、ノルムが 1 である元の全体をしばしば'''単位球面''' {{lang|en|(unit sphere)}} または二次元の場合は特に'''単位円''' {{lang|en|(unit circle)}} と呼ぶ。ノルムの定める位相とはノルムに関する開単位球面の和に表される集合を開集合とするような位相のことである。<br />
<br />
ノルム空間 ''V'' における線型演算はノルムが ''V'' に誘導する位相に関して連続であり、ノルム空間 ''V'' は[[位相線型空間]]を成す。位相線型空間 (''V'', '''T''') に対し、''V'' に適当なノルム ''p'' が存在して ''p'' から誘導される位相 '''T'''<sub>''p''</sub> がもとの位相 '''T''' に等しいとき、位相線型空間 '''V''' は'''ノルム付け可能'''または'''[[ノルム化可能]]''' {{lang|en|(normable)}} であるという。<br />
<br />
=== ノルムの同値性 ===<br />
空間 ''X'' の与えられた二つのノルム&#x2016;&bull;&#x2016;, &#x2016;&bull;&#x2016;&prime; に対し、これらノルムがそれぞれ定める ''X'' の位相が相等しいとき、これらのノルムは互いに同値であるという。これは適当な定数 ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub> &gt; 0 で<br />
: <math>C_1\|x\| \le \|x\|' \le C_2\|x\|</math><br />
<br />
となるようなものが取れることと同値である。ここで ''C''<sub>1</sub> を0以上に取ることはできない.<br />
<br />
''V'' が有限次元ノルム空間ならば、''V'' 上のノルムの同値類は唯一つである。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[跡 (線型代数学)|トレース]]<br />
* [[行列ノルム]]<br />
* {{ill2|F-ノルム|en|F-norm}}: 斉次性を落としたもの<br />
* [[G-ノルム]]: アーベル群のノルム<br />
* {{ill2|擬ノルム|de|pseudonorm}}: 斉次性を劣斉次性に緩めたもの<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=Norm|title=Norm}}<br />
* {{SpringerEOM|urlname=Norm|title=Norm|author=Gorin, E.A.}}<br />
* {{nlab|urlname=norm|title=norm}}<br />
<br />
{{Functional Analysis}}<br />
{{DEFAULTSORT:のるむ}}<br />
[[Category:線型代数学]]<br />
[[Category:関数解析学]]<br />
[[Category:ノルム|*]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
210.149.174.124
絶対値
2018-05-30T09:08:04Z
<p>210.149.174.124: /* 絶対値函数 */</p>
<hr />
<div>{{about|主に[[実数]]の絶対値|その他の場合の詳細|#その他の絶対値]]の各リンク先}}<br />
{{出典の明記|date=2015年5月}}<br />
[[file:Khoang cach tren duong thang thuc.png|thumb|数の絶対値は零からの距離と考えられる]]<br />
[[数学]]における[[実数]] {{mvar|x}} の'''絶対値'''（ぜったいち、{{lang-en-short|''absolute value''}}）または'''母数'''（ぼすう、{{lang-en-short|''modulus''}}）{{math|{{abs|''x''}}}} は、その[[符号 (数学)|符号]]を無視して得られる[[非負]]の値を言う。つまり[[正数]] {{mvar|x}} に対して {{math|1={{abs|''x''}} = ''x''}} および[[負数]] {{mvar|x}} に対して {{math|1={{abs|''x''}} = [[加法逆元|−''x'']]}}（このとき {{math|−''x''}} は正）であり、また {{math|1={{abs|0}} = 0}} である。例えば {{math|3}} の絶対値は {{math|3}} であり {{math|−3}} の絶対値も {{math|3}} である。数の絶対値はその数の零からの[[距離函数|距離]]と見なすことができる。<br />
<br />
実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は[[複素数]]、[[四元数]]、[[順序環]]、[[可換体|体]]などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における{{ill2|大きさ (数学)|en|magnitude (mathematics)|label=大きさ}} (magnitude) や[[距離函数|距離]]および[[ノルム]]などの概念は、絶対値と緊密な関係にある<br />
<br />
== 用語と記法 ==<br />
1806年に{{ill2|ジャン゠ロバート・アルガン|en|Jean-Robert Argand}}が導入した用語 {{fr|''module''}} は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった<ref name=oed>[[Oxford English Dictionary]], Draft Revision, June 2008</ref><ref>Nahin, [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Argand.html O'Connor and Robertson], and [http://functions.wolfram.com/ComplexComponents/Abs/35/ functions.Wolfram.com.]; for the French sense, see [[Dictionnaire de la langue française (Littré)|Littré]], 1877</ref>。それは対応するラテン語の {{la|''modulus''}} として1866年に英語にも借用翻訳されている<ref name=oed />。{{en|''absolute value''}} が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語で<ref>[[Lazare Nicolas Marguerite Carnot|Lazare Nicolas M. Carnot]], ''Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace'', p.&nbsp;105 [https://books.google.com/books?id=YyIOAAAAQAAJ&pg=PA105 at Google Books]</ref>および1857年に英語で<ref>James Mill Peirce, ''A Text-book of Analytic Geometry'' [https://books.google.com/books?id=RJALAAAAYAAJ&pg=PA42 at Google Books]. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. もちろん ''relative value''（相対値）と対照を成す語としても ''absolute value''（絶対値）は使われる</ref>見られる。両側を[[縦棒]]で括る記法 {{math|{{abs|''x''}}}} は[[カール・ヴァイアシュトラス]]が1841年に導入した<ref>Nicholas J. Higham, ''Handbook of writing for the mathematical sciences'', SIAM. {{ISBN|0-89871-420-6}}, p.&nbsp;25</ref>。絶対値を表すほかの名称には ''numerical value''<ref name=oed />（数値）や ''magnitude''<ref name=oed />（大きさ）などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトでは {{mvar|x}} の絶対値を {{math|abs(''x'')}} のような函数記法で表すことが一般に行われる。<br />
<br />
縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる（例えば、集合を縦棒で括ればその集合の[[濃度 (数学)|濃度]]を表し、[[行列]]に用いれば[[行列式]]を表す）。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象（例えば、実数や複素数や四元数などの[[ノルム多元体]]）かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} のベクトルに対する[[ユークリッドノルム]]<ref>{{Cite book|title=Calculus on Manifolds|last=Spivak|first=Michael|publisher=Westview|year=1965|isbn=0805390219|location=Boulder, CO|pages=1|quote=|via=}}</ref>および[[上限ノルム]]<ref>{{Cite book|title=Analysis on Manifolds|last=Munkres|first=James|publisher=Westview|year=1991|isbn=0201510359|location=Boulder, CO|pages=4|quote=|via=}}</ref>などが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法（それぞれ {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|2}}}} および {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|∞}}}}）を用いるのがより一般的で紛れも少ない。<br />
<br />
== 実数の絶対値 ==<br />
実数の'''絶対値'''は<br />
:<math>|x|:=\begin{cases}<br />
x & (x\ge 0)\\<br />
-x & (x < 0)<br />
\end{cases}</math><br />
なる条件<ref>Mendelson, [https://books.google.com/books?id=A8hAm38zsCMC&pg=PA2 p.&nbsp;2].</ref>、あるいはこれに同値な<br />
:<math>|a|=\sqrt{a^2}</math> <br />
などの条件<ref>{{Cite book| author=Stewart, James B. | coauthors= | title=Calculus: concepts and contexts | year=2001 | publisher=Brooks/Cole | location=Australia | isbn=0-534-37718-1 | pages=}}, p.&nbsp;A5</ref><br />
で与えられる。これは<math>|x|:=\max\{x,-x\}</math>といっても同じである. 最初の条件では実数から符号を取り除いたもの, 2つ目の条件からは 0 からの距離を与えるものという解釈を得ることができる。<br />
<br />
実数の絶対値に関して、<br />
:<math>|a| \le b \iff -b \le a \le b </math><br />
:<math>|a| \ge b \iff a \le -b\ </math> or <math>b \le a </math><br />
は絶対値を含む[[不等式]]を扱うのに有用である。例えば、{{math|{{abs|''x'' - 3}} ≤ 9 ⇔ &minus;9 ≤ ''x'' &minus; 3 ≤ 9 ⇔ &minus;6 ≤ ''x'' ≤ 12}} などとできる。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
基本的な性質として、任意の実数 {{math|''a'', ''b''}} について<br />
* 非負性: {{math|{{abs|''a''}} &ge; 0.}}<br />
* 非退化性: {{math|1=''a'' = 0}} のとき、且つそのときに限って、{{math|1={{abs|''a''}} = 0.}}<br />
* [[偶函数|偶性]]: {{math|1={{abs|&minus;''a''}} = {{abs|''a''}}.}}<br />
* [[劣加法的函数|劣加法性]]: {{math|{{abs|''a'' + ''b''}} &le; {{abs|''a''}} + {{abs|''b''}}.}}<br />
などが成立する。これは[[距離函数]]が満たす性質と対応する（後述）。また、<br />
* [[冪等性]]: {{math|{{abs|&thinsp;{{abs|''a''}}&thinsp;}} {{=}} {{abs|''a''}}. }}<br />
* [[乗法的写像|乗法性]]: {{math|1={{abs|''ab''}} = {{abs|''a''}}&sdot;{{abs|''b''}}.}}<br />
などの性質が成り立つ。<br />
<br />
== 絶対値函数 ==<br />
[[File:Absolute value.svg|thumb|絶対値函数のグラフ]]<br />
[[Image:Absolute value composition.svg|256px|thumb|[[三次函数]]と絶対値函数の異なる順番での[[写像の合成|合成]]]]<br />
実数の絶対値が定める非負実数値函数 {{math|'''R''' ∋ ''x'' {{mapsto}} {{abs|''x''}} ∈ '''R'''{{sub|+}}}} は至る所[[連続函数|連続]]で、{{math|1=''x'' = 0}} を除き至る所[[微分可能]]{{efn|ただし、この微分可能性は複素微分可能を意味しない。つまり、複素変数の絶対値函数は[[コーシー–リーマンの方程式]]を満たさない<ref name="MathWorld"/>}}である。また、区間 {{open-closed|−∞,0}} 上で[[単調写像|単調増大]]であり、区間 {{closed-open|0,+∞}} で単調減少である。各実数とその[[反数]]の絶対値は同じ値であるから、絶対値函数は[[偶函数]]であり、それゆえ[[逆函数]]を持たない。この実絶対値函数は[[区分線型関数|区分線型]][[凸函数]]である。また、[[冪等]]である。<br />
<br />
* [[符号函数]] {{math|sign(''x'')}} を用いれば、{{math|1={{abs|''x''}} = ''x''&sdot;sign(''x'')}} と書ける。また {{math|1=''x'' = {{abs|''x''}}&sdot;sign(''x'')}} であり、{{math|''x'' ≠ 0}} のとき {{math|1=sign(''x'') = ''x''/{{abs|''x''}} = {{abs|''x''}}/''x''}} が成り立つ。<br />
<br />
{{math|''x'' ≠ 0}} における導函数<br />
: <math>\dfrac{d}{dx}|x| = \begin{cases} 1 & (x>0)\\ -1 & (x<0)\end{cases}</math><br />
は {{math|sign(''x'')}}（あるいは本質的に[[ヘヴィサイドの階段関数]]<ref name="MathWorld">{{MathWorld|urlname=AbsoluteValue|title=Absolute Value}}</ref><ref name="BS163">Bartel and Sherbert, p.&nbsp;163</ref>）であり、定義可能な範囲 {{math|(&minus;&infin;, 0) &cup; (0, &infin;)}} における連続函数であるが、{{math|1=''x'' = 0}} における値をどのように定めるとしても {{mathbf|R}} 全体で連続な函数へ延長することは出来ない。<br />
* {{math|1=''x'' = 0}} における {{math|{{abs|''x''}}}} の[[劣微分|劣微分係数]]は、区間 {{closed-closed|−1,1}} である<ref>Peter Wriggers, Panagiotis Panatiotopoulos, eds., ''New Developments in Contact Problems'', 1999, {{ISBN|3-211-83154-1}}, [https://books.google.com/books?id=tiBtC4GmuKcC&pg=PA31 p.&nbsp;31–32]</ref>。<br />
* {{math|{{abs|''x''}}}} の {{mvar|x}} に関する二階導函数は {{math|1=''x'' = 0}} を除く至る所存在して零に等しい（{{math|1=''x'' = 0}} では存在しない）。しかし[[シュヴァルツ超函数|超函数微分]]の意味での二階導函数は[[ディラックデルタ]]の二倍に等しい。<br />
<br />
また絶対値函数は任意区間で可積分であり、その原始函数が<br />
: <math>\int |x|\,dx = \frac{1}{2}x|x| + C</math><br />
で与えられることも右辺を微分することにより直ちに確かめられる。<br />
<br />
== 絶対値が誘導する距離 ==<br />
{{seealso|ノルム}}<br />
絶対値の基本性質、非負性・非退化性・偶性・劣加法性は、二数の{{ill2|絶体差|en|absolute difference}} を考えることにより、[[ノルム]]（'''絶対値ノルム'''）として[[距離函数]]が満たす性質と対応しており、{{math|''x'', ''y'', ''z''}} を任意の実数として<br />
* 非負性: {{math|{{abs|''x'' &minus; ''y''}} &ge; 0,}}<br />
* 不可識別者同一性: {{math|1={{abs|''x'' &minus; ''y''}} = 0 ⇔ ''x'' = ''y'',}}<br />
* 対称性: {{math|1={{abs|''x'' &minus; ''y''}} = {{abs|''y'' &minus; ''x''}},}}<br />
* 三角不等式: {{math|{{abs|''x'' &minus; ''y''}} &le; {{abs|''x'' &minus; ''z''}} + {{abs|''z'' &minus; ''y''}}}}<br />
と書いても同値である{{efn|この公理系は極小ではない。実際、非負性は他の三つから出る: {{math|1=0 = ''d''(''a'', ''a'') ≤ ''d''(''a'', ''b'') + ''d''(''b'', ''a'') = 2''d''(''a'', ''b'')}}.}}。即ち {{math|''d''(''x'',''y'') {{=}} {{abs|''x'' &minus; ''y''}} }}と置けば {{mvar|d}} は'''絶対距離'''と呼ばれる距離函数になる。<br />
<br />
== その他の絶対値 ==<br />
=== 順序環における絶対値 ===<br />
任意の[[順序環]] {{mvar|R}} に対して、{{math|0}} を {{mvar|R}} の[[加法単位元]]、"{{math|&minus;''a''}}" は {{mvar|a}} の[[加法逆元]]とすれば、実数の場合とまったく同じく<br />
:<math>|x|:=\begin{cases}a & (a\ge 0)\\-a & (a < 0)\end{cases}</math><br />
として絶対値が定義される。<br />
{{seealso|[[全順序群]]}}<br />
<br />
=== 複素数の絶対値 ===<br />
{{main|{{ill2|複素数の絶対値|fr|Module d'un nombre complexe}}}}<br />
[[File:Complex.png|thumb|原点からの距離 {{mvar|r}} が絶対値を表す]]<br />
[[複素数]] {{math|1=''z'' = ''a'' + ''ib''}} に対して、その絶対値は<br />
: <math> |z| = \sqrt{a^2+b^2} </math><br />
で与えられる非負実数値である。{{math|1=''b'' = 0}} とすることにより、{{mvar|z}} が実数値を取るときには実数の絶対値に一致することが確かめられる。<br />
<br />
{{mvar|z}} を[[ガウス平面]]上の点として解釈すれば、{{math|{{abs|''z''}}}} とは[[原点 (数学)|原点]]から {{mvar|z}} までの距離である。複素数を扱う際に、その数を絶対値と[[偏角 (複素数)|偏角]]とによって表す[[極座標|極形式]]の考え方は有益である。<br />
<br />
複素数 {{mvar|z}} とその複素共軛 {{overline|{{mvar|z}}}} に対して<br />
: <math> |z| = |\bar{z}|</math><br />
が成り立つ。また、<br />
: <math> |z|^2 = z\bar{z}</math><br />
は {{mvar|z}} が引き起こすガウス平面上の一次変換の[[ハール測度|母数]]（モジュラス）である。<br />
<br />
=== ベクトルのノルム ===<br />
{{main|ノルム|ノルム空間}}<br />
絶対値の概念を拡張したものとして[[ノルム]]がある。（実または複素数体）{{math|'''K'''}} 上のベクトル空間 {{mvar|V}} に属するベクトル {{mvar|v}} のノルムあるいは大きさ (magnitude) または長さ (length) {{math|‖''v''‖}} は、以下の性質<br />
* 非負性: {{math|‖''v''‖ &ge; 0}}<br />
* 非退化性: {{math|''v'' {{=}} 0 ⇔ ‖''v''‖ {{=}} 0}} <br />
* [[斉次函数|正斉次性]]: {{math|‖''av''‖ {{=}} {{abs|''a''}}&sdot;‖''v''‖}} ({{math|''a'' &isin; '''K'''}})<br />
* [[劣加法的函数|劣加法性]]: {{math|‖''v'' + ''w''‖ &le; ‖''v''‖ + ‖''w''‖}} <br />
<br />
を満たす。従って、ノルムは距離 {{math|''d''(''x'', ''y'') {{=}} ‖''x'' &minus; ''y''‖}} を誘導する。上記の実数に対する絶対値、複素数に対する絶対値はどちらもノルムの条件を満たす。絶対値の誘導する距離はノルムの誘導する距離である。<br />
<br />
=== リース空間における絶対値 ===<br />
{{main|リース空間|{{仮リンク|実数値函数の正部分と負部分|en|Positive and negative parts}}}}<br />
[[リース空間]]と呼ばれる{{仮リンク|順序線型空間|en|ordered vector space}}のベクトル {{mvar|v}} に対しては、{{math|{{abs|''v''}} {{=}} ''v'' &or; (&minus;''v'') }}で絶対値が定義される。例えば集合 {{mvar|X}} 上の実数値（あるいはより一般に[[全順序群]]に値をとる）函数全体の成す集合は、{{mvar|f}}, {{mvar|g}} に対して {{math|(''f'' &or; ''g'')(''x'') {{coloneqq}} max{''f''(''x''), ''g''(''x'')}, (''f'' &and; ''g'')(''x'') {{coloneqq}} min{''f''(''x''), ''g''(''x'')} }}と置くことによりリース空間となり、各 {{mvar|f}} に対して<br />
: {{math|{{abs|''f''}}(''x'') {{coloneqq}} max{{mset|&plusmn;''f''(''x'')}}}}<br />
が {{mvar|f}} の絶対値を与える。{{math|''f''{{sup|&plusmn;}} {{coloneqq}} &plusmn;''f'' &or; 0}} と置けば、絶対値は {{math|{{abs|''f''}} {{=}} ''f''{{sup|+}} + ''f''{{sup|&minus;}} }}と書ける。<br />
<br />
=== 体の賦値 ===<br />
{{main|賦値|{{ill2|絶対賦値|en|Absolute value (algebra)}}}}<br />
有理数体上の [[p進付値|''p''-進絶対値]]など、体の[[賦値]]も絶対値の一般化である。賦値には'''加法賦値'''と'''乗法賦値'''があり、乗法賦値（特に指数賦値）のことをしばしば'''絶対値'''あるいはモジュラスと呼称する。[[賦値体]]はその賦値の定める距離位相に関して[[位相体]]を成す。<br />
<br />
複素数体 '''C''' の部分体がアルキメデス的な乗法賦値を持つならば、それは本項で述べたような通常の絶対値に（同値の差を除いて）一致する。代数体上のアルキメデス的な乗法付値 <math>|x|_v</math> は、 '''C''' への埋め込み &sigma; をうまくとれば、 <math>|\sigma(x)|</math> （ここで <math>|\cdot|</math> は通常の絶対値）と同値となる。一方、代数体上の非アルキメデス的な乗法付値は、有理数体上のp進付値に（同値の差を除いて）一致する。代数体上の乗法付値の同値類のうち、有理数体上で通常の絶対値あるいは正規p進付値と一致するものを'''標準的な絶対値''' (standard absolute value)という<ref> Hindry & Silvermann, p. 171</ref>。<br />
<br />
''v'' が代数体 ''K'' 上の標準的な絶対値であるとき、この絶対値による ''K'' の完備化を <math>K_v</math> とあらわす。また、この絶対値を有理数体上に制限したものによる、有理数体の完備化を <math>\mathbb{Q}_v</math> とあらわす。このとき <math>K_v</math> は <math>\mathbb{Q}_v</math> の拡大体となっており、その拡大次数 <math>n_v=[K_v: \mathbb{Q}_v]</math> を ''v'' の'''局所次数''' (local degree) と呼ぶ。このとき、<br />
:<math>\lVert x\rVert _v=|x|_v^{n_v}</math><br />
を'''正規化された絶対値''' (normalized absolute value) という。 ''v'' がアルキメデス的な絶対値であれば、 ''K'' の埋め込み &sigma; をうまくとり、<br />
:<math>\lVert x\rVert _v=|\sigma(x)|^{n_v}</math><br />
とあらわせる。また、このとき &sigma; が実埋め込みならば <math>n_v=1</math> で、複素埋め込みならば <math>n_v=2</math> が成り立つ。''v'' が非アルキメデス的な絶対値で、 ''v'' の有理数体への制限が ''p''-進付値に一致しているとき、 ''p'' の上にある ''K'' 上の素イデアル &pi; をうまくとれば、<math>\lVert \cdot\rVert _v</math> は正規 &pi;-進付値に一致する。すなわち<br />
:<math>\lVert x\rVert _v=|x|_\pi</math><br />
が成り立つ（この正規化された絶対値 <math>\lVert \cdot\rVert _v</math> を <math>|\cdot|_v</math> と書いている文献も存在する<ref>たとえば {{Citation<br />
| author1 = Yann Bugeaud<br />
| author2 = Kálmán Győry<br />
| title = Bounds for the solutions of unit equations<br />
| journal = Acta Arithmetica<br />
| volume = 74<br />
| year = 1996<br />
| pages = 67--80<br />
| MR = MR1367579<br />
| url = http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav74i1p67bwm<br />
}}</ref>。）。<br />
<br />
''v'' がすべての標準的な絶対値を走るとき、 '''積公式''' (product formula)<br />
:<math>\prod_v \lVert x\rVert _v=\prod_v |x|_v^{n_v}=1</math><br />
が成り立つ。<br />
<br />
非アルキメデス的な乗法付値は一階の加法的な賦値と対応がとれ、これらはしばしば同一のものとして扱われる。加法的賦値体あるいは順序体においてその賦値環は、その体における正の数全体の集合を本質的に特徴付けるものである。[[有限体]] '''F'''{{sub|''q''}} (''q'' = ''p''{{sup|''f''}}) において標準的な賦値（モジュラス）は ''p''-進絶対値の冪<br />
:<math>|x|_q := q^{-v_p(x)} =|x|_p^f</math> <br />
である。これを適当な[[ハール測度]]による立方体の体積と理解することもある。<br />
<br />
== 注 ==<br />
=== 注釈 ===<br />
{{notelist}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* Bartle; Sherbert; ''Introduction to real analysis'' (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 {{ISBN|978-0-471-43331-6}}.<br />
* Mendelson, Elliott, ''Schaum's Outline of Beginning Calculus'', McGraw-Hill Professional, 2008. {{ISBN|978-0-07-148754-2}}.<br />
* {{Cite book<br />
| author1 = Hindry | first1=Mark | authorlink1=Marc Hindry<br />
| author2 = Silverman | first2=Joseph H. | authorlink2=Joseph H. Silverman<br />
| year = 2000<br />
| title = Diophantine Geometry<br />
| series = Graduate Texts in Mathematics<br />
| volume = 201<br />
| publisher = Springer-Verlag<br />
| isbn = 0-387-98975-4<br />
| url = http://www.springer.com/br/book/9780387989754<br />
| doi = 10.1007/978-1-4612-1210-2<br />
| ref = harv<br />
}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[擬絶対値]]: 乗法性が劣乗法性に緩まる<br />
* [[絶対平方]] (absolute square) / [[自乗ノルム]] (square norm) / [[二次形式]]（計量二次形式）: スカラーに対する斉次性は落ちる<br />
* {{ill2|大きさ (数学)|en|Magnitude (mathematics)}}<br />
* [[合成代数]]: 乗法的な自乗ノルムを持つ<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{SpringerEOM|urlname=Absolute_value|title=Absolute value}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=AbsoluteValue|title=absolute value}}<br />
* {{MathWorld|urlname=AbsoluteValue|title=Absolute Value}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:せつたいち}}<br />
[[Category:ノルム]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
210.149.174.124
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