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https:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=160.26.19.230&feedformat=atom 2024-04-25T22:35:04Z 利用者の投稿記録 MediaWiki 1.31.0 2018-05-09T05:24:10Z

<p>160.26.19.230: /* 1の原始冪根の例 */</p> <hr /> <div>{{出典の明記|date=2015年11月4日 (水) 08:23 (UTC)}}<br /> &#039;&#039;&#039;1の冪根&#039;&#039;&#039;（いちのべきこん、{{lang-en-short|root of unity}}）、または&#039;&#039;&#039;1の累乗根&#039;&#039;&#039;（いちのるいじょうこん）は、[[数学]]において、[[冪乗]]して 1 になる（[[冪単]]である）ような[[数]]のことである。すなわち、ある[[自然数]] &#039;&#039;n&#039;&#039; が存在して<br /> :&#039;&#039;z{{sup|n}}&#039;&#039; = 1<br /> となる &#039;&#039;z&#039;&#039; のことである。通常は[[複素数]]の範囲で考えるが、場合によっては [[p進数|&#039;&#039;p&#039;&#039; 進数]]のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。<br /> <br /> 自然数 &#039;&#039;n&#039;&#039; に対し、&#039;&#039;m&#039;&#039; (&lt; &#039;&#039;n&#039;&#039;) 乗しても決して 1 にならず、&#039;&#039;n&#039;&#039; 乗して初めて 1 になるような 1 の冪根は &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根として&#039;&#039;&#039;原始的&#039;&#039;&#039; (primitive) であるという。自然数 &#039;&#039;n&#039;&#039; を固定せず、1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 冪根あるいは 1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根として得られる数を総称し、&#039;&#039;&#039;1の原始冪根&#039;&#039;&#039;（いちのげんしべきこん）、または&#039;&#039;&#039;1の原始累乗根&#039;&#039;&#039;（いちのげんしるいじょうこん）という。<br /> <br /> == 1の原始冪根 ==<br /> [[複素数]]の範囲では、1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根は &#039;&#039;n&#039;&#039; &amp;ge; 3 のとき2つ以上存在する。[[ド・モアブルの定理]]より、1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根の一つは<br /> :&lt;math&gt;\zeta_n =\cos \frac{2\pi}{n} +i\sin \frac{2\pi}{n}&lt;/math&gt;<br /> で与えられることが分かる。この時、&#039;&#039;&amp;zeta;{{sub|n}}&#039;&#039; の[[共役複素数]] &#039;&#039;{{overline|&amp;zeta;}}{{sub|n}}&#039;&#039; も 1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根である。&#039;&#039;n&#039;&#039; と互いに素な自然数 &#039;&#039;m&#039;&#039; に対して &#039;&#039;ξ{{sub|n}}{{sup|m}}&#039;&#039; は 1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根であり、逆に 1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根はこの形に表せる。すなわち、1の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根は、[[オイラーのφ関数]]を用いて、ちょうど &#039;&#039;φ&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;) 個存在する。<br /> <br /> 方程式 &#039;&#039;x{{sup|n}}&#039;&#039; = 1 を考える。この[[方程式|方程式の根]]は、ド・モアブルの定理より、<br /> :&lt;math&gt;x=\cos \frac{2\pi k}{n} +i\sin \frac{2\pi k}{n} \quad (0\le k\le n-1)&lt;/math&gt;<br /> であるが、1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根 &#039;&#039;ξ{{sub|n}}&#039;&#039; を一つ選べば、<br /> :&lt;math&gt;x= {\xi_n}^k \quad (0\le k\le n-1)&lt;/math&gt;<br /> と書くことができる。<br /> <br /> また上記のように根を三角関数で表すことは容易であるが、それが根号を用いて表示できること、つまり方程式が代数的にも可解であることは[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]により証明された。<br /> <br /> === 1の原始冪根の例 ===<br /> 以下、&lt;math&gt;i&lt;/math&gt; は[[虚数単位]]である。<br /> *&lt;math&gt;\xi_2 =-1&lt;/math&gt;<br /> *&lt;math&gt;\xi_3 =\frac{-1\pm \sqrt{3}\,i}{2}&lt;/math&gt;（[[立方根#性質|しばしば &#039;&#039;ω&#039;&#039; と書かれる]]）<br /> *&lt;math&gt;\xi_4 =\pm i&lt;/math&gt;<br /> *&lt;math&gt;\xi_5 =\frac{-1+\sqrt5\pm i\sqrt{10+2\sqrt5 } }{4}, \frac{-1-\sqrt5 \pm i\sqrt{ 10-2\sqrt5 } }{4} &lt;/math&gt;<br /> *&lt;math&gt;\xi_{6}=\frac{1\pm\sqrt3\,i}{2}&lt;/math&gt;<br /> *&lt;math&gt;\xi_8={{\sqrt{2}\pm{\sqrt{2}}i} \over 2},{{-\sqrt{2}\pm{\sqrt{2}}i} \over 2}&lt;/math&gt;<br /> <br /> == 性質 ==<br /> * 1 の冪根は全て、[[ガウス平面]]における[[単位円]]上にある。また[[#1の原始冪根|概要]]で述べたことは 1 の &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根の全体が位数 &#039;&#039;n&#039;&#039; の[[巡回群]]となることを示している。<br /> * &#039;&#039;a&#039;&#039; を複素数とするとき、&#039;&#039;a&#039;&#039; の &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根を任意に一つ選んで {{sup|&#039;&#039;n&#039;&#039;}}√{{overline|&#039;&#039;a&#039;&#039;}} と記せば、1 の &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根に各々 {{sup|&#039;&#039;n&#039;&#039;}}√{{overline|&#039;&#039;a&#039;&#039;}} を掛けたものが複素数係数の方程式 &#039;&#039;x{{sup|n}}&#039;&#039; &amp;minus; &#039;&#039;a&#039;&#039; = 0 の根の全体となる。<br /> * 1 の &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根をガウス平面上に表し、線分で結ぶと単位円に内接する[[正多角形|正 &#039;&#039;n&#039;&#039; 角形]]となる。これは 1 の原始 &#039;&#039;n&#039;&#039; 乗根の一つを &#039;&#039;ξ{{sub|n}}&#039;&#039; として以下の式が成り立つことと同じである：<br /> ::&lt;math&gt;\sum_{k=0}^{n-1} \xi_n^k =1+\xi_n +{\xi_n}^2 +\cdots +{\xi_n}^{n-2} +{\xi_n}^{n-1} =0&lt;/math&gt;<br /> <br /> == 関連項目 ==<br /> *[[冪根]]<br /> *[[代数的数]]<br /> *[[円分多項式]]<br /> *[[円分体]]<br /> <br /> {{DEFAULTSORT:いちのへきこん}}<br /> [[Category:代数的数|1いちのへきこん]]<br /> [[Category:円分体|1いちのへきこん]]<br /> [[Category:多項式|1いちのへきこん]]<br /> [[Category:複素数|1いちのへきこん]]<br /> [[Category:群論|1いちのへきこん]]<br /> [[Category:数学に関する記事|/1いちのへきこん]]<br /> [[Category:1|1いちのへきこん]]</div>

160.26.19.230
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