Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-05-21T06:13:59Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
ルジャンドル多項式
2018-08-09T06:38:37Z
<p>133.86.227.82: /* その他の性質 */</p>
<hr />
<div>'''ルジャンドル多項式'''（ルジャンドルたこうしき、{{lang-en-short|Legendre polynomial}}）とは、[[ルジャンドルの微分方程式]]を満たす'''ルジャンドル関数'''のうち次数が[[自然数|非負整数]]のものを言う。[[直交多項式]]の一種である。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
[[解析学]]において[[ルジャンドルの微分方程式]]<br />
: <math>{\mathrm d \over \mathrm dx} \left[ (1-x^2) {\mathrm d \over \mathrm dx} f(x) \right] + \lambda(\lambda+1)f(x) = 0</math><br />
（{{Mvar|λ}} は任意の[[複素数]]とする）は標準的な[[冪級数]]法を用いて解けることが知られており、その解は一般に'''ルジャンドル関数'''と呼ばれる（何れも[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]に名を因む）。この方程式は {{Math|1=''x'' = ±1}} に{{仮リンク|確定特異点|en|regular singular point}}を持つから、一般には原点の周りでの級数解の[[収束半径]]は 1 である。<br />
<br />
[[File:Legendrepolynomials6.svg|thumb|right|''n'' = 5 までのルジャンドル多項式のグラフ]]<br />
{{Mvar|λ}} が非負整数 {{Math|1=''n'' = 0, 1, 2, …}} のときの解は {{Math|1=''x'' = ±1}} の両点においても正則であり、かつ級数は途中で止まって多項式となる。さらに 、{{Math|1=''x'' = 1}} において値 1 を取るという[[初期値問題|初期条件]]を課すと、解は一意に定まる。これを {{Mvar|n}}次の'''ルジャンドル多項式'''と呼び、普通は {{Math|''P''<sub>''n''</sub>(''x'')}} と記す<ref name="nag">永宮健夫 『応用微分方程式論』、共立出版社、1967年、pp46-52。</ref>。また、全ての非負整数についての {{Mvar|n}}次のルジャンドル多項式全体が成す関数族を総称的に'''ルジャンドル多項式'''と呼ぶ。ルジャンドル多項式は後述する[[関数空間]]の[[内積]]に関して[[正規直交系|直交系]]を成す。ただし、この内積についての各 {{Math|''P''<sub>''n''</sub>(''x'')}} の大きさは 1 ではないため (これは {{Math|1=''P''<sub>''n''</sub>(1) = 1}} という初期条件を課したためである)、[[正規直交系]]にはなっていない点は注意を要する。各ルジャンドル多項式 {{Math|''P''<sub>''n''</sub>(''x'')}} は {{Mvar|n}}次多項式で、[[ロドリゲスの公式]]<br />
: <math>P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {\mathrm d^n \over \mathrm dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]</math><br />
で表すことができる。<br />
<br />
ルジャンドル多項式がルジャンドルの微分方程式を満たすことは、恒等式<br />
: <math>(x^2-1)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x^2-1)^n = 2nx(x^2-1)^n</math><br />
の両辺を {{Math|''n'' + 1 }} 回微分して、高階微分に関する[[一般ライプニッツ則]]を適用すればわかる<ref>{{harvnb|Courant|Hilbert|1953|loc=II, §8}}</ref>。各ルジャンドル多項式 {{Math|''P''<sub>''n''</sub>}} は以下の[[テイラー級数]]<br />
{{numBlk|:|<math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n</math>|{{equationRef|eq:1|1}}}}<br />
の係数として定義することもできる<ref name="arfken-743">{{Citation |author=George B. Arfken, Hans J. Weber |title=Mathematical Methods for Physicists |url=https://books.google.fr/books?id=qLFo_Z-PoGIC&printsec=frontcover&hl=ja&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false |publisher=Elsevier Academic Press |year=2005 |page=743 |isbn=0-12-059876-0}}</ref>。この[[母函数]]は[[物理学]]において{{仮リンク|多重極展開|en|multipole expansion}}に利用される。<br />
<br />
=== 帰納的定義 ===<br />
上記の{{equationNote|eq:1|式 (1) }}で与えられたテイラー展開の最初の 2 項から、最初の 2 つのルジャンドル多項式が<br />
: <math>P_0(x) = 1, P_1(x) = x</math><br />
となることがわかる。残りの多項式を得るのには、上記のテイラー展開を直截に計算するよりも、'''ボネの漸化式'''<br />
: <math> (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)</math><br />
を用いるのが適当である。この[[漸化式]]は、{{equationNote|eq:1|式 (1) }}の両辺を {{Mvar|t}} に関して微分したものを整理して得られる等式<br />
: <math>\frac{x-t}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = (1-2xt+t^2) \sum_{n=1}^\infty n P_n(x) t^{n-1}</math><br />
の分母に現れる平方根を{{equationNote|eq:1|式 (1) }}で置き換えて、{{Mvar|t}} の冪に対する{{仮リンク|係数比較|en|equating the coefficients}}を行えば得られる。漸化式に初期条件としてすでに得られている {{Math|''P''<sub>0</sub>, ''P''<sub>1</sub>}} を当てはめれば、全てのルジャンドル多項式が帰納的に生成される。<br />
<br />
漸化式を解いて陽に表せば <br />
:<math>\begin{align} P_n(x) <br />
&= \frac 1 {2^n} \sum_{k=0}^n {n\choose k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k\\<br />
&= \sum_{k=0}^n {n\choose k} {-n-1\choose k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k\\<br />
&= 2^n\cdot \sum_{k=0}^n x^k {n \choose k}{\frac{n+k-1}2\choose n}<br />
\end{align}</math><br />
などのように書くことができる。後段はルジャンドル多項式を単に単項式として表して[[二項係数]]の乗法公式を使えば、漸化式から直ちに得られる。<br />
<br />
具体的に最初のいくつかのルジャンドル多項式を挙げれば以下のようになる：<br />
{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto; padding: 1ex 2em; text-align: right;"<br />
|-<br />
! n !!<math>P_n(x)</math><br />
|-<br />
! 0<br />
|<math>1</math><br />
|-<br />
! 1<br />
|<math>x</math><br />
|-<br />
! 2 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{2}(3x^2-1)</math><br />
|-<br />
! 3 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{2}(5x^3-3x)</math><br />
|-<br />
! 4 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)</math><br />
|-<br />
! 5 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)</math><br />
|-<br />
! 6 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)</math><br />
|-<br />
! 7 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)</math><br />
|-<br />
! 8 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)</math><br />
|-<br />
! 9 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)</math><br />
|-<br />
! 10 <br />
|<math>\textstyle\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)</math><br />
|}<br />
<br />
== 直交性 ==<br />
ルジャンドル多項式の重要な性質の一つは、これらが[[区間 (数学)|閉区間]] {{math|[&minus;1, 1]}} 上の[[ルベーグ空間| ''L''<sup>2</sup>-内積]]に関して[[直交]]すること、即ち以下の式を満たすことである。<br />
: <math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) ~ \mathrm{d}x = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math><br />
ここで {{Math|''δ''<sub>''mn''</sub>}} は[[クロネッカーのデルタ]]、即ち {{Math|1=''m'' = ''n''}} のとき 1 で、それ以外のときは 0 を意味する。ここから、ルジャンドル多項式のもう一つの導出法として、同内積に関する直交関数系 {1,&nbsp;''x'',&nbsp;''x''<sup>2</sup>,...} に[[シュミットの直交化法]]を適用することによっても導出可能であることが言える。この直交性により、ルジャンドル多項式系が[[エルミート作用素|エルミート]][[微分作用素]] <br />
: <math>{\mathrm d \over \mathrm dx} \left[ (1-x^2) {\mathrm d \over \mathrm dx} P(x) \right] = -\lambda P(x)</math><br />
の固有値 {{Math|1=''λ'' = ''n''(''n'' + 1)}} に属する[[固有関数]]系となるような[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式|スツルム・リウヴィル理論]]としてルジャンドルの微分方程式を捉えることができる。<br />
<br />
== 物理学における応用 ==<br />
ルジャンドル多項式は初め、1782年に[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]<ref>M. Le Gendre, [https://books.google.co.jp/books?id=8FIVAAAAQAAJ&hl=ja&pg=PA411#v=onepage&q&f=false “Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes”], ''Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées'', Tome X, pp. 411-435 (Paris, 1785). [注: ルジャンドルは彼の発見を1782年に[[科学アカデミー (フランス)|科学アカデミー]]に提出したが、出版されたのは1785年であった。]</ref>により、{{仮リンク|ニュートン・ポテンシャル|en|Newtonian potential}}<br />
:<math><br />
\frac{1}{\left| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)<br />
</math><br />
の展開の係数として定義された。ここに、{{Math|''r'', ''r''&prime;}} はそれぞれベクトル {{Math|'''''x''''', '''''x'''''&prime;}} の長さであり、{{Mvar|γ}} はそれらのベクトルのなす角である。上記の級数は {{Math|''r'' > ''r''&prime;}} が満たされる場合に収束し、[[質点]]に対応する[[重力ポテンシャル]]もしくは[[点電荷]]に対応する[[クーロンポテンシャル]]を極座標表示する際に用いることができる。このルジャンドル多項式を用いた展開は、例えば連続質量や電荷分布の上でこの展開を積分するときなどに有用である。<br />
<br />
ルジャンドル多項式は、空間の無電荷領域における[[電位]]に関する[[ラプラス方程式]]<br />
: <math>\nabla^2 \Phi(\boldsymbol{x})=0</math><br />
を軸対称な（[[方位角]]に依存しない）[[境界条件]]のもとで、[[変数分離法]]を用いて解く際にも登場する。ここで、 {{Mvar|{{hat|'''''z'''''}}}} を対称軸、{{Mvar|θ}} を観測者の位置と {{Mvar|{{hat|'''''z'''''}}}}-軸との間の角（[[天頂角]]）とするとき、電位は<br />
: <math>\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta)</math><br />
となる。{{Math|''A''<sub>''ℓ''</sub>}} と {{Math|''B''<sub>''ℓ''</sub>}} は各問題の境界条件に従って決定される<ref>Jackson, J.D. ''Classical Electrodynamics'', 3rd edition, Wiley & Sons, 1999. page 103</ref>。<br />
<br />
三次元における[[中心力]]に対するシュレーディンガー方程式を解く際にもルジャンドル多項式は現れる。<br />
<br />
=== 多重極展開におけるルジャンドル多項式 ===<br />
[[File:Point axial multipole.svg|frame|right|Figure 2]] <br />
ルジャンドル多項式は、多重極展開で自然に現れる<br />
:<math>\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2} - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(x)</math><br />
なる形の関数（記号を少し変えてあるが、上で述べたものと同じ）の展開においても有用である。等式の左辺はルジャンドル多項式の[[母関数]]の閉じた形である。<br />
<br />
例として、（[[球座標系]]での）[[電位]] {{Math|&Phi;(''r'', ''&theta;'')}} が {{Mvar|z}}-軸上の点 {{Math|1=''z'' = ''a''}} にある[[点電荷]]によるものとすれば、<br />
: <math>\Phi(r,\theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos\theta}}</math><br />
と書くことができる。観測点 {{Mvar|P}} の半径 {{Mvar|r}} が {{Mvar|a}} より大きければ、電位はルジャンドル多項式を用いて<br />
: <math>\Phi(r, \theta) \propto \frac{1}{r} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^{k} P_{k}(\cos \theta)</math><br />
と展開することができる。ここでは {{Math|1=''η'' = ''a''/''r'' < 1}} および {{Math|1=''x'' = cos''θ''}} と置いた。この展開は通常の多重極展開を行うのに用いられる。<br />
<br />
逆に、観測点 {{Mvar|P}} の半径 {{Mvar|r}} が {{Mvar|a}} より小さいならば、電位を上記のようにルジャンドル多項式展開することはできるが、{{Mvar|a}} と {{Mvar|r}} とは入れ替わる。この展開は[[内部多重極展開]] ({{Lang|en|interior multipole expansion}}) の基本となる。<br />
<br />
== その他の性質 ==<br />
ルジャンドル多項式は対称または反対称、即ち<br />
: <math>P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)</math><br />
を満たす<ref name="arfken-753">{{Citation |author=George B. Arfken, Hans J. Weber |title=Mathematical Methods for Physicists |url=https://books.google.fr/books?id=qLFo_Z-PoGIC&printsec=frontcover&hl=ja&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false |publisher=Elsevier Academic Press |year=2005 |page=753 |isbn=0-12-059876-0}}</ref>。<br />
<br />
微分方程式と直交性はスケール変換に依らない性質だから、ルジャンドル多項式はその定義において適当に定数倍して<br />
: <math>P_k(1) = 1</math><br />
を満たすように「標準化」される（「正規化」とも言うが、実際にノルムが 1 というわけではないので紛らわしい）。端点における微分係数は<br />
: <math>P_k'(1) = \frac{k(k+1)}{2}</math><br />
で与えられる。既に述べたとおり、ルジャンドル多項式はボネの漸化式と呼ばれる三項間漸化式<br />
:<math>(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)</math><br />
と、公式<br />
:<math>\frac{x^2-1}{n} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x)</math><br />
に従うが、これらから得られる等式<br />
: <math>(2n+1) P_n(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left[ P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \right]</math><br />
ルジャンドル多項式の積分に有効である。これを繰り返し用いて<br />
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + (2(n-2)+1) P_{n-2}(x) + (2(n-4)+1) P_{n-4}(x) + \dotsb</math><br />
あるいは同じことだが、<br />
: <math>{\mathrm d \over \mathrm dx} P_{n+1}(x) = {2 P_n(x) \over \| P_n(x) \|^2} + {2 P_{n-2}(x) \over \| P_{n-2}(x) \|^2} + \dotsb</math><br />
が得られる。ただし、ǁ''P''<sub>''n''</sub>(''x'')ǁ は閉区間 [&minus;1, 1] 上のノルム<br />
: <math>\| P_n(x) \| = \sqrt{\int _{- 1}^{1}(P_n(x))^2 \,\mathrm dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}}</math><br />
である。ボネの漸化式から帰納的に陽な表現<br />
: <math>P_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k</math><br />
が得られる。ルジャンドル多項式に対する{{仮リンク|アスキー-ギャスパーの不等式|en|Askey–Gasper inequality}}は<br />
:<math>\sum_{j=0}^n P_j(x)\ge 0\qquad (x\ge -1)</math><br />
を導く。<br />
<br />
== ずらしルジャンドル多項式 ==<br />
'''ずらしルジャンドル多項式''' (''shifted Legendre polynomial'') は<br />
: <math>\tilde{P}_n(x) = P_n(2x-1)</math><br />
で定義される。ここで、ずらし写像（実は[[アフィン変換]]）{{Math|''x'' ↦ 2''x'' − 1}} は、区間 {{math|[0,&thinsp;1]}} を区間 {{math|[&minus;1,&thinsp;1]}} へ写す[[全単射]]として選ばれたもので、それゆえ多項式系 {{Math|{{Tilde|''P''}}<sub>''n''</sub>(''x'')}} の区間 {{math|[0,&nbsp;1]}} 上での直交性<br />
: <math>\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,\mathrm dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math><br />
が従う。ずらしルジャンドル多項式の明示式は<br />
: <math>\tilde{P_n}(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k</math><br />
で与えられる。[[ロドリゲスの公式]]のずらしルジャンドル多項式版は<br />
: <math>\tilde{P_n}(x) = \frac{1}{n!} {\mathrm d^n \over \mathrm dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right]</math><br />
となる。ずらしルジャンドル多項式の最初の方のいくつかは以下のようになる。<br />
{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto;"<br />
! ''n'' !! <math>\tilde{P_n}(x)</math><br />
|-<br />
! 0<br />
| 1<br />
|-<br />
! 1<br />
| <math>2x-1</math><br />
|-<br />
! 2<br />
| <math>6x^2-6x+1</math><br />
|-<br />
! 3<br />
| <math>20x^3-30x^2+12x-1</math><br />
|}<br />
<br />
== {{anchors|分数階のルジャンドル函数}}ルジャンドル陪多項式 ==<br />
{{Main|en:Associated Legendre polynomials}}<br />
非負整数 {{Mvar|k}}、{{Mvar|m}} で<br />
: {{Math|''k'' ≧ ''m''}}<br />
を満たすものに対し、'''ルジャンドル陪多項式'''{{Math|''P''{{sub|''k''}}{{sup|''m''}}(''t'')}} を<br />
: <math>P_k{}^m (t) = <br />
\frac{1}{2^k} (1-t^2)^{m/2}<br />
\sum_{j=1}^{\lfloor (k-m) / 2\rfloor}<br />
{(-1)^j (2k-2j)! \over j!(k-j)!(k-2j-m)!}t^{k-2j-m}</math> <br />
と定義する<ref>{{harvnb|日本測地学会|2004|p=|pp=|loc=}}</ref>。{{Math|''P''{{sub|''k''}}{{sup|''m''}}(''t'')}} は'''ルジャンドルの陪微分方程式'''<br />
: <math>(1-t^2)y''(t) -2ty'(t) + \left(k(k+1)-{m^2\over 1-t^2}\right)y(t) =0 </math><br />
の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は {{Math|''k'' ≧ ''m''}} を満たすときのみ解を持つことが知られている。また、{{Math|''Y{{sub|k}}{{sup|m}}'' (''θ'', ''φ'')}} の定義における係数は、後述するノルムが 1 になるよう選んだものである。<br />
<br />
{{Math|''P''{{sub|''k''}}{{sup|''m''}}(''t'')}} とルジャンドル多項式 {{Math|''P''{{sub|''k''}}(''t'')}} は以下の関係を満たす：<br />
: <math>P_k{}^m (t) = <br />
(1-t^2)^{m/2}<br />
\frac{<br />
\mathrm{d}^m P_k(t)}{\mathrm{d}t^m}</math><br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[ガウス求積]]<br />
* [[ゲーゲンバウアー多項式]]<br />
* {{仮リンク|ルジャンドル有理関数|en|Legendre rational functions}}<br />
* {{仮リンク|トゥラーンの不等式|en|Turán's inequalities}}<br />
* {{仮リンク|ルジャンドルのウェーブレット|en|Legendre wavelet}}<br />
* {{仮リンク|ヤコビ多項式|en|Jacobi polynomials}}<br />
* [[球面調和関数]]<br />
<br />
== 注釈 ==<br />
{{Reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{citation|first1=Milton|last1=Abramowitz|first2=Irene A.|last2=Stegun|year=1965|title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|publisher=Dover|isbn = 978-0486612720}}.<br />
* {{citation|last=Bayin|first=S.S.|year=2006|title=Mathematical Methods in Science and Engineering|publisher=Wiley}}, Chapter 2.<br />
* {{citation|last=Belousov|first=S. L.|year=1962|title=Tables of normalized associated Legendre polynomials|series=Mathematical tables|volume=18|publisher=Pergamon Press}}.<br />
* {{citation|first1=Richard|last1=Courant|authorlink1=リヒャルト・クーラント|first2=David|last2=Hilbert|authorlink2=ダフィット・ヒルベルト|year=1953|title=Methods of Mathematical Physics, Volume 1|publisher=Interscience Publischer, Inc|publication-place=New York}}.<br />
*{{dlmf|first=T. M. |last=Dunster|id=14|title=Legendre and Related Functions}}<br />
*{{dlmf|id=18|title=Orthogonal Polynomials|first=Tom H. |last=Koornwinder|first2=Roderick S. C.|last2= Wong|first3=Roelof |last3=Koekoek||first4=René F. |last4=Swarttouw}}<br />
* {{Citation | author=Refaat El Attar | title= Legendre Polynomials and Functions | publisher= CreateSpace | year=2009 | isbn = 978-1-4414-9012-4}}<br />
* {{Cite web|url=http://www.geod.jpn.org/web-text/part4/4-4/index.html|title=4-4. ルジャンドルの多項式, 陪多項式|accessdate=2017年1月4日|author=高知大学自然科学系 田部井隆雄、神奈川県温泉地学研究所 里村幹夫、京都大学大学院理学研究科 福田洋一|year=2004|publisher=日本測地学会|ref=日本測地学会2004}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
*[http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/hydrofin A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen]<br />
*{{springer|title=Legendre polynomials|id=p/l058050}}<br />
*[http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials]<br />
*[http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/LegendrePolyMod.html Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews]<br />
*[http://www.du.edu/~jcalvert/math/legendre.htm Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics]<br />
*[http://www.morehouse.edu/facstaff/cmoore/Legendre%20Polynomials.htm The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore]<br />
*[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/math/legend.html Legendre Polynomials from Hyperphysics]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:るしやんとるたこうしき}}<br />
[[Category:特殊超幾何関数]]<br />
[[Category:直交多項式]]<br />
[[Category:多項式]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
[[Category:エポニム]]</div>
133.86.227.82
球面調和関数
2018-08-09T06:35:48Z
<p>133.86.227.82: /* その他の文献 */</p>
<hr />
<div>{{Pathnav|数学|特殊関数|調和関数|frame=1}}<br />
[[File:Harmoniki.png|thumb|300px|低次の球面調和関数。赤色は正、緑色は負の領域を示す。]]<br />
[[File:Cubicharmonics 3840x2160.png|thumb|300px|球面調和関数の球表示（左）と原子軌道表示（右）。 [http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/Cubicharmonics_white.gif （gifアニメーション）]]]<br />
'''球面調和関数'''（きゅうめんちょうわかんすう、{{Lang-en-short|spherical harmonics}}<ref>{{Cite book|和書|author=[[文部省]]|editor=[[日本物理学会]]編|title=[[学術用語集]] 物理学編|date=1990-09|publisher=[[培風館]]|id={{全国書誌番号|90057219}}|isbn=4-563-02195-4|ncid=BN05183934|oclc=23241821|asin=4563021954}}</ref>）あるいは'''球関数'''（きゅうかんすう、{{Lang-en-short|spherical functions}}<ref>[[#Reference-Kotobank-球関数|ブリタニカ百科事典]]</ref>）は以下のいずれかを意味する[[関数]]である：<br />
# {{Mvar|n}} 次元[[ラプラス方程式]]の解となる[[斉次多項式]]を単位球面に制限する事で得られる関数。<br />
# 次元 {{Mvar|n}} が {{Math|3}} の場合の 1 の意味での球面調和関数で、[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 {{math|{{SubSup|Y|''k''|''n''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}}.<br />
本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
{{Mathbf|R}} を[[実数]]全体の集合とし、{{Mathbf|C}} を[[複素数]]全体の集合とし、{{Mvar|n}} 個の実数からなる組の集合を {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} とし、{{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の元を {{Math|(''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}}) &isin; '''R'''{{sup|''n''}}}} と書き表すことにする。<br />
<br />
{{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の複素数値関数<br />
: {{Math|''&phi;'': '''R'''{{sup|''n''}} &rarr; '''C'''}}<br />
が2階微分可能なとき、{{math|&Delta;''&phi;''}} を<br />
: <math>\Delta\phi=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i{}^2}\phi</math><br />
と定義し、{{Math|&Delta;}} を'''[[ラプラス作用素]]'''という。さらに {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の多項式 {{Math|''p''(''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}})}} で<br />
: {{Math|&Delta;''p'' {{=}} 0}}<br />
を満たすものを'''{{仮リンク|調和多項式|en|harmonic polynomial}}'''という<ref name=":1">{{harvnb|野村|2006|p=9}}</ref>。なおラプラス作用素は回転行列 {{Mvar|R}} に対し、<br />
: {{Math|&Delta;''p''(''R''(''x'')) {{=}} ''R''(&Delta;''p''(''x''))}}<br />
を満たすので{{sfn|野村|2006|pp=5–6}}、調和多項式の定義は座標系のとり方に依存しない。<br />
<br />
調和多項式 {{Mvar|p}} が {{Mvar|k}} 次の[[斉次多項式]]であるとき、{{Mvar|p}} を単位球面<br />
{{NumBlk|:|<math>S^{n-1}=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbf{R}^n \mid \sum_ix_i{}^2=1\}</math>|{{EquationRef|P1}}}}<br />
に制限した制限写像<br />
: <math>Y=p|_{S^{n-1}} \colon S^{n-1} \to \mathbf{R}</math><br />
を {{Mvar|k}} 次の'''球面調和関数'''という{{sfn|野村|2006|p=12}}。<br />
<br />
（{{Mvar|n}} 次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} における）{{Mvar|k}} 次の球面調和関数全体の集合を ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' とすると、''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' は {{Mathbf|C}} 上の[[ベクトル空間]]であり、<br />
{{NumBlk|:|<math>\operatorname{dim}_{\mathbf{C}}\mathcal{H}_k=\frac{(n+2k-2)(n+k-3)!}{(n-2)!k!}</math>|{{EquationRef|P2}}}}<br />
である{{sfn|野村|2006|p=10}}。<br />
<br />
== 帯球関数 ==<br />
{{Math|''e''{{sub|n}}}} を {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上のベクトル<br />
:{{Math|1=''e{{sub|n}}'' = (0, ..., 0, 1) &isin; '''R'''{{sup|''n''}}}}<br />
とする。<br />
{{Math theorem|<br />
以下の性質を満たす {{Mvar|k}} 次の球面調和関数を、（{{Mvar|e{{sub|n}}}} 方向の）{{Mvar|k}} 次の'''{{仮リンク|帯球関数|en|Zonal spherical harmonics}}'''という<ref name=":0">{{harvnb|野村|2006|p=17}}</ref>：<br />
: {{Math|''R''(''e''{{sub|''n''}}) {{=}} ''e''{{sub|''n''}}}} を満たす任意の[[回転行列]] {{Mvar|R}} に対し、{{Math|''Y''(''R''(''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}})) {{=}} ''Y''(''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}})}} <br />
次元 {{Mvar|n}} が {{Math|3}} であれば、{{Mvar|z}} 軸 {{Math|(0, 0, 1)}} を保つ回転によって球面 {{Math|''S''{{sup|2}}}} を回せば、球面上に[[緯線]]が帯状に描かれる。帯球関数という名称は、「[[緯線]]による帯上で値が不変になる球面調和関数」である事に由来する{{R|:0}}。<br />
|name=定義|note='''帯球関数'''}}<br />
次の事実が成立する{{R|:0}}。<br />
<br />
{{Math theorem|<br />
任意の自然数 {{mvar|k}} に対し、{{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の {{mvar|k}} 次の帯球関数は定数倍を除いて一意である。すなわち {{math|''Z''{{sub|1}}, ''Z''{{sub|2}}}} を {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の2つの {{Mvar|k}} 次帯球関数とするとき、{{math|''Z''{{sub|1}} {{=}} ''aZ''{{sub|2}}}} を満たす複素数 {{Math|''a'' &isin; '''C'''}} が存在する。<br />
}}<br />
<br />
=== 具体的表記 ===<br />
帯球関数を具体的に書き表す為、記号を導入する。自然数 {{Mvar|n}} と非負の実数 {{Mvar|x}} に対し'''[[ポッホハマー記号]]''' {{Math|(''x''){{sub|''n''}}}} を<br />
: <math>(x)_n := \frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}</math><br />
により定義する。ここで {{Math|&Gamma;(''x'')}} は[[ガンマ関数]]である。さらに[[超幾何関数|'''ガウスの超幾何関数''']]を<br />
: <math>{}_2F_1(-k,b;c;z)=\sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{k}{i} \frac{(b)_i}{(c)_i} z^i</math><br />
により定義し<ref group="注">超幾何関数は一般には無限級数であるが、第一引数が負の整数である場合は、ここで示した有限級数の形で書き表す事ができる。</ref>、さらに[[ゲーゲンバウアー多項式|'''超球多項式''']]を<br />
: <math>P_k^{(\alpha)}(z):=<br />
\,_2F_1\!\left(-k,2\alpha+k;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right)</math><br />
により定義する<ref group="注">[[ゲーゲンバウアー多項式]]の項目には、ゲーゲンバウアー多項式と超球多項式は同一であると書いてあるが、本項では {{harvtxt|野村|2006|p=20}} に従って超球多項式を定義したため、ゲーゲンバウアー多項式とは定数倍異なる。</ref>。このとき、次が成立する。<br />
: <math>Z_k^{n}(x_1,\ldots,x_n):=P_k^{((n-2)/2)}(x_n)</math> は {{Mvar|k}} 次の帯球関数である{{sfn|野村|2006|p=20}}。<br />
すでに述べたように、{{Mvar|k}} 次の帯球関数は定数倍を除いて一意なので、全ての {{Mvar|k}} 次帯球関数は上述したものの定数倍として表記可能である。<br />
<br />
== 3次元空間における球面調和関数 ==<br />
3次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} の場合、{{Math|'''R'''{{sup|3}}}} を[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} で表すと、下記の {{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} が球面調和関数になる事が知られている。<br />
{{NumBlk|:|<math>Y_{k}^{m}(\theta, \phi)<br />
=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{ \frac{2k+1}{4\pi}\frac{(k-|m|)!}{(k+|m|)!} \,}<br />
\,P_k^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}.</math>|{{EquationRef|B1}}}}<br />
ここで<br />
{{NumBlk|:|{{Mvar|m}} は整数で、{{Math|''k'' &ge; {{mabs|''m''}}}}|{{EquationRef|B2}}}}<br />
であり、{{Math|{{SubSup|P|''k''|''m''}}(''t'')}} は[[ルジャンドル多項式|'''ルジャンドルの陪多項式''']]{{sfn|日本測地学会|2004}}<br />
{{NumBlk|:|<math>P_k{}^m(t)=<br />
\frac{1}{2^k}(1-t^2)^\tfrac{m}{2}\sum_{j=1}^{\lfloor (k-m) / 2\rfloor}<br />
{(-1)^j (2k-2j)! \over j!(k-j)!(k-2j-m)!}t^{k-2j-m}</math>|{{EquationRef|B3}}}}<br />
である。すなわち {{Math|{{SubSup|P|''k''|''m''}}(''t'')}} は'''ルジャンドルの陪微分方程式'''<br />
: <math>(1-t^2)y''(t)-2t\,y'(t)+\left[k(k+1)-\frac{m^2}{1-t^2}\right]y(t)=0</math><br />
の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は条件 ({{EquationNote|B2}}) を満たすとき、およびそのときだけ解を持つことが知られている。また、{{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} の定義における係数は、後述するノルムが1になるよう選んだものである。<br />
<br />
{{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} が球面調和関数の定義を満たすことは自明ではないが、{{Mvar|p}} を {{Math|''p''(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'') {{=}} ''r''{{sup|''k''}} {{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} と定義した上で直交座標に変換すると {{Mvar|p}} が斉次多項式になっている事を確認できる。<br />
<br />
なお、本項では、「球面調和関数」という言葉をラプラス方程式の解となる斉次多項式（の球面への制限）一般を指す用語として用いるが、物理の教科書などでは上述した {{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} のみを球面調和関数と呼んでいるものも多い。<br />
<br />
=== ''Y{{sub|k}}{{sup|m}}''(''&theta;'', ''&phi;'') の意義 ===<br />
{{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られる。{{Mvar|k}} 次の斉次多項式 {{Mvar|p}} に対し、変数分離形<br />
: {{Math|1=''p''(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'') = ''R''(''r'') &Theta;(''&theta;'') &Phi;(''&phi;'')}}<br />
でラプラス方程式 {{Math|1=&Delta;''p'' = 0}} を解くと、変数分離形の解は必ず<br />
: <math>p(r,\theta,\phi)=r^k(AY_k{}^m(\theta,\phi)+BY_k{}^{-m}(\theta,\phi)),</math> {{Mvar|m}} は整数で {{Math|''k'' &le; {{mabs|''m''}}}} <br />
と書ける事を証明できる。<br />
<br />
{{math proof|<br />
{{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られるものである。このことを見るために3次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} を[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} でラプラス作用素を表記すると、<br />
: <math>\Delta=\frac{1}{r^2}(\Delta_r + \Delta_s)</math><br />
となる。ここで、<br />
: <math>\Delta_r=\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right),</math><br />
: <math>\Delta_s=\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}<br />
+\frac{1}{\sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}</math><br />
である。定義より次数 {{Mvar|k}} の球面調和関数は、{{Mvar|k}} 次の斉次多項式 {{Mvar|p}} を単位球面上に制限したものとして表現可能である。{{Mvar|p}} が {{Mvar|k}} 次の斉次多項式である事から、{{Mvar|p}} の極座標表示は<br />
{{NumBlk|:|{{Math|1=''p''(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'') = ''r''{{sup|''k''}}''Y''(''&theta;'', ''&phi;'')}}|{{EquationRef|A1}}}}<br />
の形に書ける。[[ラプラス方程式]] {{Math|1=&Delta;''p'' = 0}} の以下、変数分離解<br />
: {{Math|1=''Y''(''&theta;'', ''&phi;'') = &Theta;(''&theta;'') &Phi;(''&phi;'')}}<br />
を求める。{{Math|''R''(''r'') {{=}} ''r''{{sup|''k''}}}} とすれば、<br />
: <math>\Delta_r R=\frac{1}{R}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r^2\frac{\mathrm dR}{\mathrm dr}\right)=\frac{k(k+1)}{r^2}</math><br />
なので、変数分離解をラプラス方程式の極座標表示に代入することで、<br />
: <math>\frac{1}{Y}\Delta_s Y = -k(k+1)</math> <br />
が成立する。上式に対してさらに変数分離を適用する事で、複素数 {{Mvar|m}} を適切に選べば<br />
{{NumBlk|:|<math>\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm d^2 \Phi}{\mathrm d\varphi^2} = -m^2</math>|{{EquationRef|A2}}}}<br />
{{NumBlk|:|<math>k(k+1)\sin^2\theta+\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}<br />
\left(\sin\theta \frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}\right)=m^2</math>|{{EquationRef|A3}}}}<br />
が成立する事がわかる。以下、{{Mvar|m}} が定数である場合の解を求める。<br />
<br />
({{EquationNote|A2}}) は初等的に解くことができ、一般解<br />
{{NumBlk|:|<math>\Phi(\phi)=A\mathrm{e}^{im\phi}+B\mathrm{e}^{-im\phi}</math>|{{EquationRef|A4}}}}<br />
を得られる。ここで {{Mvar|i}} は[[虚数単位]]である。それに対し[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式|スツルム＝リウヴィル型の微分方程式]] ({{EquationNote|A3}}) は {{Math|''t'' {{=}} cos ''&theta;''}} と変数変換すると、{{Math|''y''(''t'') {{=}} ''&theta;''(arccos ''t'')}} はルジャンドルの陪微分方程式<br />
: <math>(1-t)y''(t)-2t\,y'(t)+\left(k(k+1)-\frac{m^2}{1-z^2}\right)=0</math><br />
を満たす。よってルジャンドルの陪多項式 {{Math|{{SubSup|P|''k''|''m''}}(''t'')}} を ({{EquationRef|B3}}) のように定義すれば、結論として<br />
{{NumBlk|:|<math>\Theta(\theta)=P_k^{|m|}(\cos{\theta} )</math>|{{EquationRef|A5}}}}<br />
がわかる。ここで {{Mvar|k}} は ({{EquationRef|B2}}) の条件を満たす整数である。そこで {{Math|{{SubSup|Y|''k''|''m''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} を<br />
:<math>Y_{k}^{m}(\theta, \phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2k+1}{4\pi}\frac{(k-|m|)!}{(k+|m|)!} \,}<br />
\,P_k^{|m|}(\cos\theta)\,e^{im\phi}</math><br />
<br />
と定義すれば、({{EquationNote|A1}}), ({{EquationNote|A4}}), ({{EquationNote|A5}}), ({{EquationNote|B2}}) より、変数分離形の {{Mvar|k}} 次の調和多項式 {{Mvar|p}} は必ず<br />
: <math>p(r,\theta,\phi)=r^k(AY_k{}^m(\theta,\phi)+BY_k{}^{-m}(\theta,\phi)),</math> {{Mvar|m}} は整数で {{Math|''k'' &le; {{!}}''m''{{!}},}}<br />
と書ける事になる。なお、{{Mvar|p}} を直交座標に変換すると {{Mvar|p}} が斉次多項式になっている事を確認できる。<br />
|drop=yes}}<br />
また、3次元空間の場合、{{Mvar|k}} 次球面調和関数全体のなすベクトル空間 ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' の次元は、({{EquationNote|P2}}) より<br />
: <math>\operatorname{dim}_{\mathbf{C}}\mathcal{H}_k=2k+1</math> <br />
なので、({{EquationNote|B2}}) より、以下の結論が得られる：<br />
<br />
{{math theorem|3次元空間の場合、{{Math|{{SubSup|Y|''k''|&minus;''k''}}(''&theta;'', ''&phi;''), …, {{SubSup|Y|''k''|''k''}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} は ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' の基底である。すなわち3次元空間の場合、（変数分離形とは限らない）次数 {{Mvar|k}} の斉次多項式（の球面への制限）{{mvar|Y}} が球面調和関数となる必要十分条件は、{{mvar|Y}} がこれらの関数の線形和として書ける事である。|name={{EquationRef|定理1}}}}<br />
<br />
== 球面上の完全直交性 ==<br />
本節では、球面調和関数の空間に内積を定義し、球面調和関数がこの内積に関して完全直交性を満たすことを示す。<br />
<br />
=== 球面調和関数に対する内積 ===<br />
{{Mvar|n}} 次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の単位球面 {{Math|''S''{{sup|''n'' &minus; 1}}}} を ({{EquationNote|P1}}) のように定義し、{{Math|d''S''}} を {{Math|''S''{{sup|''n''&minus;1}}}} 上の[[面積分|面素]]とし、{{Math|''S''{{sup|''n'' &minus; 1}}}} 上定義された2つの球面調和関数 {{Math|''f'', ''g''}} の内積を<br />
{{NumBlk|:|<math>\langle f \mid g \rangle_{S^{n-1}}<br />
:= \int_{S^{n-1}}f(\mathbf{x})g(\mathbf{x})\,\mathrm{d}S </math>|{{EquationRef|C1}}}}<br />
により定義する。なお、面素 {{Math|d''S''}} は[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;''{{sub|1}}, …, ''&theta;''{{sub|''n'' &minus; 1}})}} を<br />
: <math>x_j=\begin{cases}<br />
r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_{j-1}\cos\theta_j &\text{if }1\le j\le n-1\\<br />
r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_n &\text{if }j=n<br />
\end{cases}</math><br />
を用いて<br />
: <math>\mathrm{d}S=\prod_{j=1}^{n-1}\sin^{j-1}\theta_j\,\mathrm{d}\theta_1\cdots\mathrm{d}\theta_{n-1}</math><br />
と書ける{{sfn|野村|2006|p=13}}。特に {{Math|3}} 次元空間の場合は[[球面座標系|球面座標]] {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} に対し、<br />
: <math>\mathrm{d} S=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi</math> <br />
である。<br />
<br />
=== 直交性 ===<br />
{{Mvar|k}} 次球面調和関数全体のなすベクトル空間を ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' とすると、以上のように定義された内積に対し、以下の事実が成立する事が知られている。<br />
{{math theorem|<br />
2つの非負整数 {{Math|''k'' &ne; ''j''}} に対し、''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' と ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|j}}}}'' は ({{EquationNote|C1}}) で定義された内積に関して直行する。すなわち任意の {{math|''f'' &isin; ''{{mathcal|H}}{{sub|k}}'', ''g'' &isin; ''{{mathcal|H}}{{sub|j}}''}} に対し、{{math|{{langle}}''f''{{!}}''g''{{rangle}}{{sub|''S''{{sup|''n''&minus;1}}}} {{=}} 0}} が成立する<ref name=":2">{{harvnb|野村|2006|pp=15–16}}</ref>。<br />
}} <br />
特に {{Math|3}} 次元空間では次が成立する。<br />
{{math theorem|<br />
<math>\langle Y_k^m \mid Y_j^s \rangle_{S^{n-1}} =<br />
\begin{cases}1&\text{if }k=j,\, m=s,\\<br />
0&\text{otherwise.}\end{cases}</math><br />
}}<br />
<br />
=== 完全直交性 ===<br />
''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' が更に強い性質を満たすことも証明可能である。{{Math|''S''{{sup|''n'' &minus; 1}}}} 上の[[自乗可積分函数]]全体の空間<br />
:{{math|1=''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|''n'' − 1}}) = { ''f'': ''S''{{sup|''n'' − 1}} → '''C''' {{!}} ''f''}}&nbsp;は[[可測関数|可測]]かつ {{math|{{bra-ket| ''f'' | ''f'' }}{{sub|''S''{{sup|''n'' &minus; 1}}}}}} が有限値&nbsp;{{math|{{)}}}}<br />
は ''{{mathcal|H}}{{math|{{sub|k}}}}'' を使って直交分解可能である{{R|:2}}：<br />
{{math theorem|<br />
<math>L^2(S^{n-1})=\bigoplus_{k=0}^\infty \mathcal{H}_k </math> （[[ヒルベルト直和]]）。<br />
}}<br />
これを言い換えると、以下の系が従う：<br />
{{math theorem|<br />
任意の {{math|''f'' &isin; ''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|''n''&minus;1}})}} に対し、[[ルベーグ積分|可積分]]な関数の[[族 (数学)|族]] {{math|{{mset|''Y{{sub|k}}''}}{{SubSup||''k''{{=}}0|&infin;}}}} で {{Mvar|Y{{sub|k}}}} が {{Mvar|k}} 次球面調和関数となるものが存在し、以下が成立する：<br />
: <math>f(\mathbf{x})=\sum_{k=0}^{\infty}Y_k(\mathbf{x}). </math><br />
しかもこのような族は一意である。|name=系}}<br />
<br />
特に {{Math|3}} 次元の場合は、上述の事実と{{EquationNote|定理1}}から以下が成立する：<br />
{{math theorem|<br />
任意の {{math|''f'' &isin; ''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|''n'' &minus; 1}})}} に対し、{{mvar|f}} を極座標で表したとき、<br />
: <math>f(\theta,\phi)=\sum_{k=0}^\infin\sum_{m=-k}^k A_{k m}Y_{k}^{m}(\theta, \phi)</math><br />
を満たす複素数の族 {{math|{{mset|''A''{{sub|''k'', ''m''}}}}{{sub|''k'' {{=}} 0, 1, …; ''m'' {{=}} &minus;''k'', …, ''k''}}}} で<br />
: <math> \sum_{k=0}^\infin \sum_{m=-k}^k A_{k m}{}^2 < \infty</math><br />
となるものが一意に存在する。<br />
}}<br />
<br />
== 3次元空間における完全直交性 ==<br />
{{Math|3}} 次元空間 {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} の球面座標 {{Math|(''r'', ''&theta;'', ''&phi;'')}} に対し、<br />
: <math>\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = r^2\sin\theta \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi</math> <br />
が成立する。そこで、{{Math|'''R'''}} 上の関数 {{Math|''&chi;'', ''&xi;''}} に対し、{{Math|''&chi;'', ''&xi;''}} の内積を<br />
{{NumBlk|:|<math>\langle \chi\mid\xi \rangle_{R} := \int_{-\infty}^{\infty}\chi(r)\xi(r)r^2\mathrm{d}r </math>|{{EquationRef|D1}}}}<br />
により定義し、さらに {{Math|'''R'''{{sup|3}}}} の関数 {{Math|''f''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}}}} の内積を<br />
{{NumBlk|:|<math>\langle f_1 \mid f_2 \rangle<br />
:= \int_{\mathbf{R}^3}f_1(\mathbf{x})f_2(\mathbf{x})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z</math><br />
|{{EquationRef|D2}}}}<br />
とする。{{Math|''f''{{sub|1}}, ''f''{{sub|2}}}} が<br />
: {{Math|''f''{{sub|1}}(''x'') {{=}} ''&chi;''{{sub|1}}(''r'') ''Y''{{sub|1}}(''&theta;'', ''&phi;''), ''f''{{sub|2}}(''x'') {{=}} ''&chi;''{{sub|2}}(''r'') ''Y''{{sub|2}}(''&theta;'', ''&phi;'')}} <br />
と変数分離形で書けていた場合には、({{EquationNote|C1}}), ({{EquationNote|D1}}), ({{EquationNote|D2}}) で定義した内積は以下の性質を満たす。<br />
: <math>\langle f_1|f_2 \rangle = \langle \chi_1|\chi_2 \rangle_{R} \langle Y_1|Y_2 \rangle_{S}</math> <br />
({{EquationNote|C1}}), ({{EquationNote|D1}}), ({{EquationNote|D2}}) の内積を用いて自乗可積分な関数全体の集合をそれぞれ {{math|''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|2}}, sin ''&theta;'' d''&theta;'' d''&phi;''), ''L''{{sup|2}}('''R''', ''r''{{sup|2}} d''r''), ''L''{{sup|2}}('''R'''{{sup|3}}, d''x'' d''y'' d''z'')}} と書くと、ヒルベルト空間の一般論から、次が成立する<ref group="注">なお、{{math|''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|2}}, sin ''&theta;'' d''&theta;'' d''&phi;'')}} は前節で {{Math|''L''{{sup|2}}(''S''{{sup|''n'' &minus; 1}})}} と書いていた空間で {{Math|''n'' {{=}} 3}} としたものと同一である。</ref>。<br />
<br />
{{Math theorem|次が成立する：<br />
:<math>L^2(\mathbf{R}^3,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z)<br />
=L^2(S^2,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi)\otimes L^2(\mathbf{R},r^2\,\mathrm{d}r)</math> （ヒルベルトテンソル積）。}}<br />
<br />
上述した定理と{{EquationNote|定理1}}から、以下の結論が従う。<br />
{{math theorem|<br />
{{Math|'''R'''{{sup|3}}}} 上の任意の自乗可積分関数 {{Math|''f''(''x'', ''y'', ''z'')}} に対し、{{math|{{bra-ket|''&chi;{{sub|k, m}}''|''&chi;{{sub|k, m}}''}}{{sub|''R''}} &lt; &infin;}} を満たす {{Math|'''R'''}} 上の可積分関数の族 {{Math|{{mset|''&chi;''{{sub|''k'', ''m''}}(''r'')}}}} で<br />
: <math>f(r,\theta,\varphi)=\sum_{m=0}^\infty\sum_{k=-m}^m\chi_{k,m}(r)Y_{k,m}(\theta,\phi)</math> <br />
となるものが一意に存在する。<br />
|name=系}}<br />
<br />
== {{Anchors|具体例}}{{Math|''Y<sub>k</sub><sup>m</sup>''(''&theta;'', ''&phi;'')}} の具体例 ==<br />
{{main|球面調和関数表}}<br />
いくつかの球面調和関数の具体的な表式を示す。<br />
:<math>\begin{align}<br />
Y_{0}^{0}&=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\\<br />
Y_{1}^{0}&=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,\cos\theta\\<br />
Y_{1}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}\\<br />
Y_{2}^{0}&=\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\,(3\cos^2\theta-1)\\<br />
Y_{2}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\cos\theta\,e^{\pm i\varphi}\\<br />
Y_{2}^{\pm2}&=\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\,\sin^2\theta\,e^{\pm2i\varphi}\\<br />
Y_{3}^{0}&=\sqrt{\frac{7}{16\pi}}\,(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)\\<br />
Y_{3}^{\pm1}&=\mp\sqrt{\frac{21}{64\pi}}\,\sin\theta\,(5\cos^{2}\theta-1)\,e^{\pm i\varphi}\\<br />
Y_{3}^{\pm2}&=\sqrt{\frac{105}{32\pi}}\,\sin^{2}\theta\cos\theta\,e^{\pm2i\varphi}\\<br />
Y_{3}^{\pm3}&=\mp\sqrt{\frac{35}{64\pi}}\,\sin^{3}\theta\,e^{\pm3i\varphi}<br />
\end{align}</math><br />
<br />
== 代数的性質 ==<br />
=== 加法定理 ===<br />
球面調和関数には「加法定理」と呼ばれる性質がある。これは三角関数における加法定理<br />
: <math>\cos(\theta'-\theta)=\cos\theta'\cos\theta + \sin\theta\sin\theta'</math><br />
を一般化したものと捉えることができる。上式の右辺は球面調和関数に、左辺は[[ルジャンドル多項式]]に置き換えられる。<br />
<br />
二つの[[単位ベクトル]] {{Mvar|'''x'''}} および {{Mvar|'''y'''}} を考え、それらの[[球面座標]]をそれぞれ {{Math|(''&theta;'', ''&phi;'')}} および {{Math|(''&theta;''&#x2032;, ''&phi;''&#x2032;)}} とする。このとき、加法定理は以下のように表すことができる<ref>{{Cite book|last1=Edmonds|first1=A. R.|title=Angular Momentum In Quantum Mechanics|publisher=Princeton University Press|page=81}}</ref>：<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>P_\ell( \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} )<br />
= \frac{4\pi}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}(\theta',\varphi')<br />
\, Y_{\ell m}^*(\theta,\varphi).</math>|{{EquationRef|1}}}}<br />
<br />
ここで {{Mvar|P{{sub|&#x2113;}}}} は {{Mvar|&#x2113;}} 次のルジャンドル多項式である。この表式は実数調和関数・虚数調和関数の双方について成り立つ<ref group="注">これは {{Mvar|&#x2113;}} 次の球面調和関数のどんな正規直交基底にも成り立つ。</ref>。この結果は[[単位球面]]上の[[ポアソン核]]の性質を用いて、あるいはベクトル {{Mvar|'''y'''}} を {{Mvar|z}} 軸に沿うように幾何的に回転させたのちに右辺を直接計算することにより解析的に証明することができる{{sfn|Watson|Whittaker|1927|p=395}}。<br />
<br />
特に、{{Math|1='''''x''''' = '''''y'''''}} の場合はウンゼルトの定理{{sfn|Unsöld|1927}}<br />
: <math>\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}^*(\theta,\varphi) \, Y_{\ell m}(\theta,\varphi) = \frac{2\ell + 1}{4\pi}</math><br />
に帰着する。この式は一次元の三角関数における恒等式 {{Math|1=cos{{sup|2}} ''&theta;'' + sin{{sup|2}}''&theta;'' = 1}} を二次元に拡張したものとみなすことができる。<br />
<br />
式 ({{EquationNote|1}}) の左辺 {{Math|''P{{sub|&#x2113;}}''('''''x'''''&sdot;'''''y''''')}} は {{Mvar|&#x2113;}} 次の{{仮リンク|帯球調和関数|en|Zonal_spherical_harmonic}}の定数倍である。この観点から、より高次元の場合にも次のように一般化することができる。{{Mvar|Y{{sub|j}}}} を {{Mvar|n}} 次元[[超球面]]上の {{Mvar|&#x2113;}} 次の球面調和関数の張る空間 {{Math|'''H'''{{sub|&#x2113;}}}} の任意の[[正規直交基底]]とする。このとき、単位ベクトル {{Mvar|'''x'''}} に対応する {{mvar|&#x2113;}} 次の帯球調和関数 {{math|{{SubSup|Z|'''''x'''''|(''&#x2113;'')}}}} は以下のように書き下せる{{sfn|Stein|Weiss|1971|loc=§IV.2}}。<br />
<br />
{{NumBlk|:|<math>Z^{(\ell)}_{\boldsymbol{x}}({\boldsymbol{y}})<br />
= \sum_{j=1}^{\dim(\mathbf{H}_\ell)}\overline{Y_j({\boldsymbol{x}})}\,Y_j({\boldsymbol{y}}).</math>|{{EquationRef|2}}}}<br />
<br />
さらに、帯球調和関数 {{math|{{SubSup|Z|'''''x'''''|(''&#x2113;'')}}('''''y''''')}} は適切な[[ゲーゲンバウアー多項式]]の定数倍として表すことができる：<br />
{{NumBlk|:|<math>Z^{(\ell)}_{\boldsymbol{x}}({\boldsymbol{y}})<br />
= C_\ell^{((n-1)/2)}({\boldsymbol{x}}\cdot {\boldsymbol{y}}).</math>|{{EquationRef|3}}}}<br />
{{Mvar|'''x'''}} および {{Mvar|'''y'''}} が球面座標で表される場合、({{EquationNote|2}}) および ({{EquationNote|3}}) を組み合わせると ({{EquationNote|1}}) が得られる。最後に、{{Math|'''''x''''' {{=}} '''''y'''''}} の場合を評価すると次の恒等式が得られる：<br />
: <math>\frac{\dim \mathbf{H}_\ell}{\omega_{n-1}}<br />
=\sum_{j=1}^{\dim(\mathbf{H}_\ell)}|Y_j({\boldsymbol{x}})|^2.</math><br />
ここで {{Math|''&omega;''{{sub|''n'' &minus; 1}}}} は {{Math|(''n'' &minus; 1)}} 次元[[超球の体積]]である。<br />
<br />
=== クレブシュ–ゴルダン係数 ===<br />
[[クレブシュ-ゴルダン係数|クレブシュ–ゴルダン係数]]とは、二つの球面調和関数の積を球面調和関数の線形結合で展開する際の展開係数である。ウィグナーの[[3j記号|3-j記号]]や[[6j記号|ラカー係数]]、[[スレーター積分]]など様々な計算方法があるが、本質は同じである。抽象的には、クレブシュ–ゴルダン係数は二つの[[回転群]]の既約表現の[[テンソル積]]を既約表現の和で表わすときの係数と見ることができる。よって、適切に正規化すれば多重度と一致する。<br />
<br />
=== パリティ ===<br />
原点に対する点対称操作で符号が替わらない（偶関数）かあるいは符号が逆になる（奇関数）かに依って、球面調和関数に対する「パリティ」が定義される。原点を不動点とする点対称操作は {{math|''P''&Psi;({{vec|''r''}}) {{=}} &Psi;(&minus;{{vec|''r''}})}} と表わせる。立体角で表わせば、{{math|{{mset|''&theta;'', ''&phi;''}}}} を {{math|{{mset|''&pi;'' &minus; ''&theta;'', ''&pi;'' + ''&phi;''}}}} に置き換える操作になる。ルジャンドル陪多項式（Associated Legendre polynomials）はパリティとして {{math|(&minus;1){{sup|&#x2113; + ''m''}}}} を、指数関数は {{math|(&minus;1){{sup|''m''}}}} を与えるので、両者を併せると球面調和関数のパリティは（mには依らずに） {{math|(&minus;1){{sup|&#x2113;}}}} となる。<br />
: <math>Y_\ell^m(\theta,\phi) \; \rightarrow \;<br />
Y_\ell^m(\pi-\theta,\pi+\phi) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\theta,\phi)</math><br />
このことは、高次元に一般化した場合にも成り立つ。{{mvar|&#x2113;}} 次の球面調和関数に点対称操作を施した場合、符号の変化は {{math|(&minus;1){{sup|&#x2113;}}}} となる。<br />
（これは調和多項式が次数の偶・奇に併せて空間反転で偶関数・奇関数であること、球面調和函数が調和多項式の球面上への制限であることからも容易に理解できる。）<br />
<br />
== 量子力学での応用 ==<br />
[[量子力学]]で、[[球対称]]な[[ポテンシャル]] {{math|''V''(''r'')}} に対する1粒子[[シュレーディンガー方程式]]（代表的なものは[[水素原子のシュレーディンガー方程式]]）<br />
:<math>\left\{ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right\}\psi(\boldsymbol{r})=E\psi(\boldsymbol{r})</math><br />
を解いたときに、球面調和関数が現れる。量子力学では {{Math|{{SubSup|Y|''&#x2113;''|''m''}}}} の {{Mvar|&#x2113;, m}} を[[量子数]]と呼び、それぞれ {{Mvar|&#x2113;}} を'''方位量子数'''、{{Mvar|m}} を'''磁気量子数'''という。<br />
<br />
球面調和関数は[[軌道角運動量]] {{Mvar|'''&#x2113;'''}} と密接な関係がある。球面調和関数は {{Math|'''''&#x2113;'''''{{sup|2}}}} と {{Mvar|&#x2113;{{sub|z}}}} の同時固有関数になっており、その固有値はそれぞれ {{math|''&#x127;''{{sup|2}}''&#x2113;''(''&#x2113;'' + 1), ''m&#x127;''}} である。すなわち<br />
: <math>\boldsymbol{\ell}^2Y_\ell^m=\hbar^2\ell(\ell+1)Y_\ell^m</math><br />
:<math>\ell_z Y_\ell^m=m\hbar Y_\ell^m</math><br />
となる。また、上昇下降演算子 {{math|''&#x2113;''<sub>+</sub>, ''&#x2113;''<sub>&minus;</sub>}} を球面調和関数に作用させると<br />
:<math>\ell_+ Y_\ell^m=\hbar\sqrt{(\ell-m)(\ell+m+1)}\, Y_\ell^{m+1}</math><br />
:<math>\ell_- Y_\ell^m=\hbar\sqrt{(\ell+m)(\ell-m+1)}\, Y_\ell^{m-1}</math><br />
:<math>\ell_+ Y_\ell^\ell=0,\quad\ell_- Y_\ell^{-\ell}=0</math><br />
となる。<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{脚注ヘルプ}}<br />
=== 注釈 ===<br />
{{Reflist|group="注"}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{Reflist|30em}}<br />
<br />
== 文献 ==<br />
<br />
=== 参考文献 ===<br />
* {{Cite web|url=http://www.cis.upenn.edu/~cis610/sharmonics.pdf|title=Notes on Spherical Harmonics and Linear Representations of Lie Groups|accessdate=2017/08/29|author=Jean Gallier (Department of Computer and Information Science University of Pennsylvania)|year=2013|format=PDF|publisher=[[ペンシルバニア大学]]|ref={{SfnRef|Gallier |2013}}}}<br />
* {{Cite web|url=http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/TKRHA.pdf|title=極座標・回転群・SL(2, R)|accessdate=2017-01-04|author=野村隆昭|year=2006|format=PDF|publisher=[[九州大学]]|ref={{SfnRef|野村|2006}}}}<br />
* {{Cite book|ref=H13|author=Brian C.Hall|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics 267|date=July 1, 2013|publisher=Springer}}<br />
* {{Cite web|url=http://www.geod.jpn.org/web-text/part4/4-4/index.html|title=4-4. ルジャンドルの多項式, 陪多項式|accessdate=2017-01-04|author=高知大学自然科学系 田部井隆雄、神奈川県温泉地学研究所 里村幹夫、京都大学大学院理学研究科 福田洋一|year=2004|publisher=日本測地学会|ref={{SfnRef|日本測地学会2004}}}}<br />
* {{Citation|last2=Whittaker|first2=E. T.|last1=Watson|first1=G. N.|authorlink2=エドマンド・テイラー・ホイッテーカー|authorlink1=:en:G. N. Watson|title=A Course of Modern Analysis|publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]]|year=1927|page=392}}<br />
* {{Cite journal|last=Unsöld|first=Albrecht|authorlink=アルブレヒト・ウンゼルト|year=1927|title=Beiträge zur Quantenmechanik der Atome|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|volume=387|issue=3|pages=355–393|issn=0003-3804|lccn=50013519|oclc=5854993|doi=10.1002/andp.19273870304|bibcode=1927AnP...387..355U|ref=harv}}<br />
* {{Cite book|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=:en:Elias M. Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=:en:Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|series=Princeton mathematical series|publisher=[[プリンストン大学出版局|Princeton University Press]]|date=November 1, 1971|asin=069108078X|oclc=919508312|ncid=BA82681515|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.|ref=harv}}<br />
<br />
=== その他の文献 ===<br />
* {{Cite book|和書|author=[[小出昭一郎]]|title=量子力学1|edition=改訂版|date=1990-10-05|publisher=[[裳華房]]|series=基礎物理学選書|id={{全国書誌番号|91005557}}|isbn=4-7853-2132-6|ncid=BN05389383|asin=4785321326|oclc=835016094|pages=89-96}}<br />
* {{Cite book|author=L. I. Schiff|authorlink=:en:Leonard I. Schiff|title=Quantum Mechanics|edition=3rd|origdate=1955|date=1968|publisher=McGraw Hill|location=Singapore etc.|asin=0070856435|oclc=632275975|ncid=BA1086214X|isbn=0-07-085643-5|pages=79-80}}<br />
* {{Cite web|url=http://www2.math.su.se/gemensamt/grund/exjobb/matte/2009/rep8/report.pdf|title=Spherical harmonics: a theoretical and graphical study|accessdate=2017-01-04|author=Christian Helanow|year=2009|format=PDF|ref={{SfnRef|Helanow2009}}}}<br />
* {{Cite web|url=http://www.physik.uni-leipzig.de/~rudolph/qm/qmgr.pdf|title=Group Theoretical Aspects of Quantum Mechanics|accessdate=2016-12-01|author=Joṥe Alvarado|date=2007-12-04|format=PDF|ref=A07}}<br />
* 野村隆昭:「球面調和函数と群の表現」、ISBN: 978-4535798182、日本評論社 (2018年7月)。<br />
* Edmonds, A. R.: "Angular Momentum in Quantum Mechanics", Princeton University Press, ISBN 978-0691025896 (1996). Reprint version. <br />
* 山内恭彦：「回転群とその表現」、岩波書店、ISBN 978-4000051460 (1988年11月)。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
{{Commonscat}}<br />
* [[調和関数]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{Kotobank|球関数|2=[[ブリタニカ百科事典|ブリタニカ国際大百科事典]] 小項目事典}}<br />
* {{Britannica|topic|spherical-harmonic|Spherical harmonic}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:きゆうめんちようわかんすう}}<br />
[[Category:特殊関数]]<br />
[[Category:量子力学]]<br />
[[Category:回転対称性]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
133.86.227.82
級数
2018-07-26T05:06:35Z
<p>133.86.227.82: /* Anchors 級数の収束性 */</p>
<hr />
<div>{{Otheruses|数学における級数|写植における級数|写真植字機#Q数制}}<br />
{{Calculus}}<br />
[[File:Parabolic Segment Dissection.svg|right|200px]]<br />
[[数学]]における'''級数''' (きゅうすう、{{lang-en-short|''series''}}) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の[[列 (数学)|列]]について考えられる無限項の[[総和|和]]のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える（[[#級数の収束性]]の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「[[発散級数|発散する級数]]」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。<br />
<br />
級数を表す記法として、和記号 {{math|&sum;}} を用いた表現 {{math|&sum; ''a''<sub>''n''</sub>}} や三点リーダ {{math|&#x22ef;}} を用いた表現 {{math|''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub> + &#x22ef;}} などがある。<br />
<br />
有限個の項以外は {{math|0}} とすることで有限個の対象の和を表すこともでき、無限項の和であることを特に強調する場合には'''無限級数'''とも言う。無限の項の和の形に表された級数が何を表しているかということは一見必ずしも明らかではないため、何らかの意味付けを与えなければならない。最もよく採用される理解の方法は、有限個の項の和が収束する先を無限級数の値とすることである。例えば、<br />
: <math>\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} </math><br />
より<br />
: <math> \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 </math><br />
となる。このほかに、[[解析接続]]などの手法により、みかけ上発散している級数に対して<br />
: <math>1 + 2 + 3 + \cdots = -\frac{1}{12}</math> （[[1+2+3+4+…]]を参照のこと）<br />
のような等式が意味付けされることもある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
''N'' を任意の自然数とするとき、与えられた[[無限数列]] {''a''<sub>''n''</sub>} に対し、初項から第 ''N'' 項までの、初めの有限項の和{{efn|数列の添字をしばしば 0 から始めるので、都合で第 0 項を含めてあるが、初項が第 0 項か第 1 項かというのは本質的な問題ではない。}}<br />
:<math>S_N := a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_N = \sum_{n=0}^{N} a_n</math><br />
を数列 {''a''<sub>''n''</sub>} あるいは級数 &sum;&thinsp;''a''<sub>''n''</sub> の第 ''N''-'''部分和''' ({{lang-en-short|''partial sum''}}) と呼び、また ''N'' に依らず総称して部分和と呼ぶ。「無限個の項の和」の意味が必ずしも明らかではない場合も含めて、形式的な意味での（無限）'''級数'''とはこの部分和からなる列 {''S''<sub>''N''</sub>} 自身のことであると理解される（各項 ''S''<sub>''N''</sub> は有限級数と呼ばれることもある）。またこの部分和の列自身を「形式的な和」として<br />
:<math>a_0 + a_1 + a_2 + \cdots,\quad \sum_{n=0}^{\infty} a_n,\quad \sum_{n\in\mathbb{N}} a_n,\quad \sum_n a_n</math><br />
<br />
などの形で書きあらわす{{efn|name="confuse"|便宜上の理由で、しばしば同じ記号で「形式和」と「和の値」の両方を表すが、いずれの意味で用いているかは文脈から容易に区別できるはずである。}}。ただし、これはそう書くというだけのことであって、この式自体に特別の意味があるということではない。これに「総和」としての意味のある値を結びつけるには、きちんとした理由付けが必要である。たとえば、与えられた無限列は有限個の例外を除く全ての項が 0 であるという場合（実質有限列）ならば、値が 0 である項は和に寄与しない（ので無いも同然の）ものと考えることにより、0 でない有限個の項の総和の値を以って所期の級数の値、すなわち無限個の項の総和であるとすることは自然である。一般の無限列が実質的有限であることは必ずしも期待できないので、その場合に意味のある議論を行うには、やはり極限や収束について考えられなければならない。<br />
<br />
有限個の項の和である部分和には、通常の如く素朴な意味での和の値というものが定義されている。部分和の列 {''S''<sub>''N''</sub>} が[[総和法|適当な意味で収束]]して有限な値 &alpha; を持つならば、級数 &sum;&thinsp;''a''<sub>''n''</sub> は'''収束''' ({{lang-en-short|''converge''}}) するといい、&alpha; を数列 {''a''<sub>''n''</sub>} あるいは級数 &sum;&thinsp;''a''<sub>''n''</sub> の和の値と呼んで、<br />
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n = \alpha = \lim_{N\to\infty}S_N</math><br />
で表す{{efn|name="confuse"}}。部分和が有限な値に収束しない（極限が無いかあっても有限でない）級数は'''発散''' ({{lang-en-short|''diverge''}}) するという。級数に和の値が結び付けられているとき、しばしば便宜的に「級数の和の値」の意味で「級数」という言葉を用いることがある（和の値を単に和と呼ぶことがあるのと同様である）。これらは厳密に言えば異なる概念であるが、いずれの意味であるのかは文脈から明らかなはずである。<br />
<br />
== 例 ==<br />
たとえば、「[[0.999...]] = 1 である」というときの左辺は、<br />
: <math>0.999\ldots = 0.9 + 0.09 + \cdots + 9\cdot 10^{-n} + \cdots</math><br />
という級数の値という意味である。''a''<sub>''n''</sub> = 9 &times; 10<sup>&minus;''n''</sup> で定まる無限数列 {''a''<sub>''n''</sub>} の部分和の列<br />
: <math>(s_1=0.9, s_2=0.99, \ldots, s_N=0.\underbrace{99\ldots 9}_N, \ldots)</math><br />
を考えれば常に ''s''<sub>''N''</sub> &lt; 1 であって、1 という値がこの数列の項としては現われない。素朴な意味で 0.999... &ne; 1 とか 0.999... &lt; 1 であると主張する人々の議論は、しばしばこのような数列として 0.999... を捉えているものと解釈することができる。同様にそのような捉え方では、数列 {1 &minus; ''s''<sub>''N''</sub>} を考えれば、<br />
: <math>(1-0.9=0.1, 1-0.99=0.01,\ldots, 1-s_N=0.\overbrace{00\ldots 0}^{N-1}\!1,\ldots)</math><br />
であるから、0 が続いた後に必ず 1 が現れるはずだ（から等しくは無い）ということになる。しかしこれらの数列の極限は<br />
: <math>1-s_N=0.\overbrace{00\ldots 0}^{N-1}\!1 \to 0\quad (N\to\infty),</math><br />
: <math>s_N=\sum_{i=1}^N 9\cdot 10^{-i} \to 1\quad(N\to\infty)</math><br />
と定まるので、級数 0.999... の値は 1 なのである。<br />
<br />
=={{anchors|級数の収斂性}} 級数の収束性 ==<br />
自然数によって項が添字づけられている場合には絶対収束と条件収束とのふたつの収束性の概念を定義することができる。各項が絶対値（ノルム）の定義された体系に属する級数 &sum; ''a''<sub>''n''</sub> は、有限個の項の絶対値を足して得られる正数列が有界である場合、<br />
: <math>\sum_{i=1}^n |a_i| < {}^\exist M \quad ({}^\forall n)</math><br />
その級数は'''絶対収束''' ({{lang-en-short|''absolute converge''}}) していると言われる。最初の有限個の項の絶対値をそれぞれ足して得られる数の列がコーシー列になっているようなとき、およびそのときに限り絶対収束が成り立っている。<br />
<br />
最初の有限個の項を足して得られる部分和の列が収束しているような級数 &sum; ''a''<sub>''n''</sub> は'''条件収束''' ({{lang-en-short|''conditional converge''}}) あるいは単に収束していると言われる。<br />
: <math>s_n = \sum_{i=1}^n a_i \to {}^\exists s \quad (n \rightarrow \infty)</math><br />
絶対収束している級数は条件収束している。しばしば「絶対収束でない収束」の意味で単に「条件収束」と呼ぶことがある。条件収束級数の和の値は一般に数列の項の並びに依存して決まる。数列 {''a''<sub>''n''</sub>} の項を任意に並べ替えてできる数列 {''a''<sub>&sigma;(''n'')</sub>} の和が、置換 &sigma; の取り方に依らずもとの数列の和に等しいとき、しばしば級数 &sum; ''a''<sub>''n''</sub> は'''無条件収束''' ({{lang-en-short|''unconditional converge''}}) しているといわれる。絶対収束級数は無条件収束する。無条件収束でない（実数項の）収束級数は、適当な置換を選んで並べ替えることにより、任意の（実数）値に収束または発散させることができる。<br />
<br />
整数の集合など、整列可算集合ではない[[添字集合]] ''I'' によって項が数え上げられた級数 &sum;<sub>''i'' &isin; ''I''</sub> ''a''<sub>''i''</sub> に関しても以下のように収束性の概念を定めることができる。添字集合の有限部分集合のなす[[帰納極限|直系]]について、対応する項の和が収束 i.e.<br />
: <math> \varinjlim_{F}\sum_{F \subset I: |F| < \infty;\atop i \in F} a_i = {}^\exist s</math><br />
しているとき、級数 &sum;<sub>''i'' &isin; ''I''</sub> ''a''<sub>''i''</sub> は条件収束しているといい、各項の絶対値を考えられて<br />
: <math> \sum_{F \subset I: |F| < \infty;\atop i \in F} |a_i| < \infty</math><br />
となっているとき &sum;<sub>''i'' &isin; ''I''</sub> ''a''<sub>''i''</sub> 絶対収束していると言われる。<br />
<br />
=== {{anchors|無限級数の収斂判定法}}無限級数の収束判定法 ===<br />
<br />
上に有界な正項級数<br />
<br />
各項が実数で正の級数を正項級数という。上に有界な単調増加な実数列が収束することから、<br />
<br />
正項級数は有限項までの和が常にある一定の上界Ｍを持つならば収束する。<br />
<br />
（これはもちろん絶対収束する級数でもある）。条件を弱めて各項を非負としても良い。<br />
<br />
交代級数の収束判定<br />
<br />
各項が実で符号が毎回反転する級数を交代級数という。<br />
<br />
交代級数は項が0に収束するならば収束する。<br />
<br />
;<br />
;ガウスの判定法<br />
: すべての項が正の数である級数（正項級数）&sum; ''a''<sub>''n''</sub> が、ある正の数 &alpha; に対して、<div style="margin:1ex auto 1ex 2em"><math>\frac{a_n}{a_{n+1}}= 1 + \frac{\alpha}{n} + O\!\left( \frac{1}{n^2} \right)</math></div>と書けるならば、&sum; ''a''<sub>''n''</sub> は &alpha; &gt; 1 のとき収束し、&alpha; &le; 1 のとき発散する。<br />
; ライプニッツの収束判定法 :[[交項級数]] &sum;&thinsp;''a''<sub>''n''</sub> は |''a''<sub>''n''</sub>| が単調減少で 0 に収束するならば収束する。<br />
;[[コーシーの冪根判定法]]<!-- TODO: merge this --><br />
: 実数を各項にもつ級数<math> \sum a_n </math>は、<math>\limsup \sqrt[n]{|a_n|} < 1</math>ならば絶対収束し、逆にこの量が1より大きければ発散する。<br />
;[[ダランベールの収束判定法]]:連続する項の比の絶対値が1より小さな極限を持つ級数は絶対収束し、逆に1より大きな極限を持つ級数は発散する。<br />
;[[比較判定法]]:|''a''<sub>''n''</sub>| &lt; ''b''<sub>''n''</sub>(''n''=1,2,…)が成り立つとき、<math>\sum_{n=1}^{\infty}b_n </math>を優級数、<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n </math>を劣級数という。優級数が収束するならば劣級数は絶対収束する。（対偶により）劣級数が発散すれば優級数も発散する。<br />
<br />
== 級数の例 ==<br />
以下に重要な級数の例を挙げる。<br />
* [[等比級数]]（幾何級数）は収束する級数の典型的な例である。<br />
* [[冪級数]]は各項を[[単項式]]とする級数である。<br />
*: [[アーベルの連続性定理|アーベルの定理]]は、数列級数の収束と、その母関数である正則関数の値の収束値との間の関係を与えている。<br />
* [[ローラン級数]]は単項式の次数として負の自然数を許した二方向への無限和であり、自然数と異なる添字集合によって項が与えられる例になっている。<br />
* [[テイラー級数]]は滑らかな関数の、冪級数としての表現を与えている。<br />
* [[フーリエ級数]]は各項を三角関数とする級数による関数の表示を与えている。<br />
* [[調和級数]]はよく知られた収束しない級数の例である。調和級数が発散する現象はオイラーによる素数の無限性の証明にも利用されている。<br />
* [[ディリクレ級数]]は調和級数型の級数を特殊値とするような、各項が特定の指数関数からなる級数である。<br />
<br />
== {{anchors|函数項級数}}関数項級数 ==<br />
{{main|{{ill2|函数項級数|de|Funktionenfolge}}}}<br />
関数列 {''f''<sub>''n''</sub>} に対して、関数を項に持つ級数<br />
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}f_n</math><br />
を'''関数項級数''' (function series) と呼ぶ。関数列 {{math|{{mset|''f{{sub|n}}''}}}} は変数 {{mvar|x}} の値をひとつ止めるごとに数列 {{math|{{mset|''f{{sub|n}}''(''x'')}}}} を与えるから、各点における部分和<br />
:<math>S_N(x) := f_0(x) + f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_N(x) = \sum_{n=0}^{N}f_n(x)</math><br />
の極限は数列の和の意味での級数である。関数列 {{math|{{mset|''f{{sub|n}}''}}}} は適当な集合 {{mvar|E}} について {{math|''x'' &isin; ''E''}} なる任意の {{mvar|x}} に対する数列 {{math|{{mset|''S{{sub|N}}''(''x'')}}}} が収束するとき、{{mvar|E}} 上で'''[[各点収束]]'''するという。このとき {{mvar|x}} における値を<br />
: <math>f(x):=\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math><br />
で定義して得られる関数 {{mvar|f}} を関数列 {{math|{{mset|''f{{sub|n}}''}}}} の（各点収束の意味での）極限関数という。またこのとき、一般に部分和 {{mvar|S{{sub|N}}}} の漸近的な評価、すなわち任意の {{math|''&epsilon;'' &gt; 0}} に対して<br />
: <math>|S_N(x) - f(x)| < \varepsilon</math><br />
とできるような {{math|1=''N'' = ''N''(''&epsilon;'')}} の選び方は {{mvar|x}} ごとに異なってよいが、もし {{mvar|x}} に依らず一定の {{mvar|N}} をとることができるならば、関数項級数 {{math|{{sum|''n''}} ''f{{sub|n}}''}} は {{mvar|E}} 上で極限関数 {{mvar|f}} に'''[[一様収束]]'''するという。<br />
<br />
連続関数の一様収束極限はふたたび連続であるから、連続関数を項に持つ関数項級数の一様収束極限もやはり連続関数となる。また、可積分関数を項に持つ関数項級数が一様収束するならば、その極限関数はふたたび可積分であり、とくに'''項別積分可能''' ({{lang-en-short|''integrable term by term''}})<br />
:<math>\int_E \sum_{n=0}^\infty f_n(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_E f_n(x)\,dx</math><br />
である。[[滑らかな関数]]を項に持つ関数項級数の一様収束極限に対する'''項別微分'''可能性も同様である。収束冪級数の収束はその収束域において一様で、各項の冪関数は可積分かつ連続的微分可能であるから、収束冪級数は項別積分可能かつ項別微分可能であり、その原始関数および導関数はもとの冪級数と同じ収束域もつ冪級数として得られる。<br />
<br />
関数列の収束性と同じく、関数項級数の他の収束性として分布収束（法則収束）や平均収束なども考えることができる。<br />
<br />
== 歴史 ==<br />
古代ギリシャでは、幾何級数にもとづく[[取り尽くし法]]によって四角錐の体積（エウドクサス）、放物線と直線で囲まれた部分の面積（アルキメデス）などを求める方法が開発された<ref>{{cite book|title=ブルバキ数学史|author=ニコラ・ブルバキ|translator=村田 全、杉浦 光夫 他}}<!-- 東京図書版は買えないかも --></ref>。<br />
<br />
関数を級数によって表す方法論は、14世紀インドの[[マーダヴァ]]による逆正接関数のテイラー級数の研究が知られているうちで最古のものである。マーダヴァは同時にこの級数の収束する条件についても述べているが、これは収束性の議論という意味でも初めての研究になっている<ref name="katz">{{cite book|和書|title=数学の歴史|author=ヴィクター・J・カッツ|translators=上野 健爾、中根 美知代|year=2005|publisher=共立出版|id=ISBN 978-4320017658}}</ref>。<br />
<br />
条件収束の概念は1823年のポアソンの研究に初めて現れる。テイラー級数の一般論はブルック・テイラーによって1715年に発表された。フーリエ級数は1822年のフーリエの研究に、ディリクレ級数は1839年のディリクレの研究ではじめて定義された<ref name="katz" />。<br />
<br />
=== 歴史的な記法 ===<br />
無限の項を表すための記法として知られるもっとも古いものは17世紀ヨーロッパの数学界で用いられた &amp;c （x+y+z,&amp;cが現在の記法で書くところの x+y+z+...を表した）である。このほか用いられた記法に x+y+z+&amp;c, x+y+z+etc, x + y + z + . . . . &#x223c; などがあった。級数を表す記号として大文字のシグマを初めて使ったのはオイラー (1775) だったが、この記号はすぐには広まらなかった<ref>{{cite book|title=A history of mathematical notations|first=Florian|last=Cajori|volumes=2}}</ref>。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
=== 漸近級数 ===<br />
ある種の関数の[[漸近級数]]あるいは[[漸近展開]]とは、定義域内の点における部分和がその関数のよい近似を与えるような無限級数をいう。漸近級数は、一般には必ずしも収束しないが、近似列として見れば有効であり、任意の有限項で打ち切った和の値があるべき「真の値」に近いものを与える。ただし、真の値がそのまま得られる収束級数とは異なり、漸近級数を利用するにはきちんと誤差を評価する必要がある。事実として典型的な漸近級数では、ある程度多くの項を加えて初めて「最適」な近似が得られるようになり、また一方で加える項の数が多くなりすぎると近似の精度が悪くなるという特徴が見られる。<br />
<br />
=== 発散級数 ===<br />
{{Main|発散級数}}<br />
「通常の意味」での和が収束しないような級数に対して、何らかの意味で和と呼ぶにふさわしい極限値を割り当てることができるというような状況はたくさんある。[[総和法]]はそのような、古典的な意味での収束の概念を完全に拡張して、発散級数全体の成す集合の特定の部分集合に対して値を割り当てる方法である。総和法の代表的なものとしては、総和可能な発散級数が少ない（実は後へいくほど前者の一般化となる）順に[[チェザロ総和法]]、(''C'', ''k'')-総和法（''k''-次のチェザロ総和法）、[[アーベル総和法]]、[[ボレル総和法]]などがある。<br />
<br />
どのような総和法が可能かということに関して知られる一般的な結果の一種で、[[シルバーマン-テープリッツの定理]]は（係数全体の成すベクトルに無限次行列を作用させることによって発散級数を総和する）'''行列総和法''' ({{lang-en-short|en|''matrix summability methods''}}) を特徴付けるものである。発散級数に対する最も一般の総和法は、[[バナッハ極限]]に関するもので、非構成的 ({{lang-en-short|''non-constructive''}}) なため計算などには向かない。<br />
<br />
=== 位相代数系における級数 ===<br />
級数の概念を[[バナッハ空間]]の元の列に対するものに拡張するのは容易である。(''x''<sub>''n''</sub>) をバナッハ空間 ''X'' 内の点列とするとき、級数 &sum;&thinsp;''x''<sub>''n''</sub> が ''x'' &isin; ''X'' に収束するとは、その部分和の列が ''N'' &rarr; &infin; の極限で<br />
:<math>\bigl\|x - \sum_{n=0}^N x_n\bigr\|\to 0</math><br />
となる意味で ''x'' に収束することを言う。<br />
<br />
さらに一般に、任意の[[位相アーベル群]]（[[ハウスドルフ空間|分離]][[位相群]]を成す[[可換群]]）における収束級数の概念を定義することができる。この場合も具体的には、級数 &sum;&thinsp;''x''<sub>''n''</sub> が ''x'' に収束するということを、その部分和の列が ''x'' に収束することを以って定める。<br />
<br />
=== 任意添字集合上の和 ===<br />
<br />
任意の添字集合 ''I'' に対する和を定義することもできる。通常の級数の概念に対して、大きく二つの異なる一般化の方向性があり、ひとつは添字集合に特定の順序が定められていない場合であり、もうひとつは添字集合が非可算無限集合となる場合である。<br />
<br />
==== 任意濃度の添字集合の場合 ====<br />
<br />
必ずしも可算でない無限集合 ''I'' で添字付けられる非負実数の族 (''a''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''&isin;''I''</sub> の総和は、発散する場合も含めて<br />
<br />
:<math>\sum_{i\in I}a_i = \sup_{A \subset I \atop A\text{:finite}} \Bigl\{ \sum_{i\in A}a_i\,\bigr\} \in [0, \infty]</math><br />
<br />
によって定義することができる。和の値が有限となるならば、''a''<sub>''i''</sub> &gt; 0 となるような ''i'' &isin; ''I'' は高々可算である。実際このとき、任意の ''n'' &ge; 1 に対して、集合 ''A''<sub>''n''</sub> = {''i'' &isin; ''I'' | ''a''<sub>''i''</sub> &gt; 1/''n''} は<br />
<br />
:<math> \frac{1}{n}\textrm{card}(A_n) \le \sum_{i\in A_n} a_i \le \sum_{i\in I}a_i < \infty</math><br />
<br />
となるから、有限集合であることがわかる（ここに card(''A'') は集合 ''A'' の[[濃度 (数学)|濃度]]を表す）。''I'' が可算無限集合で、''I'' = {''i''<sub>0</sub>, ''i''<sub>1</sub>, ..., ''i''<sub>''k''</sub>, ...} と[[数え上げ]]られるならば、先ほどの和の定義は<br />
<br />
:<math>\sum_{i \in I} a_i = \sum_{k=0}^{\infty} a_{i_k}</math><br />
<br />
を満たす（級数の値として無限大 &infin; を許す）。<br />
<br />
非負実数で添字付けられる族の和は、非負値関数の[[数え上げ測度]]に関する積分として理解することができる。この二つの構成の間には多くの共通性が認められる。<br />
<br />
==== 位相アーベル群における総和 ====<br />
<br />
任意の集合 ''I'' と[[位相アーベル群]] ''X'' に対して、''I'' で添字付けられた ''X'' の元の族 ''a'': ''I'' &rarr; ''X'' を考える。'''F''' を ''I'' の有限部分集合全体の成す部分集合族とすると、'''F''' は集合の包含関係に関する[[半順序集合]]として、[[共通部分 (数学)|交わり]]と[[合併 (集合論)|結び]]をもつ[[有向集合]]となることに注意する。このとき、族 ''a'' の和 ''S'' は極限<br />
<br />
:<math> S = \sum_{i\in I}a_i = \lim\Big\{\sum_{i\in A}a_i\,\big| A\in \mathbf{F}\Bigr\}</math><br />
<br />
として定義される。このとき、和が有限確定ならば族 ''a'' は'''無条件総和可能''' ({{lang-en-short|''unconditionally summable''}}) であるという。「和 ''S'' が有限部分和の極限である」というのは、''X'' における 0 の任意の近傍 ''V'' に対して ''I'' の有限部分集合 ''A''<sub>0</sub> をうまく選べば<br />
:<math>S - \sum_{i \in A} a_i \in V \quad (\forall A \supset A_0)</math><br />
<br />
となるようにできることをいう。'''F''' は[[全順序集合]]ではないから、これは「部分和の[[数列の極限]]」というのとは異なり、[[有向点族]]（ネット）の極限と考えなければならない。<br />
<br />
位相アーベル群 ''X'' における単位元 0 の任意の近傍 ''W'' に対し、''V'' &minus; ''V'' &sub; ''W'' を満たすより小さな近傍 ''V'' が存在する。このことから、無条件総和可能族 (''a''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''&isin;''I''</sub> の有限部分和の全体が[[コーシーネット]]を成すことが従う。すなわち、0 の任意の近傍 ''W'' に対し、''I'' の有限部分集合 ''A''<sub>0</sub> が存在して、 <br />
<br />
:<math>\sum_{i \in A_1} a_i - \sum_{i \in A_2} a_i \in W, \quad (\forall A_1, \forall A_2 \supset A_0)</math><br />
<br />
を満たす。位相アーベル群 ''X'' が[[完備距離空間|完備]]である場合には、族 ''a'' が ''X'' において無条件総和可能であることと、後述する「コーシーネット条件」を満たすことが[[同値]]になる。また、''X'' が完備で (''a''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''&isin;''I''</sub> が ''X'' において無条件総和可能ならば、''I'' の任意の部分集合 ''J'' に対して対応する部分族 (''a''<sub>''j''</sub>)<sub>''j''&isin;''J''</sub> もまた無条件総和可能である。<br />
<br />
非負実数の族の（先の定義の意味での、値として無限大を許す）和の場合、それが有限ならば、それは位相アーベル群 ''X'' として実数全体の成す加法群 '''R''' をとったときの、ここでいう意味での和と一致する。<br />
<br />
''X'' の元の族 ''a'' が無条件総和可能ならば、''X'' の単位元 0 の任意の近傍 ''W'' に対して ''I'' の有限部分集合 ''A''<sub>0</sub> が存在して、''a''<sub>''i''</sub> &isin; ''W'' が ''A''<sub>0</sub> に属さないすべての ''i'' について成り立つようにすることができる。ゆえに、''X'' が[[第一可算空間|第一可算公理を満たす]]ならば、''a''<sub>''i''</sub> &ne; 0 となるような添字 ''i'' &isin; ''I'' 全体の成す集合は可算であることが従う。これは一般の位相アーベル群においては必ずしも成り立たない（後述）。<br />
<br />
==== {{anchors|無条件収斂級数}}無条件収束級数 ====<br />
<br />
添字集合を ''I'' = '''N''' とする。点列 (''a''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''&isin;'''N'''</sub> が位相アーベル群 ''X'' において無条件総和可能な族ならば、この点列は通常の意味でも収束し、同じ値の和<br />
<br />
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n</math><br />
<br />
を持つ。定義の仕方から、無条件総和可能性は和を取る項の順番によって値が変化することは無い。すなわち、&sum;&thinsp;''a''<sub>''n''</sub> が無条件総和可能ならば、添字集合 '''N''' 上で任意の置換 &sigma; を施したものも収束し、<br />
<br />
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} = \sum_{n=0}^\infty a_n</math><br />
<br />
が成り立つ。この逆もまた成立し、級数 &sum;&thinsp;''a''<sub>''n''</sub> が任意の置換を施してもなお収束するならば、その級数は無条件収束する。''X'' が完備ならば、無条件収束は任意の部分級数が収束することと同値であり、''X'' がバナッハ空間ならば任意の符号付け ''ε''<sub>''n''</sub> (= &plusmn;1) から得られる級数<br />
<br />
:<math>\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n a_n</math> <br />
<br />
が ''X'' において収束することとも同値である。''X'' がバナッハ空間ならば絶対収束の概念を定義することができる。すなわち、''X'' に属するベクトルの級数 &sum;&thinsp;''a''<sub>''n''</sub> が絶対収束するとは<br />
:<math> \sum_{n \in \mathbf{N}} \|a_n\| < \infty</math><br />
<br />
となることをいう。バナッハ空間におけるベクトルの級数が絶対収束するならばその収束は無条件収束であるが、この逆が成り立つのはバナッハ空間が有限次元である場合に限る(Dvoretzky-Rogersの定理)<ref> {{cite journal| author = A. Dvoretzky, A. C. Rogers<br />
| title = Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces<br />
| journal = Proc. National Academy of Science of U.S.A.<br />
| year = 1950 | volume = 36<br />
| pages = 192-97<br />
| doi = 10.1073/pnas.36.3.192<br />
}} </ref><br />
<ref> {{cite journal| author = Ivan Singer<br />
| title = A proof of the Dvoretzky-Rogers theorem <br />
| journal = Israel Journal of Mathematics<br />
| year = 1964| volume = 2 |issue = 4<br />
| pages = 249-250<br />
| doi = 10.1007/BF02759741<br />
}} </ref>。<br />
<br />
==== 整列和 ====<br />
<br />
添字集合 ''I'' が（たとえば最小の超限[[順序数]] &alpha;<sub>0</sub> のような）[[整列集合]]ならば、条件収束級数を考えることができる。[[超限帰納法|超限帰納的]]に<br />
<br />
:<math>\sum_{\beta < \alpha + 1} a_\beta = a_{\alpha} + \sum_{\beta < \alpha} a_\beta</math><br />
<br />
と定め、また極限順序数 &alpha; に対しては極限が存在する限り<br />
<br />
:<math>\sum_{\beta < \alpha} a_\beta = \lim_{\gamma\to\alpha} \sum_{\beta < \gamma} a_\beta</math><br />
<br />
と定義する。&alpha;<sub>0</sub> の違いを除いて全ての極限が存在するならばこの級数は収束する。<br />
<br />
==== 例 ====<br />
<br />
# 写像 ''f'': ''X'' &rarr; ''Y'' で ''Y'' が位相アーベル群のとき、''X'' の各点 ''a'' に対し、<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math><br />
f_a(x) = \begin{cases} 0 & (x\neq a) \\ f(a) & (x = a)\end{cases}<br />
</math></div>で定義される写像の[[関数の台|台]]は[[一元集合]] {''a''} であり、このとき[[直積位相|各点収束の位相]]に関して（すなわち、和が無限直積位相群 ''Y''<sup>''X''</sup> に値をとるものとして）<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>f=\sum_{a \in X}f_a</math></div>が成立する。<br />
# 任意添字集合 ''I'' 上の関数の和として[[1の分割]]<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math> \sum_{i \in I} \varphi_i(x) = 1</math></div>を構成することもできる。作り方から、形の上では非可算添字を持つ級数の和の概念が必要であるように見えるが、''x'' が与えられるごとに和における非零項は有限個しかないので、この和において非可算和が生じることは無い。実用上はさらに関数族が「局所有限」（各 ''x'' に対して関数の値が有限個の例外を除く全ての近傍で消えている）などの仮定を置くのが普通である。&phi;<sub>''i''</sub> が連続であるとか可微分であるなどの（有限和をとる操作で保たれる）「素性の良い性質」({{lang-en-short|''regularity property''}}) は関数族の任意の部分族の和に対して保たれる。<br />
# [[最小の非可算順序数]] &omega;<sub>1</sub> を[[順序位相]]に関する位相空間とみるとき、''f''(&alpha;) &equiv; 1 で定義される定値関数 ''f'': [0, &omega;<sub>1</sub>) &rarr; [0, &omega;<sub>1</sub>] は<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math><br />
\sum_{\alpha\in[0,\omega_1)}f(\alpha) = \omega_1<br />
</math></div>を満足する（言い換えれば、1 の &omega;<sub>1</sub> 個の複写を加えたものは &omega;<sub>1</sub> に等しい）。極限は有限部分和ではなく全ての可算部分和に亘ってとるものに限る。この空間は可分 ({{lang-en-short|''separable''}}) ではない。<br />
<br />
== 注 ==<br />
=== 注釈 ===<br />
{{notelist}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{reflist}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* {{cite book|和書|title=岩波数学事典|editor=日本数学会|publisher=岩波書店}}<br />
* {{cite book|和書|title=解析概論|author=高木貞治|publisher=岩波書店}}<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=Series|title=Series}}<br />
* {{PlanetMath|urlname=Series|title=series}}<br />
* {{SpringerEOM|urlname=Series|title=Series}}<br />
* {{nlab|urlname=series|title=series}}<br />
<br />
{{Normdaten}}<br />
{{DEFAULTSORT:きゆうすう}}<br />
[[Category:級数|*]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
133.86.227.82
小松左京
2018-05-18T09:23:56Z
<p>133.86.227.82: </p>
<hr />
<div>{{Infobox 作家<br />
| name = 小松 実<br />（こまつ みのる）<br />
| image = <br />
| image_size = <br />
| caption = <br />
| pseudonym = 小松 左京<br />（こまつ さきょう）<br />
| birth_name = <br />
| birth_date = {{生年月日と年齢|1931|1|28|no}}<br />
| birth_place = {{JPN}}・[[大阪府]][[大阪市]][[西区 (大阪市)|西区]]<br />
| death_date = {{死亡年月日と没年齢|1931|1|28|2011|7|26}}<br />
| death_place = {{JPN}}・大阪府[[箕面市]]<br />
| resting_place = <br />
| occupation = [[小説家]]<br />[[SF作家]]<br />
| language = [[日本語]]<br />
| nationality = {{JPN}}<br />
| education = [[学士（文学）|文学士]]（[[京都大学]]・[[1954年]]）<br />
| alma_mater = [[京都大学]][[文学部]]卒業<br />
| period = [[1961年]] - [[2011年]]<br />
| genre = [[サイエンス・フィクション|SF]]<br />[[評論]]、[[随筆]]<br />
| subject = [[生命]]、[[人類]]、[[未来]]<br />[[未来学]]<br />
| movement = <br />
| religion = <br />
| notable_works = 『[[復活の日]]』（1964年）<br />『[[果しなき流れの果に]]』（1966年）<br />『[[日本沈没]]』（1973年）<br />『[[さよならジュピター]]』（1982年）<br />『[[首都消失]]』（1985年）<br />など<br />
| spouse = 克美（[[1958年]]結婚）<br />
| partner = <br />
| children = <br />
| relations = <br />
| influences = <br />
| influenced = <br />
| awards = [[星雲賞]]（日本長編部門）（1971年・1974年・1983年）<br />星雲賞（日本短編部門）（1973年・1976年・1978年）<br />[[日本推理作家協会賞]]（1974年）<br />[[日本SF大賞]]（1985年）<br />星雲賞（特別賞）（2011年）<br />日本SF大賞（特別功労賞）（2011年）<br />
| debut_works = 「易仙逃里記」（1962年）<br />
| signature = <br />
| website = [http://www.iocorp.co.jp/ 株式会社イオ（小松左京事務所）]<br />
<!-- | footnotes = --><br />
}}<br />
'''小松 左京'''（こまつ さきょう、[[1931年]]（[[昭和]]6年）[[1月28日]] - [[2011年]]（[[平成]]23年）[[7月26日]]）は、[[日本]]の[[小説家]]。本名、'''小松 実'''（こまつ みのる）。<br />
<br />
[[星新一]]・[[筒井康隆]]と共に「御三家」と呼ばれる、日本[[サイエンス・フィクション|SF]]界を代表する[[SF作家]]。[[1970年]]の[[日本万国博覧会]]でテーマ館サブ・プロデューサー、[[1990年]]の[[国際花と緑の博覧会]]の総合プロデューサーとしても知られる。宇宙開発の振興を目的とした啓蒙活動にも力を入れ、[[宇宙作家クラブ]]の提唱者で[[顧問]]を務めるなど、執筆以外の活動を幅広いジャンルに対して行っていた。<br />
<br />
== 経歴 ==<br />
=== 生い立ち ===<br />
[[先祖]]は[[阿波国|阿波]]（[[徳島県]]）の小松から[[千葉県|千葉]]の[[房総半島|外房]]に行った[[漁師]]の一族<ref name="週刊サンケイ" >『週刊サンケイ』1982年3月18日号 pp.23-25</ref>。父親は[[明治薬学専門学校 (旧制)|明治薬学専門学校]]（現・[[明治薬科大学]]）夜学在学中に東京の老舗の漢方薬屋の娘と婚約しのちに結婚した<ref name="週刊サンケイ" /><ref name="komatu9412" >{{Harvnb|小松|2008|pp=9f、253、412}}</ref>。父親が薬学を捨て電気機械の商いを志し、大阪で金属加工の町工場を興したため、[[大阪府]][[大阪市]][[西区 (大阪市)|西区]]で五男一女の次男として生まれた<ref name="komatu9412" />。4歳のとき[[兵庫県]][[西宮市]]に転居し、その後は[[尼崎市|尼崎]]と西宮で育った<ref name="komatu9412" />。[[京都大学]]で冶金工学を専攻し[[三洋電機]]の技術者となった兄は、戦争のさなかでも科学書を読み漁り、小松に科学の知識を教えた<ref>{{Harvnb|小松|2008|p=17}}</ref>。またこの兄は、広島に落とされた新型爆弾が[[原子爆弾]]であることを教えたという<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=22f}}</ref>。<br />
<br />
少年時代は病弱で、スポーツには興味がわかず、歌と漫画と映画と読書に熱中した。また、母方の親戚がいる東京で[[歌舞伎]]を見たりもした。大阪でも[[文楽]]につれていってもらい、古典芸能についての知識も身につけた<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=11-14}}</ref>。小学校5年の1941年の時に、NHK大阪放送局の子供向けニュース番組「子ども放送局」のキャスターに起用された<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=14f}}</ref>。<br />
<br />
1943年、[[兵庫県立神戸高等学校|第一神戸中学校]]入学。小松は、関西でいう「イチビリ」な性格で、笑芸やユーモア歌謡が好きであったため「うかれ」のアダナをつけられ、戦中は教師からにらまれていた。一方で、体が丈夫でなかったのにもかかわらず、柔道部に入った（戦後は柔道が禁止されたので、ラグビー部に転部した）<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=19-21}}</ref>。終戦時は14才だったが、当時は徴兵年齢がどんどん下がっており、「このまま戦争が続いて、自分も死ぬのだろう」と考えていたが、思いもよらず生き残った。そして、[[沖縄戦]]で自分と同年齢の中学生の少年たちが、銃を持たされて多数死んでいるのを知り、「生き残ってしまったものの責任」を考え、文学をそして、将来SFを書く契機となったという<ref>{{Harvnb|小松|2008|p=27}}</ref>（小松に限らず、日本のSF作家第一世代の多くは、「敗戦体験」が創作の基盤となっている）。<br />
<br />
=== 終戦後 ===<br />
戦後には、兄から教わったバイオリンの腕で、同級生の[[高島忠夫]]とバンドを組んでいた<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=28f}}</ref>。当時読んだ、[[ダンテ・アリギエーリ|ダンテ]]の『[[神曲]]』の「科学的な知見も組み込んだ壮大なストーリー」に衝撃をうけ、後にSFを書く基盤ともなり、また大学ではイタリア文学を専攻することとなる<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=31f}}</ref>。<br />
<br />
1948年に[[旧制中学校|中学]]を卒業し、[[第三高等学校 (旧制)|第三高等学校]]に入学。あこがれの「[[旧制高等学校|旧制高校]]」時代は、「人生で一番楽しかった年」だったというが、本来「3年間のモラトリアム」のはずが「[[学制改革|学制変更]]」で1年で終わる<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=32-36}}</ref>。[[京都大学]]文学部を受験して、イタリア文学科に進学。大学在学中に同人誌『京大作家集団』の活動に参加。[[高橋和巳]]や[[三浦浩]]（のち、[[産経新聞]]に入社し、[[司馬遼太郎]]の部下となった人物)と交流を持つ。ほかに[[福田紀一]]とも知り合う。当時デビューしたばかりの、[[安部公房]]の作品に熱中する<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=39-46}}</ref>。<br />
<br />
[[日本共産党]]に入党して、[[山村工作隊]]など政治活動を行なっていたのもこの頃である（『京大作家集団』への入会も、『入会して会を乗っ取れ』という党からの指示によるものだったという）。だが、原爆を投下したアメリカに対する反感からの「反戦平和」を唱える共産党に共鳴しての入党であり（三高以来の親友が、印鑑を偽造し、小松の知らないままに入党届けを出したという）、共産主義思想を真に信奉してのものではなかった<ref group="注釈">当時の活動は、事前に待ち合わせ日時を決めて集団でアジテーションを叫びながら街中を練り歩くというものだった。</ref>。そのため、ソ連の原爆開発にショックを受け、共産党の活動に疑問を抱き、後に共産党を離党する<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=36-43}}</ref>。<br />
<br />
又、この時期に「'''もりみのる'''」「'''小松みのる'''」「'''モリミノル'''」名義で『おてんばテコちゃん』、『イワンの馬鹿』、『大地底海』等の[[漫画]]作品を雑誌『[[漫画王]]』等に発表しており、既にデビューしていた[[手塚治虫]]の影響が窺える<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=34f}}</ref>。当時の小松の漫画を愛読していた、漫画家にして漫画コレクターの[[松本零士]]とも後に親交ができ、『[[銀河鉄道999]]』の文庫版の解説も小松が記している。<br />
<br />
[[ルイジ・ピランデルロ]]についての卒論を提出して、[[1954年]]に大学を卒業。しかし、就職試験をうけたマスコミ各社の試験にすべて不合格。経済誌『アトム』の記者・父親の工場の手伝い・ラジオのニュース漫才の台本執筆等の職を経験する。また、[[産経新聞]]に入社していた三浦浩の紹介で、産経新聞にミステリなどのレビューも執筆する<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=46-52、56-58}}</ref>。<br />
<br />
大学時代から、神戸一中の同級生たちと結成していたアマチュア劇団でも、戯曲執筆・演出・出演を担当していた。この時、オーディションに来た女性に一目ぼれして交際し、[[1958年]]に結婚。だが、生活は苦しく、妻の唯一の楽しみであるラジオを修理に出してしまったため、当時大阪に出現していた「[[アパッチ (曖昧さ回避)|アパッチ族]]」<ref group="注釈">ネイティブ・アメリカンの部族名ではなく、資源ごみとして収集されている物を不法に回収する人々を指す呼称。</ref>をモデルにした空想小説（[[カレル・チャペック]]『山椒魚戦争』にインスパイアされている）を書いて、妻の娯楽にあてた。この作品が、後の長編デビュー作『[[日本アパッチ族]]』の原型となった<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=53-55}}</ref>。<br />
<br />
=== 作家 ===<br />
三浦浩に知らされて1959年12月に[[早川書房]]が創刊した『[[SFマガジン]]』創刊号と出会い、[[ロバート・シェクリイ]]の「危険の報酬」に衝撃を受け、自分もアメリカ流のサイエンス・フィクションを書こうと決意する。[[1961年]]、早川書房主催の第1回空想科学小説コンテスト（[[ハヤカワ・SFコンテスト]]の前身）に、「小松左京」のペンネームで応募した「[[地には平和を]]」が努力賞に入選。筆名の「左京」は、姓名判断に凝っていた兄から「五画と八画の文字を使えば大成する」と助言を受け、「左がかっていた京大生だから」ということで「左京」を選んだ。「地には平和を」は『SFマガジン』には掲載されず、入会したSF同人誌『[[宇宙塵 (同人誌)|宇宙塵]]』に掲載された<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=59-62}}</ref>。<br />
<br />
翌年の第2回SFコンテストで『お茶漬けの味』が第三席となったが、編集長の[[福島正実]]からはすでに評価されており、それを待つ事なく『SFマガジン』（1962年10月号）に掲載された『易仙逃里記』でデビューし、常連に加わる<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=61f}}</ref>。<br />
<br />
1963年、[[日本SF作家クラブ]]の創設に参加（[[1980年]]-[[1983年]]に[[星新一]]、[[矢野徹]]に続いての三代目会長）。盛んに上京し、SF作家仲間たちと交流した。<br />
<br />
1963年『[[オール讀物]]』に「紙か髪か」が掲載され、中間小説誌デビュー。[[吉田健一 (英文学者)|吉田健一]]や[[扇谷正造]]に絶賛される。同年、短編集『地には平和を』を刊行し、1963年度下半期の直木賞候補となった。1964年、[[光文社]]から処女長編『日本アパッチ族』を刊行（小松をだまして共産党に入党させた悪友の兄が光文社に入社していたため）<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=62f、127}}</ref>。<br />
<br />
1963年には、「情報産業論」を発表したばかりの[[梅棹忠夫]]と知り合い、意気投合。京都の梅棹家で開かれていた「梅棹サロン」に参加し、[[林雄二郎]]、[[川添登]]、[[加藤秀俊]]らと知り合う。このメンバーを主体に「万国博を考える会」が結成される。また、このメンバーらで[[未来学]]も話題となり、1968年の「日本未来学会」の創設にも参加する<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=66-70}}</ref>。他に小松、加藤、川添、[[川喜田二郎]]の4名で「ＫＫＫＫ団」と名乗り、1966年に雑誌『[[文藝]]』に連続対談を5回連載した<REF>[[寺田博]]『文藝編集実記』（河出書房新社、P.118)</REF>。<br />
<br />
1964年から始まった近畿ローカルのラジオ番組「題名のない番組」（ラジオ大阪）や「ゴールデンリクエスト」（近畿放送（現京都放送））で[[桂米朝]]らと知的で快活なトークを交わしたが，そこにあった常連リスナーからの投稿からアイデアを得て「蜘蛛の糸」「海底油田」「四次元ラッキョウ」などの多くの[[掌編小説|掌編]]をなした。彼の掌編はこの時期に集中している。<br />
<br />
1965年には[[ベトナムに平和を!市民連合|ベ平連]]創立時の「呼びかけ人」に。1966年には、[[テレビ東京|東京12チャンネル]]に勤務していた[[ばばこういち]]が主宰で、「[[ベトナム戦争]]についてのティーチ・イン」を行った際、小松は[[小田実]]や[[開高健]]らとともに参加し、ベトナム戦争反対論を論じた。このイベントは、あまりに反戦論者が多かったため放送されず、ばばは、東京12チャンネルを退社した<ref>{{Harvnb|田原|矢崎|2004|p=126}}</ref>。<br />
<br />
[[1970年]]には「[[国際SFシンポジウム]]」を主宰。米・英・ソ等のSF作家を日本に招き、[[アーサー・C・クラーク]]、[[ジュディス・メリル]]、[[フレデリック・ポール]]、[[ブライアン・オールディス]]らが参加した。また、同年の[[日本万国博覧会]]ではサブ・テーマ委員、テーマ館サブ・プロデューサー（チーフ・プロデューサーは[[岡本太郎]]）を務めた。「[[太陽の塔]]」内の展示を、岡本太郎と考え、[[デオキシリボ核酸|DNA]]の巨大な模型を作り、生物の進化を現すようにした。また、地下スペースに、[[石毛直道]]らが収集した世界中の神像や仮面を展示。そのコレクションが、[[1977年]]オープンの[[国立民族学博物館]]の元となった<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=70-72}}</ref>。<br />
<br />
[[1980年]]には、[[日本SF作家クラブ]]会長として、[[徳間書店]]をスポンサーとした「[[日本SF大賞]]」の創設に尽力。1981年1月発表の第1回受賞作には、科学を主題にした、本格的な[[ハードSF]]短編集である[[堀晃]]の『[[太陽風交点事件|太陽風交点]]』（[[早川書房]]、1979年）を強く推して、受賞させた。<br />
<br />
1980年前後、東宝からのオリジナルSF映画の企画依頼に応じ、多数のSF作家を招いてブレーンストーミングを重ねたのち、小説を先行させて『さよならジュピター』を発表。映画化に際しては新会社を設立して自ら総監督兼脚本をつとめ、名目上だけではなく完全な陣頭指揮を取ったが、必ずしも好評価にはつながらなかった。<br />
<br />
[[1990年]]の[[国際花と緑の博覧会]]では[[博覧会]]の総合プロデューサー（[[泉眞也]]、[[磯崎新]]と共同）として活躍。また、5回にわたり「大阪咲かそ」シンポジウムのプロデュースを担当するなど執筆以外の活動も多岐にわたっている。これらのプロジェクトの経験は、のちに、著書『巨大プロジェクト動く』にまとめている<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=91-93}}</ref>。<br />
<br />
[[2000年]]より[[角川春樹事務所]]が主宰で[[小松左京賞]]が設立され、選考委員を務めている（[[2009年]]の第10回をもって休止）。<br />
<br />
[[2001年]]より同人誌『[[小松左京マガジン]]』を主宰。毎号巻頭には編集長インタビューとして小松と著名人との対談が掲載されていた。<br />
<br />
[[1993年]]に[[小林隆男]]によって発見されていた[[小惑星]](6983)が、[[2002年]]に「Komatsusakyo」と命名された。<br />
<br />
2006年7月からは『小松左京全集完全版』([[城西国際大学]]出版会刊)の刊行も始まった。この全集はハードカバーとしては日本で初めて[[オンデマンド印刷]]で作られることでも注目されている。2000年1月にはすでにオンラインで注文した作品を組み合わせてオンデマンドで印刷する『オンデマンド版・小松左京全集』（[[BookPark]]）が開始されている。<br />
<br />
[[2007年]]に日本で開催された[[ワールドコン]] Nippon2007には[[デイヴィッド・ブリン]]と共に作家[[:en:Worldcon#Guests of Honor|ゲスト・オブ・オナー]]として招待された。<br />
<br />
[[2008年]]には、『小松左京自伝 実存を求めて』が刊行された。<br />
<br />
[[2011年]][[7月26日]]、[[肺炎]]のため大阪府[[箕面市]]の病院で死去。{{没年齢|1931|1|28|2011|7|26}}<ref>{{cite news|title=ＳＦの大家、小松左京さん死去 「日本沈没」など|author=[[共同通信]]|newspaper=[[47NEWS]]|publisher=[[全国新聞ネット]]|date=2011-07-26|url=http://www.47news.jp/CN/201107/CN2011072801000573.html|accessdate=2011-07-28|archiveurl=https://web.archive.org/web/20130620160035/http://www.47news.jp/CN/201107/CN2011072801000573.html|archivedate=2013年6月20日|deadlinkdate=2017年10月}}</ref><ref>{{cite news|title=「日本沈没」ＳＦ作家・小松左京さん死去 ８０歳|newspaper=[[MSN産経ニュース]]|publisher=[[産経新聞社]]|date=2011-07-28|url=http://sankei.jp.msn.com/life/news/110728/bks11072815590000-n1.htm|accessdate=2011-07-28|archiveurl=http://megalodon.jp/2013-1004-2012-00/sankei.jp.msn.com/life/news/110728/bks11072815590000-n1.htm|archivedate=2013-10-04}}</ref>。<br />
没後、『[[復活の日]]』に登場するアメリカの[[アマチュア局]]の[[コールサイン]]「WA5PS」が誰にも割り当てられておらず空いていることが判明、小松左京事務所に許可を求めた上で「小松左京記念局」として免許された<ref>[http://wireless2.fcc.gov/UlsApp/UlsSearch/license.jsp?licKey=3335605 ULS License - Vanity License - WA5PS - Sakyo Komatsu Memorial Amateur Radio Station]{{en icon}}[[連邦通信委員会]]無線通信局 コールサイン検索サイト</ref>。<br />
<br />
== 作品の評価 ==<br />
SFマガジンでのデビュー以来、様々なジャンルにわたる多数の長短編作品や[[ショートショート]]を世に送り出し、日本のSFを牽引した。その作風は人類の運命を描くハードコアSF（本格SF）から、[[ポリティカル・フィクション]]、[[タイムトラベル]]物、[[歴史改変小説]]や[[パラレルワールド]]物、[[スラップスティック]]、アクション物、SFミステリ、[[ホラー小説|ホラー]]、[[性愛文学|エロティック]]な作品、[[寓話]]的な作品や[[ファンタジー]]に至るまで幅広い。<br />
<br />
あまりの多面さに作風を一面的に断じる事は出来ないが、当時先端の科学や政治経済の知識を駆使し、プロットの練られた『日本沈没』『首都消失』のような作品から、下町を背景に描いた『[[コップ一杯の戦争]]』、日本を始めとする各種神話に取材した作品まで、非SFである歴史小説、[[中間小説]]（奇妙な女たちを描く短編「女シリーズ」や、古典芸能の知識が結実した「芸道小説」シリーズなどがある）も含め[[サイバーパンク]]以前のほぼ全てのジャンルに手を付けたといっても過言では無い<ref group="注釈">もっともサイバーパンク分野ですら、『BS6005に何が起こったか』(1971)、『ト・ディオティ』(1968)などで、サイバーパンクの系譜でもある[[シミュレーテッドリアリティ]]を先取りしたと考えることも出来る。</ref>。また、非SFでも、あくまで「SF作家としての視点」から作品が構想されていることが、『小松左京自伝』に収録されている「自作解説」からわかる。<br />
<br />
代表作には、時間と空間をまたにかけた壮大な長編『[[果しなき流れの果に]]』（1966年）が挙げられる。この作品は1997年の『SFマガジン』500号記念号で発表された、「日本SFオールタイムベスト」において長編部門1位を獲得した。さらに短編部門では同じく小松作品の「[[ゴルディアスの結び目 (小松左京の小説)|ゴルディアスの結び目]]」が1位になった。<br />
<br />
初期長編では、娯楽色と思索性を高いレベルで両立させたSFミステリ『継ぐのは誰か』の人気も高い。[[山田正紀]]がこの作品を青春小説として評価している<ref>{{Harvnb|山田|1977|pp=336-340}}</ref>ように、小松作品では純粋で正義感の強い青年たちが主人公をつとめることが多い。これは、同輩ともいうべき星新一、筒井康隆らには全くといっていいほど見られない特徴で、人情や情緒への傾斜も同様である。このあたりが小松作品に独特の熱っぽさを与えている。<br />
<br />
最大のベストセラーになったのは1973年に光文社から刊行された『[[日本沈没]]』で、社会現象とまでなった。刊行前は「長すぎて売れない」と出版社側からは言われていたが、3月に発売すると驚くほどの売れ行きを示し、その年末までに上下巻累計で340万部が刊行された<ref>{{Harvnb|石川|1996|pp=303-305}}</ref>。[[福田赳夫]]や[[田中角栄]]も、この本を読んだという<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=76-79、221-231}}</ref>。<br />
<br />
1964年に世に現れた[[電卓]]であるが、小松はこれをすぐに導入し「使いまくって」、『日本沈没』を書いた、という。2011年7月29日の毎日新聞「余録」には<!--新聞名、日付、箇所が明記されているので検証可能性の担保としては十分でしょう。リンク切れのためコメントアウト。<ref>http://mainichi.jp/select/opinion/yoroku/news/20110729k0000m070144000c.html</ref>-->13万円の電卓、とあり、同年11月24日のNHK『クローズアップ現代』では、小松の電卓としてキヤノンのキヤノーラ1200（12万6千円）が紹介された。別モデルと思われる話もあり、[[安田寿明]]によれば、37万円ほどの標準品を買い「目の玉が飛び出るほど高かったが、あれを使いまくったおかげで『日本沈没』が書けた」と小松は語ったという<ref>{{Harvnb|安田|1977|p=37}}</ref>。また、1979年に発売された初の国産[[ワープロ]]である東芝の[[JW-10]]（630万円）も、いち早く一号機を小松左京事務所で使用していたが、その後、携帯できないことなどを理由に手書きに戻っている<ref>{{Cite Book |和書 |author = [[野田昌宏]] |title = 新版 スペース・オペラの書き方 |publisher = [[早川書房]]〈[[ハヤカワ文庫#ハヤカワ文庫JA（旧 ハヤカワJA文庫）|ハヤカワ文庫JA]]〉 |page = 373・374頁 |isbn = 978-4-15-030409-6}}</ref>。<br />
<br />
『日本沈没』は「第一部完」として発売され、第二部は「世界に流浪した日本人たちの運命」を描く予定であったが、「日本人」としての固有性を守るべきか、「国土を失った民族として[[コスモポリタニズム]]に貢献」すべきか小松に迷いが生じ、執筆されなかった。後に高齢を理由に小松自身による執筆は放棄され、2003年11月から続編を作成するプロジェクト・チームが作られた。執筆は[[谷甲州]]が担当し、2006年7月に『日本沈没 第二部』が刊行された<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=80、232-239}}</ref>。<br />
<br />
『[[日本沈没]]』、『[[復活の日]]』、『[[エスパイ]]』、『[[首都消失]]』などが映画化されており、特に[[1984年]]公開の『[[さよならジュピター]]』は単に原作提供にとどまらず、新たに「株式会社イオ」を設立して映画製作に出資。小松自身も総監督として現場の指揮を執り、最新の[[コンピュータグラフィックス|CG]]を駆使して特撮場面をとるほどの、力の入れようだった。テレビにも映像化作品は多く、中にはテレビオリジナル作品もある。[[2006年]]には、『[[日本沈没]]』が、現代にあわせてリメイクされ、映画として公開された。<br />
<br />
ソ連のSF作家[[イワン・エフレーモフ]]の社会主義的SF論に対抗して書いた「拝啓イワン・エフレーモフ様」（[[巽孝之]]編『日本SF論争史』勁草書房に収録）をはじめとした、数々のSF論で「科学技術が、人間社会や人間の存在自体を変えてしまう時代の、『本流文学』としてのSF」を一貫して主張し続けている。<br />
<br />
ただし、この小松が理想とするSFは、小松ほどの博覧強記な作家でしか、書き得ないともいえる。[[筒井康隆]]は、小松の自選短編集『骨』の解説で、自身との比較において、「自分は、自分の頭の中にある、知識やシチュエーションを組み合わせて、小説を考えていく。だが、小松左京は、まず『こういうテーマの小説を書く』と決め、それに沿って彼の頭をワッサワッサと揺り動かすと、膨大な関連する知識が落ちてきて、それをまとめあげていく」と、小松の創作法を評した。<br />
<br />
その他にも、日本各地や世界各地を旅しての文明論や、日本文化論、科学エッセイなどの、ノンフィクションも多数執筆しているが、これらについても「SF作家としての視点」からの壮大な視点から書かれている。<br />
<br />
広範な領域での業績と旺盛な活動力を[[岡田斗司夫]]、[[唐沢俊一]]らは「[[荒俣宏]]と[[立花隆]]と[[宮崎駿]]を足して3で割らない」と評している。<br />
<br />
一方、文壇からの正当な評価、評論は特になく、『小松左京自伝』においては、「[[開高健]]や[[北杜夫]]ぐらいにしか、自分の文学を評価してもらえなかった。せめて、（非SFである）『芸道小説』ものでは、直木賞をくれないかなと思った。」「現在でも、社会や文壇が、SFを十分に認知しないことへの、いらだちがある」と、無念さを吐露している。また同書には、「一貫して、宇宙における文学の意味、宇宙における人類の意味を考えてきた」という発言があり、他のSF作家とは連帯しきれない、小松なりの孤独な問題意識が書かれている。この小松ならではの文学的な問題意識が共有できたのは、SF作家仲間よりもむしろ[[開高健]]、[[高橋和巳]]であったとも書かれている。<br />
<br />
== 人物 ==<br />
生まれ育った関西に愛着を持ち、関西を盛り上げるためのさまざまな活動を行った。1977年から1982年には[[大阪フィルハーモニー交響楽団]]のイベント「大フィルまつり」の企画・構成を担当。1978年には、「関西で[[歌舞伎]]を育てる会」（現、[[関西・歌舞伎を愛する会]]）の代表世話人になり、20年以上つとめた<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=86f}}</ref>。また、[[かんべむさし]]、[[堀晃]]などの関西出身の後輩SF作家たちにも、目をかけた。また、『大阪タイムマシン紀行』 『わたしの大阪』 『こちら関西』 『こちら関西・戦後編』など、関西をテーマにした著書も多数ある。<br />
<br />
また、関西の官僚や財界人たちともブレイン役として交際し、「湾岸道路の建設」「関西新空港の整備（現：[[関西国際空港]]）」「研究学園都市の創設（現：[[関西文化学術研究都市|けいはんな学研都市]]）」などを提案した<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=89f}}</ref>。また、彼らとの交流で、[[祇園]]などの色街を体験し、「芸道小説」シリーズなどに結実している<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=258f}}</ref>。ユーモラスな一面もあり、『SF作家オモロ大放談』では、自分の精液をフライパンで焼いて食べたことがあると語っている。1970年頃はよく太っていて、ラジオなどでも自称メガネ豚と言っていた。<br />
<br />
1995年1月に発生し、小松自らも被災した[[阪神・淡路大震災]]の際には[[テレビ局]]のインタビューに答えて、[[視聴者]]のリクエストと[[ヘリコプター]]などの現場取材を連携させた[[生放送|ライブ]]による安否情報の発信を提案した。いくつかのテレビ局が実際に試みたが、被害範囲が広すぎた事と、リクエストの信憑性を検証できないという指摘を受け、あまり成果を上げないまま中止された。<br />
<br />
小松は『小松左京の大震災'95』を1996年6月に刊行し、震災の教訓として防災情報の共有化や、温かみのある復興の大切さを書いた。その後は、もう何もする気力がなくなり、[[鬱病]]をわずらったという。2000年ごろようやく回復<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=95-97}}</ref>。その後も小松自身は震災からの復旧活動に積極的に関与していた。<br />
<br />
== 受賞歴 ==<br />
* 1971年 - 『[[継ぐのは誰か?]]』により第2回[[星雲賞]]（日本長編部門）受賞。<br />
* 1973年 - 『[[結晶星団]]』により第4回星雲賞（日本短編部門）受賞。<br />
* 1974年 - 『[[日本沈没]]』により第27回[[日本推理作家協会賞]]・第5回星雲賞（日本長編部門）受賞。<br />
* 1976年 - 『[[ヴォミーサ]]』により第7回星雲賞（日本短編部門）受賞。<br />
* 1978年 - 『[[ゴルディアスの結び目 (小松左京の小説)|ゴルディアスの結び目]]』により第9回星雲賞（日本短編部門）受賞。<br />
* 1983年 - 『[[さよならジュピター]]』により第14回星雲賞（日本長編部門）受賞。<br />
* 1985年 - 『[[首都消失]]』により第6回[[日本SF大賞]]受賞。<br />
* 2007年 - [[城西国際大学]]より、[[名誉博士号]]授与。<br />
* 2011年 - 第42回星雲賞特別賞受賞。この回の星雲賞は異例の受賞者事前発表であったが（例年は日本SF大会の会場で発表）これについては特別にSF大会のクロージングでの発表となった。なお、同大会の[[暗黒星雲賞]]「ゲスト部門」でも<!--酒を飲んでるのを見た、と複数の参加者がツイートするなどし-->次点となる票を得ている。<br />
* 2011年 - 第32回日本SF大賞特別功労賞受賞。<br />
<br />
== 作品リスト ==<br />
* 小松左京コレクション 全5巻 ジャストシステム、1995年 - 1996年<br />
* 小松左京全集 全56巻 城西国際大学出版会、2006年 - <br />
<br />
=== 小説 ===<br />
==== SF長編 ====<br />
* [[日本アパッチ族]] 書き下ろし 光文社、1964年3月 のち角川文庫、光文社文庫<br />
* [[復活の日]] 書き下ろし 早川書房、1964年8月 のち文庫、角川文庫、ハルキ文庫 - 流行病による人類滅亡の恐怖と、南極にいた生き残りの闘いと希望を描く。映画化。<br />
** 復活の日 人類滅亡の危機との闘い ポプラ社、2009年（[[新井リュウジ]]によるジュニア向けリライト版）<br />
* [[エスパイ]] 『漫画サンデー』1964年4月8日号 - 10月7日号 早川書房、1965年6月 のち文庫、角川文庫、ハルキ文庫<br />
* [[明日泥棒]] 『週刊現代』1965年1月1日号 - 7月15日号 講談社、1965年12月 のち角川文庫、ハルキ文庫<br />
* [[果しなき流れの果に]] 『S-Fマガジン』1965年2月号 - 11月号 早川書房、1966年7月 のち文庫、角川文庫、徳間文庫、ハルキ文庫 ISBN 4150300011<br />
* [[ゴエモンのニッポン日記]] 『アサヒグラフ』1966年4月1日号 - 9月9日号 講談社、1966年12月 のち文庫、ハルキ文庫<br />
* [[見知らぬ明日]] 『週刊文春』1968年4月29日号 - 9月9日号 文藝春秋、1969年3月 のち角川文庫、ハルキ文庫<br />
* [[継ぐのは誰か?]] 『S-Fマガジン』1968年6月号 - 12月号 早川書房『世界SF全集』第29巻、1970年6月 のち単行本、文庫、角川文庫、ハルキ文庫<br />
* [[日本沈没]] 書き下ろし 光文社カッパ・ノベルス、1973年3月 のち文春文庫、徳間文庫、光文社文庫、双葉文庫、小学館文庫<br />
* 題未定 『週刊小説』1976年8月16日号 - 10月4日号 実業之日本社 1977年3月 のち文春文庫、ケイブンシャ文庫、ハルキ文庫<br />
* [[こちらニッポン…]] 『朝日新聞』夕刊 1976年4月19日 - 1977年1月22日 朝日新聞社、1977年4月 のち角川文庫、ハルキ文庫<br />
* 時空道中膝栗毛 『報知新聞』1976年11月16日 - 1977年5月14日 文藝春秋、1977年9月 のち文庫、ケイブンシャ文庫<br />
* 空から墜ちてきた歴史 『別冊小説新潮』1977年7月号 - 1978年4月号 新潮社、1981年11月 のち文庫<br />
* [[さよならジュピター]] 『週刊サンケイ』1980年5月29日号 - 1982年1月14日号 サンケイ出版、1982年4月 のち徳間文庫、ハルキ文庫<br />
* [[首都消失]] 『北海道新聞』ほか新聞4社 1983年12月1日 - 1984年12月31日 徳間書店、1985年3月 のち文庫、ハルキ文庫<br />
* 時也空地球道行 『週刊読売』1987年3月8日号 - 11月29日号 読売新聞社、1988年4月 のち『時空道中膝栗毛 後の巻 時也空地球道行』と改題、勁文社、1991年7月<br />
* [[虚無回廊]] 『SFアドベンチャー』1986年2月号 - 1987年3月号、1991年12月号 - 1992年10月号、I・IIは徳間書店より1987年11月、IIIは角川春樹事務所より2000年7月 のち徳間文庫、ハルキ文庫 - 地球から5.8光年の宇宙空間に突如出現した巨大物体の正体は？広大な宇宙を舞台に、「生命」「知性」「文明」の意味を問うSF。未完。<br />
* [[日本沈没|日本沈没 第二部]]（[[谷甲州]]共著） 書き下ろし 小学館、2006年8月 のち文庫<br />
<br />
==== ジュブナイル ====<br />
* [[見えないものの影]] 『高一コース』1965年5月号 - 11月号 盛光社、1967年3月 のち角川文庫<br />
* [[空中都市008|空中都市008 アオゾラ市のものがたり]] 『日本PTA』1968年1月号 - 6月号 講談社、1969年2月 のち角川文庫、講談社青い鳥文庫（NHK人形劇の原作）<br />
* [[宇宙漂流]] 毎日新聞社 1970年12月 のち角川文庫、ポプラ文庫<br />
* [[青い宇宙の冒険]] 『中一計画学習』1970年4月号 - 12月号 筑摩書房、1972年4月 （ちくま少年文学館） のち角川文庫<br />
* [[おちていたうちゅうせん]] 書き下ろし フレーベル館 1972年6月 （こどもSF文庫）<br />
* 宇宙人のしゅくだい 『朝日新聞』1964年11月8日 - 1966年3月20日、講談社、1974年3月 のち講談社文庫<br />
<br />
==== 連作・シリーズ ====<br />
* [[時間エージェント]] 『HEIBONパンチDELUXE』1965年9月号 - 1966年7月号、『ビッグコミック』1968年1月1日号 - 8日号<br />
* 「女」シリーズ<br />
** [[待つ女]] 新潮社 1972年 「短小浦島」角川文庫、「湖畔の女」徳間文庫<br />
** 無口な女 新潮社 1975年 「流れる女」文春文庫、「ハイネックの女」徳間文庫<br />
** 旅する女 角川文庫、1979年 - 「昔の女」、「旅する女」など「女」をテーマに描いた短編集。<br />
<br />
==== ショートショート集 ====<br />
* [[ある生き物の記録]] ショート・ショート集 早川書房 1966年6月 のち文庫、集英社文庫<br />
* 鏡の中の世界 早川文庫 1974年 のち角川文庫 - 『ある生き物の記録』を2分冊にしたうちの1冊。<br />
* 一生に一度の月 集英社文庫 1979年5月<br />
* まぼろしの二十一世紀 集英社文庫 1979年11月<br />
* 一宇宙人のみた太平洋戦争 短篇ショート・ショート集 集英社文庫、1981年1月<br />
* 小松左京ショートショート全集 勁文社 1995年 のち文庫<br />
<br />
==== 短編集 ====<br />
* [[地には平和を]] 早川書房、1963年 のち角川文庫<br />
* [[影が重なる時]] 早川書房、1964年<br />
* [[日本売ります]] 早川書房、1965年 のちハルキ文庫<br />
* [[神への長い道]] 早川書房 1967年 のち文庫、角川文庫、徳間文庫<br />
* [[生きている穴]] 早川書房 1967年<br />
* [[模型の時代]] 徳間書店 1968年 のち角川文庫<br />
* [[飢えた宇宙]] 早川書房 1968年 （ハヤカワ・SF・シリーズ）<br />
* [[闇の中の子供]] 新潮社 1970年 のち文庫<br />
** 長生きの秘訣 - 昔話「[[人魚|八百比丘尼]]（やおびくに）」「人魚」を思わせる不老不死をテーマにしたSF作品。<br />
** 第二日本国誕生<br />
* [[星殺し（スター・キラー）]] 早川書房 1970年 (ハヤカワ・SF・シリーズ)<br />
* [[三本腕の男]] 立風書房 1970年 のち角川文庫<br />
* [[青ひげと鬼]] 徳間書店 1971年 のち角川文庫<br />
* [[最後の隠密]] 立風書房 1971年 のち角川文庫<br />
* [[地球になった男]] 新潮文庫 1971年<br />
* [[明日の明日の夢の果て]] 角川書店 1972年 のち文庫<br />
* [[牙の時代]] 早川書房 1972年 のち角川文庫<br />
* 怨霊の国 角川書店 1972年 のち文庫<br />
* ウインク 角川文庫 1972年<br />
* [[御先祖様万歳]] 早川文庫 1973年 のち角川文庫<br />
* 結晶星団 早川書房 1973年 のち文庫、角川文庫、ハルキ文庫<br />
* アダムの裔 新潮文庫 1973年<br />
* 時の顔 早川文庫 1973年 のち角川文庫、ハルキ文庫<br />
* 戦争はなかった 新潮文庫、1974年 「召集令状」角川文庫<br />
* 本邦東西朝縁起覚書 早川文庫 1974年 のち徳間文庫 - 表題作は[[後南朝]]の自天王が時空を超え、現代の日本に突如出現する歴史SF。<br />
* 春の軍隊 新潮社 1974年 のち文庫<br />
* 夜が明けたら 実業之日本社 1974年 のち文春文庫、ケイブンシャ文庫、ハルキ文庫<br />
* さらば幽霊 自選短編集 講談社文庫、1974年<br />
* 蟻の園 ハヤカワ文庫、1974年 のち角川文庫<br />
* 虚空の足音 文藝春秋 1976年 のち文庫<br />
* 男を探せ 新潮社 1976年 「おれの死体を探せ」徳間文庫、原題ハルキ文庫<br />
* 夢からの脱走 新潮文庫 1976年<br />
* 空飛ぶ窓 文春文庫 1976年<br />
* 飢えなかった男 徳間書店 1977年 のち文庫<br />
* 骨 集英社文庫 1977年<br />
* ゴルディアスの結び目 角川書店 1977年 のち文庫、徳間文庫、ハルキ文庫<br />
* 物体O 新潮文庫、1977年 のちハルキ文庫<br />
* 五月の晴れた日に 早川文庫 1977年 のち集英社文庫<br />
* サテライト・オペレーション 集英社文庫 1977年<br />
* 偉大なる存在 早川文庫 1978年 のち集英社文庫<br />
* アメリカの壁 文藝春秋 1978年 のち文庫<br />
* 夜の声 集英社文庫、1978年<br />
* 華やかな兵器 文藝春秋 1980年 のち文庫<br />
* 猫の首 集英社文庫、1980年 「保護鳥」ケイブンシャ文庫<br />
* 氷の下の暗い顔 角川書店 1980年 のち文庫<br />
* コップ一杯の戦争 集英社文庫、1981年<br />
* 遷都、集英社文庫、1981年<br />
* あやつり心中、徳間書店、1981年 のち文庫<br />
* 機械の花嫁 ケイブンシャ文庫、1983年<br />
* 大阪夢の陣、徳間文庫、1983年<br />
* 黄色い泉、徳間文庫、1984年 のちケイブンシャ文庫<br />
* こちら“アホ課” ケイブンシャ文庫 1986年<br />
* ぬすまれた味 ケイブンシャ文庫、1987年<br />
* [[くだんのはは]] ハルキ文庫、1999年<br />
* すぺるむ・さぴえんすの冒険 福音館書店 2009年<br />
<br />
=== 戯曲 ===<br />
* 狐と宇宙人－戯曲集（徳間書店、1990年） -SF[[狂言]]。[[茂山千之丞]]からの依頼により執筆<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=87f}}</ref>。<br />
<br />
=== 評論・対談・エッセイ ===<br />
* 地図の思想 講談社、1965年<br />
* 探検の思想 講談社、1966年<br />
* 未来図の世界 講談社、1966年<br />
* 未来怪獣宇宙 講談社、1967年<br />
* 未来の思想 文明の進化と人類 中公新書、1967年<br />
* 日本タイムトラベル 変貌する地域社会 読売新聞社、1969年<br />
* 人類は滅びるか 鼎談 [[今西錦司]]、[[川喜田二郎]] 筑摩書房、1970年<br />
* ニッポン国解散論 読売新聞社、1970年<br />
* 地球を考える 対談集 1-2 新潮社、1972年<br />
* 日本イメージ紀行 白馬出版、1972年<br />
* 未来からの声 創樹社、1973年<br />
* 現代の神話 [[山崎正和]]対談 日本経済新聞社、1973年<br />
* 歴史と文明の旅 文藝春秋、1973年 のち講談社文庫<br />
* 妄想ニッポン紀行 高天原-伊勢-出雲 正・続 （講談社文庫 1973年 - 1974年）<br />
* 小松左京対談集 日本を沈めた人 地球書館、1974年<br />
* おしゃべりな訪問者 架空インタビュー 筑摩書房、1975年 のち新潮文庫<br />
* 絵の言葉 対話[[高階秀爾]] エッソ・スタンダード石油広報部 1975年 （エナジー対話）のち講談社学術文庫<br />
* やぶれかぶれ青春記 旺文社文庫、1975年 のちケイブンシャ文庫<br />
* ミスターちんぼつの恋愛博物館 光文社、1975年 のち文春文庫「恋愛博物館」<br />
* 男の人類学 新・世界学入門 大和書房、1976年<br />
* 絵の理想型とは？ [[萩尾望都]]対談 クエスト創刊号（小学館）、1977年<br />
* 日本文化の死角 講談社現代新書、1977年<br />
* 人間博物館 「性と食」の民族学 [[石毛直道]]、[[米山俊直]]討議 光文社、1977年 のち文春文庫<br />
* 小松左京対談集 21世紀学事始 鎌倉書房、1978年<br />
* 学問の世界 碩学に聞く [[加藤秀俊]] 講談社現代新書、1978年 のち学術文庫<br />
* [[高橋和巳]]の青春とその時代（編）構想社、1978年<br />
* 生命をあずける 分子生物学講義 [[渡辺格 (分子生物学者)|渡辺格]]対談 朝日出版社、1979年 (Lecture books)<br />
* 地球社会学の構想 文明の明日を考える PHP研究所、1979年<br />
* はみだし生物学 平凡社、1980年 のち新潮文庫<br />
* 読む楽しみ語る楽しみ 集英社、1981年 のち文庫<br />
* 遠い島遠い大陸 文藝春秋、1981年<br />
* おもろ放談 SFバカばなし（角川文庫、1981年）-SF作家の仲間たちとの放談。<br />
* 地球文明人へのメッセージ 佼成出版社、1981年<br />
* 宇宙から愛をこめて すぺいす・あふぉりずむ455 文化出版局、1981年<br />
* アリとチョウチョウとカタツムリ 石浜紅子絵 三芽出版、1981年 （新しい絵本）<br />
* 小松左京のSFセミナー（集英社文庫、1982年）<br />
* にっぽん料理大全 石毛直道共著 潮出版社、1982年 のち岩波同時代ライブラリー<br />
* 机上の遭遇 集英社、1982年 のち文庫<br />
* 大阪タイムマシン紀行 その1500年史を考える 関西過去・未来考 PHP研究所、1982年 「タイムトラベル大阪」ケイブンシャ文庫<br />
* 犬も犬なら猫も猫 ケイブンシャ文庫、1984年<br />
* 黄河 中国文明の旅 徳間書店、1986年<br />
* ボルガ大紀行 徳間書店、1987年<br />
* 「自然の魂」の発見 いんなあとりっぷ社、1990年<br />
* 高橋和巳の文学とその世界 [[梅原猛]]共編 阿部出版、1991年<br />
* 宇宙・生命・知性の最前線 十賢一愚科学問答（対談集）講談社、1992年<br />
* 鳥と人 とくにニワトリへの感謝をこめて 文春ネスコ、1992年<br />
* わたしの大阪 中公文庫、1993年<br />
* 巨大プロジェクト動く 私の「万博・花博顛末記」広済堂出版、1994年<br />
* こちら関西 もうひとつの情報発信基地・大阪 正編・戦後編 文藝春秋、1994年 - 1995年<br />
* ユートピアの終焉 イメージは科学を超えられるか ディーエイチシー、1994年<br />
* 未来からのウインク 神ならぬ人類に、いま何が与えられているか 青春出版社プレイブックス、1996年<br />
* 小松左京の大震災'95 この私たちの体験を風化させないために 毎日新聞社、1996年<br />
* SFへの遺言 対談集（光文社、1997年）<br />
* 紀元3000年へ挑む科学・技術・人・知性 地球紀日本の先端技術 東京書籍、1999年<br />
* 教養（聞き手[[高千穂遥]]、[[鹿野司]]。徳間書店、2001年）<br />
* 威風堂々うかれ昭和史 中央公論新社、2001年<br />
* 天変地異の黙示録 人類文明が生きのびるためのメッセージ 日本文芸社・パンドラ新書、2006年<br />
* SF魂（新潮新書、2006年）<br />
* 小松左京自伝 実存をもとめて（日本経済新聞社出版社、2008年）-自伝+「小松左京マガジン」連載の自作解説収録。<br />
<br />
=== 漫画 ===<br />
* 怪人スケレトン博士（さかえ出版社、1948年）小松實名義<ref>[http://sakyokomatsu.jp/library/583/ 「怪人スケレトン博士」著者としての小松左京] 小松左京ライブラリ</ref><br />
* イワンの馬鹿（不二書房、1949年）モリ・ミノル名義<br />
* 大地底海（不二書房、1949年）モリ・ミノル名義<br />
* ぼくらの地球（不二書房、1949年）モリ・ミノル名義<br />
* [http://www.shogakukan.co.jp/comics/detail/_isbn_4091794211 幻の小松左京=モリ・ミノル漫画全集] 全4巻（小学館、2002年）。ISBN 4-09-179421-1。※ 未発表作品「第五実験室」、「大宇宙の恐怖アンドロメダ」の原稿を収録。<br />
* ムウ大陸の末裔（光文社、2012年）モリ・ミノル名義<ref>{{Cite book|和書|date=2012-03-26|title=SIGNAL|volume=VOL.1|publisher=光文社|isbn=978-4-334-90186-8|url=http://www.kobunsha.com/shelf/book/isbn/9784334901868}} 所収。</ref><br />
<br />
=== テレビ ===<br />
* [[宇宙人ピピ]] （1965年、[[日本放送協会|NHK]]、実写+アニメ合成作品、[[平井和正]]との合作）<br />
* SF人形アニメ （1965年、[[大阪テレビフィルム]]、5分間帯番組 未製作）<ref>[http://this.kiji.is/66133150330488317 小松左京さんら幻の人形アニメ サンダーバード放送で断念 共同通信 2016年1月30日]</ref><br />
* [[空中都市008]]（1969年‐1970年、NHK、[[竹田人形座]]による人形劇）<br />
* [[SFドラマ 猿の軍団|猿の軍団]] （1974年、[[TBSテレビ|TBS]]）<br />
* [[日本沈没#テレビドラマ|日本沈没]] （1974-1975年、TBS、東宝映像）<br />
* [[ぼくとマリの時間旅行]] （1980年、NHK [[少年ドラマシリーズ]]、「時間エージェント」が原作）<br />
* [[小松左京アニメ劇場]] （1989年、[[MBSテレビ|毎日放送]]）<br />
* [[世にも奇妙な物語]] 秋の特別編「戦争はなかった」「さとるの化物」「影が重なるとき」 （1991年、2000年、2003年、[[フジテレビジョン|フジテレビ]]）<br />
<br />
=== 映画 ===<br />
* [[日本沈没]]（[[1973年]]、[[2006年]]、[[東宝]]）73年版では自身もカメオ出演<br />
* [[エスパイ]]（[[1974年]]、東宝）<br />
* [[復活の日]]（[[1980年]]、[[角川書店]]、[[TBSテレビ|TBS]]（配給：東宝））<br />
* [[さよならジュピター]]（[[1984年]]、東宝、株式会社イオ）<br />
* [[首都消失]]（[[1987年]]、[[関西テレビ放送|関西テレビ]]、[[大映]]、[[徳間書店]]（配給：東宝））<br />
<br />
=== ラジオ ===<br />
* いとし・こいしの新聞展望（[[大阪放送|ラジオ大阪]]、[[1959年]]-[[1962年]]）※構成作家<br />
* 題名のない番組（ラジオ大阪、[[1964年]]-[[1968年]] [[桂米朝 (3代目)|桂米朝]]とのトーク番組）<br />
* NHK-FMの『日本のトップ・アーティスト 冨田勲』（1980年、全5回）※ 対談の司会。<br />
* 桂米朝と小松左京のゴールデンリクエスト（[[京都放送|近畿放送]]）<br />
* 米朝・左京のユーモア リクエスト（近畿放送）※桂米朝とのトーク番組<br />
* [[サントリー・サタデー・ウェイティング・バー]]（[[エフエム東京|TOKYO FM]]、[[2006年]][[7月15日]]）「小松左京」の回<ref>{{cite web |url=http://www.avanti-web.com/pastdata/20060715.html |title=SUNTORY SATURDAY WAITING BAR「小松左京」 |accessdate=2015年3月14日 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20071130151107/http://www.avanti-web.com/pastdata/20060715.html |archivedate=2007年11月30日 }}</ref><br />
<br />
=== テレビ出演 ===<br />
*[[ハイ!土曜日です]]（関西テレビ）※桂米朝とのトーク番組・コーナーレギュラー出演 ほか<br />
*[[0スタジオ おんなのテレビ]]（TBS）※木曜日の司会<br />
<br />
=== オーディオ・ドラマ ===<br />
* 宇宙に逝く（1978年）<br />
** [[レコード|LPレコード]]に収録の書き下ろしのオーディオ・ドラマ （ディスコラマの名称）。出演：[[日下武史]]ほか。<br />
** 1987年に「ビクター・サウンドノベルズ」よりカセットテープにて出版される。<br />
<br />
=== 関連 ===<br />
* 小松左京:「小松左京の猫理想郷(ネコトピア)」、竹書房 (2016年10月14日)。<br />
* 乙部順子:「小松左京さんと日本沈没 秘書物語」、産経新聞出版 (2016年11月10日)。※ 著者は34年間の小松氏の女性秘書。<br />
<br />
== 関連人物 ==<br />
* [[星新一]] - 小松と同時期に活躍し、交友もあったSF作家。小松は星が死去した際の葬儀委員長をつとめた。<br />
* [[筒井康隆]] - 星、小松とならび日本SFの御三家とされるSF作家。小松は筒井の結婚の[[仲人]]である。小松の許可を得て、パロディ作『[[日本以外全部沈没]]』を著作（原案は星新一）。<br />
* [[高橋和巳]] - 1971年の、39歳での高橋の早逝にショックを受け、以後、小松は高橋について語ることを避けてきた。2004年の『小松左京マガジン』第17巻で「高橋和巳を語る」というインタビューが掲載された。（『小松左京自伝』に収録）<br />
* [[開高健]] - 『日本アパッチ族』と開高の『日本三文オペラ』は題材は同じ「アパッチ族」だが、相互に影響なく、同時並行的に執筆された。そのことがきっかけで、[[富士正晴]]に紹介されて開高とあって意気投合し、親友となった<ref>{{Harvnb|小松|2008|p=129}}</ref>。開高と小松の親友関係は、はたからは分からない面があったようで、のちに[[筒井康隆]]が開高を、「彼はSFがわかっていない。小松に対して失礼だ。」と批判した。だが、『小松左京自伝』の『果しなき流れの果に』の自作解説で、「美の体系が生き残る理由」「宇宙における人間存在の根拠」等という、小松がこだわっている問題を、開高がもっとも理解してくれたと、語っている。<br />
* [[桂米朝 (3代目)|桂米朝]] - 「[[地獄八景亡者戯]]」を聞いて大ファンとなり、のちに一緒に仕事をするようになり、家族ぐるみの交際となった<ref>{{Harvnb|小松|2008|p=65}}</ref>。<br />
* [[桂枝雀 (2代目)|桂枝雀]] - 個人的な交流があり、また芸道小説「天神山縁糸苧環」で、米朝・枝雀師弟を登場人物のモデルとした<ref>{{Harvnb|小松|2008|pp=260f}}</ref>。<br />
* [[高田宏]] - 大学時代からの友人。高田が編集していた[[エッソ石油]]のPR誌『エナジー』に、小松はたびたび執筆した。<br />
* [[梅棹忠夫]] - 長年の友人。『[[文明の生態史観]]』（中公叢書、1967年）に序文を書いている。<br />
* [[加藤秀俊]] - 長年の友人。何冊か共著を出している。<br />
* [[川喜田二郎]] - 長年の友人。共著も出している。<br />
* [[川添登]] - 長年の友人。<br />
* [[山崎正和]] - 長年の友人。<br />
* [[萩尾望都]] - 『小松左京マガジン』の発起人。小松は萩尾の大ファンで「モトさま、モトさま」と子どものように慕っていた。仕事で疲れてソファーに寝転んで漫画を読む際にも、その横にはよく萩尾作品（『[[ポーの一族]]』『[[スター・レッド]]』『[[百億の昼と千億の夜]]』など）が積まれていた<ref>[http://sakyokomatsu.jp/library/369 小松左京「お召し」原案 萩尾望都先生の「AWAY－アウェイ」] 小松左京ライブラリ</ref>。<br />
* [[石毛直道]] - 長年の友人。『小松左京マガジン』創設同人でもある。<br />
* [[小山修三]] - 友人の一人。<br />
* [[手塚治虫]] - 日本SF作家クラブの会員となり、個人的な交際があった。<br />
* [[冨田勲]] - トミタ立体サウンド・ライブ『エレクトロ・オペラ in 武道館』(1979年）を小松がプロデュースするなどで交流があった。<br />
* [[落合正幸]] - [[世にも奇妙な物語]]で原作となっている作品はすべて落合が演出している。<br />
* [[松本零士]] - 漫画コレクターとして『幻の小松左京=モリ・ミノル漫画全集』復刻のため自分のコレクションを提供した。<br />
* [[高島忠夫]]<br />
* [[国弘正雄]] - 中学の同級生。<br />
* [[矢崎泰久]] - 小松は『[[話の特集]]』の反体制的な姿勢に共鳴し、創刊以来の常連寄稿者で、矢崎に筒井康隆を紹介した。また、スポンサー獲得にも協力した<ref>{{Harvnb|小松|2008|p=117}} および、{{Harvnb|矢崎|2005}} {{要ページ番号|date=2013年10月}}</ref>。<br />
* [[大島渚]] - 同時期の京大生で、学生自治会にいて学生運動をやっていた。大島は、1951年の[[京大天皇事件]]、1953年に[[松浦玲]]が放校処分になった「[[荒神橋事件]]」等に関わった。だが大島は非共産党員であったため、共産党員だった小松とは直接の接触はなかったようだ。（『自伝』にも、これらの事件については、特に記載なし。）<br />
* [[谷甲州]]<br />
* [[林信夫]] - イベントプロデューサー。「[[プレイガイドジャーナル]]」の創刊者の一人。小松とは「花博」などで「小松組」として共同作業を行った<ref>{{Harvnb|小松|2008|p=93}}</ref>。<br />
* [[とり・みき]] - 熱心なファン。初期作品『コマケンハレーション』のコマケンとは[[小松左京研究会]]のこと。時折作品中にも、小松左京とおぼしき人物が登場する。<br />
* [[小松照昌]] - 小松の甥。放送作家、演芸ライター、[[三弦]]奏者。[[桂枝雀 (2代目)|桂枝雀]]に弟子入りを志願するもかなわず、「枝雀落語大全」のスタッフをつとめた。<br />
* [[小松伸也]] - 実弟。関西大学化学生命工学部の教授。<br />
* [[戴峰]] - 友人の地震研究者、著書『[[大地震]]は予知できる』 (グリーンアロー出版社刊)に推薦の言葉を寄せた。<br />
* [[竹山隆範]]（カンニング竹山） - テレビドラマ「[[TAROの塔]]」で小松左京役を演じた。<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{脚注ヘルプ}}<br />
=== 注釈 ===<br />
{{Reflist|group="注釈"}}<br />
=== 出典 ===<br />
{{Reflist|3}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
*{{Cite book|和書|author=[[石川喬司]]|date=1996-11|title=SFの時代 日本SFの胎動と展望|publisher=双葉社|series=双葉文庫 日本推理作家協会賞受賞作全集 36|isbn=4-575-65833-2|ref={{Harvid|石川|1996}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=小松左京|date=2008-02|title=小松左京自伝――実存をもとめて|publisher=日本経済新聞出版社|isbn=978-4-532-16653-3|url=http://www.nikkeibook.com/book_detail/16653/|ref={{Harvid|小松|2008}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=[[田原総一朗]]|others=[[矢崎泰久]] 構成|date=2004-11|title=僕はこうやってきた 初めて語る 自伝的仕事録|publisher=中経出版|isbn=4-8061-2102-9|page=126|url=http://www.chukei.co.jp/business/detail.php?id=9784806121022|ref={{Harvid|田原|矢崎|2004}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=[[矢崎泰久]]|date=2005-01|title=「話の特集」と仲間たち|publisher=新潮社|isbn=4-10-473601-5|ref={{Harvid|矢崎|2005}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=[[安田寿明]]|date=1977-03|title=マイ・コンピュータ入門 コンピュータはあなたにもつくれる|publisher=講談社|series=[[ブルーバックス]] 313|isbn=4-06-117913-6|ref={{Harvid|安田|1977}}}}<br />
*{{Cite book|和書|author=[[山田正紀]]|date=1977-05|title=継ぐのは誰か?|chapter=解説|series=角川文庫|publisher=角川書店|isbn=4-04-130813-5|ref={{Harvid|山田|1977}}}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<!--項目の50音順--><br />
*[[太陽風交点事件]]<br />
*[[プレートテクトニクス]]<br />
*[[文明の生態史観]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
{{ウィキポータルリンク|スペキュレイティブ・フィクション|[[画像:P sci-fi.png|34px|Project:スペキュレイティブ・フィクション]]}}<br />
* [https://web.archive.org/web/20061016044120/http://www.nacos.com/komatsu/ 小松左京ホームページ]（小松左京研究会）<br />
* [http://www.iocorp.co.jp/ 株式会社イオ・小松左京事務所]<br />
* [http://www.sacj.org/ 宇宙作家クラブ]<br />
* [http://www.webmysteries.jp/sf/azuma1001-1.html 東浩紀による小松左京論「小松左京と未来の問題」]（ウェブマガジン掲載の評論）<br />
* [http://aci.soken.ac.jp/databaselist/BC001_01.html 小松左京コーパス]<br />
* [http://sakyokomatsu.jp/greeting/ 小松左京ライブラリ]<br />
* [https://www.youtube.com/watch?v=A15t4dxHVlQ 自身が原作の「日本沈没」(1973年・東宝)にカメオ出演した際の映像]<br />
<br />
{{日本SF大賞|第6回}}<br />
{{星雲賞日本長編部門|第2・5・14・38回}}<br />
{{星雲賞日本短編部門|第4・7・9回}}<br />
{{Normdaten}}<br />
{{デフォルトソート:こまつ さきよう}}<br />
[[Category:小松左京|*]]<br />
[[Category:日本の小説家]]<br />
[[Category:日本のSF作家]]<br />
[[Category:日本の推理作家]]<br />
[[Category:日本推理作家協会賞受賞者]]<br />
[[Category:日本の漫画家]]<br />
[[Category:SF漫画家]]<br />
[[Category:城西国際大学の教員]]<br />
[[Category:大阪万博に関係した人物]]<br />
[[Category:花の万博]]<br />
[[Category:大阪市出身の人物]]<br />
[[Category:神戸市出身の人物]]<br />
[[Category:1931年生]]<br />
[[Category:2011年没]]<br />
[[Category:未来学]]<br />
[[Category:京都大学出身の人物]]</div>
133.86.227.82
マルチグリッド法
2018-05-02T11:04:36Z
<p>133.86.227.82: /* 参考文献 */</p>
<hr />
<div>'''マルチグリッド法'''は、複数階層で離散化を行うことにより、[[微分方程式]]を解くための[[数値解析|数値]][[アルゴリズム]]の一種である。間隔の異なる格子間での[[外挿|補外]]と考えることもできる。マルチグリッド法は、主に多次元の楕円型偏微分方程式の数値計算に用いられる。<br />
<br />
マルチグリッド法は任意の離散化手法と組み合わせることができ、現在知られているものの中でも最速な解法の一つである。他の手法と異なり、マルチグリッド法は任意の領域・[[境界条件]]を扱うことができる。これは微分方程式の性質（変数分離可能かどうか等）には依存しない。MG法は、[[弾性]]に関するラメの微分方程式や[[ナビエ・ストークス方程式]]などの、より複雑な非対称・非線形問題にもそのまま適用することができる。<br />
<br />
マルチグリッド法はさまざまな方法で一般化することができる。双曲型[[偏微分方程式]]の時間発展解や、時間依存型の偏微分方程式に適用することもできる。現在、双曲型方程式に関する研究が進められている。[[積分方程式]]や、[[統計力学]]上の問題への応用も可能である。<br />
<br />
一方、偏微分方程式や問題の物理的な性質を仮定しない場合にも、係数行列から多段階の階層を構成することができる。これを'''代数的マルチグリッド法'''といい、[[疎行列]]を対象としたブラックボックス型のソルバとして利用することができる。<br />
<br />
[[有限要素法]]は、線形な[[ウェーブレット]]を基底に選ぶことにより、マルチグリッド法になる。<br />
<br />
== アルゴリズム ==<br />
いろいろな手法があるが、多階層の離散化を行う点が特徴である。<br />
* '''緩和''' – [[ガウス・ザイデル法]]などを数反復実行して、誤差の高周波成分を減少させる<br />
* '''縮約''' – より間隔の粗い格子に対して、残差の[[サンプリング周波数変換|ダウンサンプリング]]を行う<br />
* '''補間''' – 粗い格子で計算した修正を細かい格子上に[[補間]]する<br />
<br />
== 収束率 ==<br />
この手法の利点は、計算に使用するプロセッサ数に比例して線形に性能が向上する点にある。つまり、問題のサイズに比例した計算量で、与えられた精度まで計算することができる。<br />
<br />
密度が<math>N_i</math>の格子<math>i</math>上で、微分方程式の近似解を（与えられた精度まで）求めることを考える。<math>K</math>を格子上での解の計算に関する定数、また隣り合う格子の密度の比<math>\rho = N_{j+1} / N_j < 1</math>は常に一定であるとする。格子<math>i+1</math>の解を用いて、格子<math>i</math>上での解が<math>W_i = \rho K N_i</math>の計算量で求められるとすると、<br />
:<math>W_k = W_{k+1} + \rho K N_k\, </math><br />
特に最も細かい格子<math>N_1</math>に関して<br />
:<math>W_1 = W_2 + \rho K N_1\, </math><br />
の関係が格子<math>k</math>上での計算量に関して成り立つ。これらと<math>N_{k} = \rho^{k-1} N_1</math>の関係から、<br />
:<math>W_1 = K N_1 \sum_{p=0}^n \rho^p </math><br />
が得られる。[[幾何級数]]を使えば、（有限の<math>n</math>について）<br />
:<math>W_1 < K N_1 \frac{1}{1 - \rho}</math><br />
なので、解は<math>O(N)</math>の計算時間で得られることが分かる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[数値解析]]<br />
* [[偏微分方程式]]<br />
* [[有限要素法]]<br />
* [[差分法]]<br />
* スペクトル法<br />
* 領域分割法<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* Achi Brandt: ''Multi-Level Adaptive Solutions to Boundary-Value Problems'', Math. Comp, vol.31(1977), pp.333-390 ([http://links.jstor.org/sici?sici=0025-5718%28197704%2931%3A138%3C333%3AMASTBP%3E2.0.CO%3B2-M jstor link]).<br />
* Wolfgang Hackbusch: ''Multi-Grid Methods and Applications'', Springer, ISBN 978-3-642-05722-9 (1985).<br />
* William L. Briggs, Van Emden Henson, and Steve F. McCormick: ''A Multigrid Tutorial, Second Edition'', SIAM, 2000 ([http://www.llnl.gov/casc/people/henson/mgtut/welcome.html book home page]), ISBN 0-89871-462-1 .<br />
<br />
{{偏微分方程式の数値解法}}<br />
{{DEFAULTSORT:まるちくりつとほう}}<br />
[[Category:数値解析]]<br />
[[Category:微分方程式]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
133.86.227.82
数値的安定性
2018-05-02T10:52:42Z
<p>133.86.227.82: /* 参考文献 */</p>
<hr />
<div>'''数値的安定性'''（すうちてきあんていせい、{{lang-en-short|numerical stability}}）は、[[数値解析]]における[[アルゴリズム]]の望ましい属性の1つ。「安定性」の正確な定義は文脈に依存するが、基本的にはアルゴリズムの正確性に関連する。<br />
<br />
ある計算を実施する方法がいくつか存在することがあり、それらは理想的な実数や複素数では代数学的に等価だが、デジタルコンピュータで実行すると結果に差異が生じる。ある計算方法は途中で生じる誤差を弱めるし、別の計算方法は誤差を拡大させる。誤差を拡大させない計算方法は「数値的に安定」であるという。数値解析では、堅牢なアルゴリズム、すなわち数値的安定性のよいアルゴリズムを選択することが重要である。<br />
<br />
== 例 ==<br />
不安定なアルゴリズムの例として、100個の数値の配列を加算するタスクを考える。話を単純化するため、使用するコンピュータは精度が2桁しかないとする（例えば、100以上の値を表すと、100、110、120 などと10単位でしか表せない）。<br />
<br />
最も単純な方法は、次のような擬似コードになる。<br />
<br />
sum = 0<br />
for i = 1 to 100 do<br />
sum = sum + a[i]<br />
end<br />
<br />
見たところ問題はなさそうだが、配列の最初の要素が 1.0 で、他の99個の要素は全て0.01だったとしよう。数学の問題として考えれば、答は1.99になるはずである。しかし、精度が2桁しかないコンピュータでは、まず 1.0 が sum に加算されると、それに 0.01 を加算しても精度未満なので何の影響も与えない。従って最終的に得られる答は 1.0 となる。これではあまりよい近似とは言えない。<br />
<br />
安定なアルゴリズムは、まず配列を要素の絶対値の昇順になるように[[ソート]]し、それから上記のコードを実行すればよい。そうするとゼロに近い小さい値を先に加算することになる。このようにすると、0.01 が先に加算されるので、0.99 となり、それに 1.0 を加算するので、結果は丸められて 2.0 になるだろう。近似としてはこちらの方がよい。<br />
<br />
== 前方安定性、後方安定性、混合安定性 ==<br />
安定性の定式化方法にはいくつかの種類がある。以下に述べる前方 (forward)、後方 (backward)、混合 (mixed) 安定性の定義は[[数値線形代数]]でよく使う。<br />
<br />
[[画像:Forward and backward error.svg|frame|前方誤差 &Delta;''y'' と後方誤差 &Delta;''x''、正確な解の写像 ''f'' と数値解 ''f''* の関係を示した図]]<br />
<br />
数値アルゴリズムで解くべき問題を[[関数 (数学)|関数]] ''f'' でデータ ''x'' から解 ''y'' への写像を得るという形にモデル化する。実際にアルゴリズムで得られる解を ''y''* とすると、一般に真の解 ''y'' とは逸脱している。[[誤差]]の主な原因は[[丸め]]誤差や離散化誤差、モデルの誤差などである。アルゴリズムの「前方誤差」とは、結果と真の解の差、すなわち &Delta;''y'' = ''y''* &minus; ''y'' である。「後方誤差」とは、''f''(''x'' + &Delta;''x'') = ''y''* となるような最小の &Delta;''x'' である。つまり後方誤差とは、我々が実際にはどういう問題を解いたのかを知らせてくれる値である。前方誤差と後方誤差は[[条件数]]で関連付けられている。前方誤差は、条件数のオーダーと後方誤差のオーダーを掛けたものを上限とする。<br />
<br />
多くの場合、絶対誤差 &Delta;''x'' よりも、以下のような「相対誤差」を考慮するほうが自然である。<br />
:<math> \frac{|\Delta x|}{|x|} </math><br />
<br />
アルゴリズムが「後方安定」であるとは、あらゆる入力 ''x'' について後方誤差が小さいことを意味する。もちろん「小さい」は相対的な言葉であり、その定義は文脈に依存する。多くの場合、[[マシンイプシロン]]と同程度か若干大きい程度の [[数量の比較|order of magnitude]] の誤差が望ましいとされる。<br />
<br />
[[画像:Mixed stability diagram.svg|thumb|混合誤差は、前方誤差と後方誤差の概念を組み合わせたものである。]]<br />
<br />
数値的安定性の定義としてより一般的に使われるのは「混合誤差」であり、前方誤差と後方誤差を組み合わせたものである。この場合、アルゴリズムが安定であるのは、近い問題の近似解を得るものである場合となる。すなわち、&Delta;''x'' と ''f''(''x'' + &Delta;''x'') &minus; ''y''* が共に小さいような &Delta;''x'' が存在する場合である。従って、後方安定なアルゴリズムは常に安定と言える。<br />
<br />
アルゴリズムが「前方安定」であるとは、前方誤差をその問題の条件数で割った値が小さい場合である。つまり、何らかの後方安定アルゴリズムと同程度の大きさの前方誤差の場合を前方安定と呼ぶ。<br />
<br />
== 数値微分方程式での安定性 ==<br />
上述の定義は、入力数値の離散化誤差を無視しても構わない状況に適したものである。[[微分方程式]]を数値的に解く場合はそうはいかず、数値的安定性の定義も異なる。<br />
<br />
[[常微分方程式]]を数値的に解く場合、様々な数値的安定性の概念があるが、その1つがA-安定性である。それらは[[リアプノフ安定]]のような[[力学系]]の安定性の概念と関連している。[[硬い方程式]]を解く場合、特に安定な手法を使うことが重要となる。<br />
<br />
[[偏微分方程式]]を数値的に解く場合は、安定性の定義はまた異なる。偏微分方程式を解くアルゴリズムは、ある時点の数値解がステップサイズをゼロに漸近させたときに大きく変化しないことを安定だという事もある。[[ラックスの等価定理]]によれば、アルゴリズムが一貫していて（ここでの意味で）安定していれば、そのアルゴリズムは収束する。安定性は[[数値拡散]] (numerical diffusion) などで達成されることもある。数値的拡散とは、計算時の丸め誤差などが蓄積されない性質を言う。<br />
また単純に解の任意のステップに対して、有界ならば、安定ともいう。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* Nicholas J. Higham, ''Accuracy and Stability of Numerical Algorithms'', Society of Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1996. ISBN 0-89871-355-2.<br />
* Wolfgang Hackbusch: ''The Concept of Stability in Numerical Mathematics'', Springer (2017).<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:すうちてきあんていせい}}<br />
<br />
[[Category:数値解析]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
133.86.227.82
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