Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-04-25T11:45:21Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
統計図表
2018-07-31T01:35:06Z
<p>122.249.241.218: /* 学校教育等における統計図表に関する指導 */ 新指導要領に準拠して内容の補足。</p>
<hr />
<div>{{独自研究|date=2010年9月}}<br />
{{WikipediaPage|ウィキペディアにおける表の作成方法については[[Help:表の作り方]]を、棒グラフの書き方については[[Help:棒グラフの書き方]]をご覧ください。}}<br />
<br />
'''統計図表'''（とうけいずひょう）とは、複数の[[統計]]データの整理・視覚化・[[分析]]・[[解析]]などに用いられるグラフ<ref name="hosaka">内田治『グラフ活用の技術 データの分析からプレゼンテーションまで』</ref><ref name="minamike">南川利雄『表とグラフの作り方』</ref><ref name="yamamoto">山本 義郎『レポート・プレゼンに強くなるグラフの表現術』（[[講談社現代新書]]）</ref><ref name="tohoku">[http://jikken.he.tohoku.ac.jp/ri/modules/tinyd4/index.php?id=3 東北大学 自然科学総合実験 グラフの書き方]</ref><ref name="guracon">http://www.pref.chiba.jp/syozoku/b_toukei/graph-con/gr_tsukurikata.html</ref><ref name="msomai">見延 庄士郎『理系のためのレポート論文完全ナビ』</ref><ref name="KD">『実験データを正しく扱うために』</ref><ref name="Yo">吉村忠与志『厳選例題Excelで解く問題解決のための科学計算入門』</ref><ref name="DC">David Carr Baird・加藤幸弘・千川道幸・近藤康『実験法入門』（ピアソンエデュケーション）</ref><ref name="JM"> Jane C. Miller『データのとり方とまとめ方―分析化学のための統計学とケモメトリックス』（共立出版）</ref><ref name="MS">http://office.microsoft.com/ja-jp/excel/HA012337371041.aspx?pid=CH100648751041</ref><ref name="Snaegino">http://www.hulinks.co.jp/support/kaleida/plot.html#01</ref><ref name="origin">http://www.lightstone.co.jp/products/origin/graphselect.htm</ref>および[[表]]{{要出典|date=2010年6月}}の総称である。ここで、グラフとは「[[図形]]を用いて視覚的に、複数の数量・標本資料の関係などを特徴付けたもの」を指す。この意味においてのグラフはしばしば「統計グラフ」と呼ばれる。<br />
<br />
統計図表は、統計データの整理・分析・[[検定]]などの過程で用いられる。統計図表を駆使することで<br />
* [[調査]]活動によって得られた数量（統計データ）の特徴（増減の傾向の型、集団の構成など）<br />
* 統計データ同士の関係（相関関係など）<br />
を視覚的に理解できる。<br />
<br />
== 概要 ==<br />
統計図表を適切に活用すれば<br />
* 統計データの特徴（増減など）をつかむ<br />
* 得られた統計データを系統だてて比較する<br />
など、現状把握や客観的判断を行ううえで大きな手助けとなる。統計図表を用いて、統計データの傾向などを把握することを「統計データの解釈」あるいは「資料解釈」という。<br />
<br />
どんなときにどんなグラフを用いるのがよいのだろうか？[[研究]]やそれに準じる調査活動において統計グラフを作成する必要がある局面は<br />
* [[実験ノート]]上などの一次的な記録物や計算紙などの上でのデータの簡易的な分析<br />
* [[実験]]・調査後に行う本格的なデータの分析<br />
* [[論文]]・講演のスライドなどの公表用の資料<br />
など様々な状況がありえるが、どのような場合においても、<br />
* 「何を分析するのか」「何を主張するのか」「何を検定するのか」といった目的意識（下記統計グラフで分かること参照）<br />
* 研究目的に照らして適切に取得・処理された統計データそのもの<br />
がなければ統計グラフの作成が不可能である。これについては「[[#統計図表を作る前に|統計図表を作る前に]]」で述べる。<br />
<br />
統計グラフの作成は[[方眼紙]]などを用いるのが基本だが、小中学校の教育の現場を除けば、最近では[[Excel]]などの[[表計算ソフト]]、場合によっては[[Origin]]や[[カレイダグラフ]]などの統計ソフトを用いるほうが多いと思われる。<br />
<br />
== 統計図表を作る前に ==<br />
統計図表の作成は、実験・[[社会調査]]・[[マーケティング]]などの調査活動におけるデータの整理・分析の一環として行われる。統計グラフの作成を、調査活動自体から切り離して考えるのは難しい。何を分析するのか、何を訴えるのかによって「適切なグラフは何か」が変わってくる。一般的な見地から「正しい統計グラフを作成するための目安」（一般的な精神のほか、「棒グラフを用いるのが適切な側面」のような事例分析）を示すこと自体は可能だが、馬鹿の一つ覚えは通用しない（[[データマイニング]]参照）。それぞれの場合に応じて、工夫をこらすだけの力をもつのが必要で、そのためにはよいといわれる論文などに掲載されている統計図表を、その論旨と照らし合わせながら吟味して、目を肥やす必要がある。<br />
<br />
また、統計データそのものがない状態で、あたかもそれがあるように偽ってグラフを作成して発表しまっては、少数の例外を除き[[捏造]]である<ref name="tyu1">グラフの使い方自体を議論・評価する場合には、架空のデータを用いることは問題ない。なお、特殊な例として科学的な[[予想]]をグラフ化する場合があり、その場合はデータが存在しないことはあり得る。下に詳述する。</ref>。あくまで統計グラフの作成は、データの加工手段の一つである。「目的や着眼点に沿って散在する情報を収集する」という過程なしには成立し得ない。さらに言えば、グラフ作成の前に、データ自体に何らかの統計処理を加える場合がある。データの取得・処理の妥当性については、グラフの選択やスケールなどの設定以前の問題だが、この段階で問題がある場合には、グラフ自体の価値はなくなる。ただし、データの取得・処理の妥当性についても、[[統計学]]特に[[実験計画法]]などの体系的な学問が存在するが、安易に可否を決められる問題ではない。<br />
<br />
先にも述べたように、グラフを作成する上では、<br />
* 「何を分析するのか」「何を主張するのか」「何を検定するのか」といった目的意識（下記統計グラフで分かること参照）<br />
* 研究目的に照らして適切に取得、処理された統計データそのもの<br />
を明確にしておく必要がある<ref name="yamamoto" /><ref name="guracon" />。<br />
たとえば「ここに全国の小学生それぞれの身長・体重・学年・学校を記したデータがあります。さぁ統計グラフを作ってください」といわれたとして、データとしては膨大であるにしても、これだけの“情報”では「どのようなグラフをどのように作成するのが適切か」を決めることはできない。つまり、<br />
* 使用するグラフの種類（円グラフにするのか、棒グラフにするのかなど）<br />
* 主要なパラメータの選択（棒グラフの場合は軸の設定、円グラフの場合には分類の設定、ヒストグラムの場合には階級の設定）<br />
* スケールの選択<br />
などが定まらない（「[[#統計グラフの種類と、グラフ選択の目安|統計グラフの種類と、グラフ選択の目安]]」参照）。たとえば<br />
* 身長のバラつき（ここでは敢えて、評価方法を特定しないために素朴なバラつきという言葉を用いる。）が見たい（普通はヒストグラムを使う）<br />
* 身長と体重の関係を見たい（普通は散分図を用いる）<br />
のように、同じデータを用いたとしても'''何を議論するのか'''によって適切なグラフは異なる。同じ「身長のバラつき」が見たいと言った場合でも<br />
* 小学2年生身長のバラつきが見たい（ヒストグラム）<br />
* 小学2年生身長のバラつきと、5年生の身長のばらつき具合を比較したい（2個のヒストグラムをスケールを統一して表示。あるいは、箱ひげ図を用いる）<br />
のように、スケールの選択や場合によってはグラフの選択さえ変わってくる。無論、複数の種類のグラフを選択し得る場合もある。なお、目的が明確になったとしても、'''どのような問題を論じるのにはどのようなグラフがよいのか'''について知らねば、どうにもならないが、これについては後述する。<br />
<br />
グラフ作成の下準備の過程は、概ね下記のとおりである<ref name="yamamoto" /><ref name="guracon" />。<br />
# 作成する統計グラフの主題を決める<br />
# 作成するグラフの主題に沿って必要と思われるデータを収集・整理する<br />
# データの取捨選択、主題の再検討<br />
# どのようなグラフを作成するのかを検討する<br />
# 実際に作成する<br />
より一般に、グラフを作成するという問題は「『主張すべき事柄』を論証するための素材をどのような素材を集め、それをどのように配置するか」という問題の一部である。統計グラフの作成までの具体的な手順は、人それぞれで状況次第ではあるが、どのような場合においても「どのようなデータからどのような知見を得ようとするのか」がある程度定まらなければ作成できない。そのため統計グラフ作成の手順は、[[研究]]の手順とほぼ同じで、概ね<br />
「目的や着眼点に沿って散在する情報を集約した後、それを整理・分析し、特徴・傾向を見出す」という過程を経る。当然の話だが、これらの各段階が適切に行われていることが、グラフ自体の適切・不適切を決める。<br />
<br />
== 統計グラフの種類と、グラフ選択の目安 ==<br />
統計グラフの分類は、人によって様々だが、よく使われるものから順に<br />
* [[散布図]]（「[[折れ線グラフ]]」を含む）<br />
* [[柱状グラフ]]（特に[[ヒストグラム]]）<br />
* [[円グラフ]]<br />
* [[箱ひげ図]]（場合によっては「エラーバー付き線グラフ」の一種とみなされる）<br />
などがある<ref name="yamamoto" /><ref name="guracon" /><ref name="MS" /><ref name="Snaegino" /><ref name="origin" />。これらそれぞれの説明は、それぞれの項目に委ねる。<br />
<br />
統計グラフ選択の目安を以下に示す。<ref name="hosaka" /><ref name="minamike" /><ref name="yamamoto" /><br />
* 2種類の系列からなるデータの相関 - 散布図<br />
* 3-4種類の系列からなるデータの比較 - [[等高線図]]、3次元等高線図（カラーチャート）（高次元の散布図の一種に分類されることがある）<br />
* 1種類の系列からなるデータの時間的推移（時間との相関）- 折れ線グラフ（散布図の一種に分類されることが多い）<br />
* 大きさの比較 - [[棒グラフ]]<br />
* 内訳や構成比を見る - [[円グラフ]]<br />
* ばらつきをみる - ヒストグラム（棒グラフの一種に分類されることが多い）・[[エラーバー付き線グラフ]]・箱ひげ図<br />
<br />
== 実証的な研究分野における統計図表の活用 ==<br />
[[自然科学]]、[[社会科学]]、[[人文科学]]を問わず、統計を根拠とした実証性が求められる研究分野では、データの整理・分析の一環として、統計図表を作成する局面が多数ある。具体的には、<br />
* [[実験ノート]]上などの一次的な記録物や計算紙などの上でのデータの簡易的な分析<br />
* 実験・調査後に行う本格的なデータの分析<br />
* 論文・講演のスライド等の公表用の資料<br />
など様々な状況がありえる。<br />
そして、いずれの分野においても、<br />
* 「何を分析するのか」「何を主張するのか」「何を検定するのか」といった目的意識<br />
* 研究目的に照らして適切に取得・処理された統計データそのもの<br />
といった場面が挙げられる。<br />
<br />
変量同士の相関を議論することが主となる場合には、実際に用いられるグラフのほとんどが散布図である。そのほか等高線図や2次元分布図等の広い意味でのカラーグラフ（[[平面|2D]]・[[立体|3D]]）、棒グラフである。棒グラフはヒストグラムの提示に用いられるのがほとんどである。3Dグラフは、正しく使えば値の3次元的な分布を正確かつ直感的に伝えることができるため、特に最近では、権威ある[[査読]]つき論文においてもよく使われている。[[箇条書き]]にすると、以下がよく使われる。<br />
* 二次元分布図（2D mapping,カラーマッピング）<ref>[http://www.lightstone.co.jp/products/origin/gg/contour/cont03.htm Originの等高線グラフ－XYZデータから作成した等高線]</ref>・等高線図およびその[[ラインプロファイル]]（断面プロファイル）<ref>[http://www.lightstone.co.jp/products/origin/gg/contour/cont05.htm Originの等高線グラフ－等高線プロファイル]</ref><br />
* 散布図・エラーバー付き散布図およびその[[回帰曲線]]<br />
* ヒストグラム<br />
<br />
統計処理に際し、本来的に「データは連続的な量として取得されているはず」という暗黙の前提があり、[[物理学]]・[[化学]]・[[工学]]・[[経済学]]・[[心理学]]問わず「変量同士の相関」を見るのが主な目的であるため、理想的には[[グラフ (関数)|関数グラフ]]のようなものを得たいという考えが暗にある。そのため圧倒的大多数において散布図を用いて<br />
* 2種類（あるいは3種類）のデータの相関を散布図にまとめる<br />
* そのデータに最もフィットし、現象論的にもっともらしい回帰曲線を描く（[[アレニウスの式|アレニウスプロット]]など）<br />
という処理が行われる。作成される散布図は、少数のデータから全体像を推測する場合には、「実際のデータの測定値」をそのまま散布図上に書き込むことが多い。データのラベルが離散的で、かつデータの量が充分多数で、そのデータの分布が[[正規分布]]に従っている場合には、ラベルごとの[[平均値]]のみをプロットし、それに適切なエラーバーをつける方法で作成されることが多い。<br />
<br />
コンピュータ技術の進展により、統計グラフと画像（写真）の区別が曖昧になってきているという傾向がある。デジタル化された画像は空間座標・色の2種類の系列からなる情報の相関関係を2次元的あるいは3次元的に示したある種のカラーグラフの一種でしかなく、実際カラーグラフとして作成された等高線図などと解像度や、数字の羅列としてのデータ自体のみからでは区別がつかない。<br />
<br />
初等教育の過程で重視される折れ線グラフは、[[ロードマップ]]などの未来技術予測などには多用されるものの、<br />
* [[自然科学]]特に物理学において時間的推移（時系列）とは「時間と測定結果の相関」に過ぎない<br />
* ExcelやOriginなど一部のグラフ作成機能を有するソフトウェアでは「散布図の各点を棒で結ぶ」という方法で折れ線グラフが作成できる<br />
* 特にExcelでは、仕様上折れ線グラフは「目盛り間隔は必ず等間隔」とされていて、ある特定の時間のデータが欠落した場合などに不自由するが、散布図として作成すればそのような問題が生じない<br />
などの理由から、ほとんどの場合は散布図にとってかわられている。<br />
<br />
=== データの存在しない場合 ===<br />
データのないグラフが描かれる場合もある。例えばある考えを主張する場合、それを説明するために、言葉で行うのが普通であるが、おそらくデータがあればこうなる、という形でグラフが活用されることがある。<br />
<br />
例えば[[島嶼生態学]]における[[種数平衡説]]は、[[海洋島]]における生物の種数を島へ新たに入植する種数と島で[[絶滅]]する種数の間の[[平衡]]によって決定されると論ずるが、前者については大陸からの距離が遠くなるほど低くなる、また後者は島が小さいほど高くなるということは容易に想像できる。これをグラフ化すれば、両者の曲線が中程の特定の点で交差し、そこがその島の種数の平衡点にあたることになるだろうことが容易に理解できる。この場合、実際にその曲線がどのような形であるかは実際の調査が必要であろうが、いずれにせよ右上がり、右下がりであれば議論が成立するので、グラフを作成することは虚偽にならない範囲でそれにわかりやすさをもたらす効果がある。<br />
<br />
== 学校教育等における統計図表に関する指導 ==<br />
最近では統計グラフの作成・解釈はノート作成、[[プレゼンテーション]]技術、文章技術などと並び、調査活動を行ううえで必要なアカデミックスキルの一つだと考えられるようになってきた。しかし、統計グラフの作成・解釈に関する系統だった指導は、あまりおこなわれていない。<br />
<br />
小学校における[[算数]]の時間では棒グラフや折れ線グラフ､ドットプロットの扱いを習い、中学校の[[数学]]では、単元「資料の整理」の中でヒストグラムや箱ひげ図について学習する。また､高等学校の[[数学]]の[[教科書]]には「統計」の項目があり、そこでも簡単に触れられる。また、小中高を通じて、[[地理 (科目)|地理]]の時間には、社会統計や[[等高線]]の扱いを[[白地図]]などを用いて学ぶ。小中高の[[理科]]の時間にも「実験データの整理」などという意味合いで教えられることがある。大学では、学生実験などにおいて実験ノート指導などと平行して指導される。<br />
<br />
[[公務員試験]]などでは「資料解釈」という科目として出題される。[[システムアドミニストレータ]]試験においても「状況に応じた適切なグラフ選択」の問題が出題される。また、[[品質管理]]などの現場で教育されることがあり、品質管理関係の教材には、グラフの選択などに対して詳しい検討を行っているものがある。<br />
<br />
== 過度な統計図表装飾の弊害? ==<br />
統計図表を用いればデータの直感的・客観的な扱いを両立させられる反面、用法・解釈を誤ることによって誤った印象を与えたり受けたりする可能性がある。<br />
<br />
また、特に最近話題になる問題として「同じデータを用いて議論しているはずなのに、正反対の解釈がとられ、論争が生じる」ということも起こり得る。ただ、このような誤った印象の大半は「2倍を4倍にみせかけるインチキ」のように子供だまし程度まじめに考えるには値しない全くくだらないものである。このような子供だましの弊害をあおりたてる質の低い文献が最近多数出されているが、このような瑣末な問題は<br />
* グラフから客観的に読み取れることは何か<br />
* どういう問題を分析したい時にはどういうグラフが有効なのか<br />
について正しく理解していれば、特段気に書けるほどの問題ではない。<br />
<br />
一方で、いわゆる[[有意性]]の問題のように、大変深く科学的論証の根幹にかかわるような有意義な議論となりえるものもあり、このような問題は、科学者の間でも見解が分かれることがある。この問題は、総じて言えば正しい用法・印象・判断とするのかという問題は、深く考えればきわめて難しい問題であり、場合によっては「増加しているのか否か」というような「客観的なはずの問題」自体が極めて微妙な判断を要する問題になることもある。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
{{Reflist}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[統計学]]<br />
* [[グラフ (関数)]]<br />
* [[グラフィックス]]<br />
* [[3次元コンピュータグラフィックス]]<br />
* [[グラフ作成ソフト]]<br />
* [[片対数グラフ]]<br />
* [[両対数グラフ]]<br />
* [[視覚化]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* [http://fooplot.com/ FooPlot] (英語）<br />
* [http://www.qtown.jp/ qtown（無料アンケートブログパーツ）]<br />
* [http://bm2.genes.nig.ac.jp/RGM2/index.php R graphics manual] フリーのグラフソフト[[R言語]]を用いた統計図表例を1万数千点紹介している<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:とうけいすひよう}}<br />
[[Category:グラフ|*]]<br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:コンピュータグラフィックス]]<br />
[[Category:アカデミックスキル]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
122.249.241.218
円 (数学)
2018-07-20T09:13:21Z
<p>122.249.241.218: /* 弦と弧 */</p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2015年9月}}<br />
[[数学]]において、'''円'''（えん）とは、[[平面]]（2次元[[ユークリッド空間]]）上の、定点 O からの距離が等しい[[点 (数学)|点]]の集合でできる[[曲線]]のことをいう。ここで現れる定点 O を円の'''中心'''と呼ぶ。円には、その中心が1つあり、また1つに限る。中心と円周上の 1 点を結ぶ[[線分]]を輻（や）とよび、その[[長さ]]を'''半径'''というが、現在では輻のことを含めて半径と呼ぶことが多い。中心が点 O である円を、円 O と呼ぶ。[[定幅図形]]の一つ。<br />
<br />
円が囲む部分、すなわち円の内部を含めて円ということもある。この場合は、曲線のことを'''[[円周]]'''という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには'''[[円板]]'''という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して、円形ということもある。<br />
<br />
数学以外の分野ではこの曲線のことを「'''丸'''（まる）」という俗称で呼称することがある。<br />
[[画像:円.png|thumb|right|円: 中心、半径・直径、円周]]<br />
<br />
== 円の性質 ==<br />
=== 弦と弧 ===<br />
円周と 2 点交わる直線を'''割線'''という。このときの交点を 2 点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを'''弦'''といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を'''中心線'''という。中心線は円の対称軸であり、円の面積を 2 等分する。円周が中心線から切り取る弦を、円の'''直径'''という。直径の長さは半径の 2 倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径の長さに対する比の値は、円に依らず一定であり、これを'''[[円周率]]'''という。特に断りのない限り、普通、円周率は [[π|{{π}}]] で表す。円の半径を ''r''(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2{{π}}''r'' で表される。また、円の[[面積]]は、{{π}}''r'' {{sup|2}} で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。（'''等周問題'''）<br />
[[画像:中心角と円周角.png|thumb|right|中心角と円周角]]<br />
一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を '''円弧''' (arc) または単に'''弧'''という。<br />
:2つの弧の長さが等しくないとき、長い方の弧を '''優弧''' (major arc)、短い方の弧を'''劣弧''' (minor arc) という。<br />
:2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を '''半円周''' という。このとき、割線は円の中心を通る中心線である。<br />
円周上の2点 A, B を両端とする弧を弧 AB と呼ぶ。記号では、⌒AB と表記する（記号 ⌒ は AB の上にかぶせて書くのが正しい）。これでは優弧・劣弧のどちらであるかを指定できていないデメリットがあり、一方を特定したい場合は、その弧上の点 P を用いて ⌒APB のように表記する。<br />
<br />
円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を'''扇形''' (sector) O-⌒AB という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む'''中心角'''という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは[[比例]]する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。<br />
<br />
弦 AB と弧 AB で囲まれた図形を'''弓形''' (segment) という。<br />
<br />
=== 中心角と円周角 ===<br />
弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する'''[[円周角]]'''という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい（'''円周角の定理'''）。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は[[直角]]である（'''直径を見込む円周角'''）。<br />
[[画像:円に内接する四角形.png|thumb|left|円と内接四角形]]<br />
円 O の周上に 4 点 A, B, C, D があるとき、[[四角形]] ABCD は円 O に'''内接する'''という（'''内接四角形'''）。このとき、円 O を四角形 ABCD の'''外接円'''という。四角形が円に内接するならば、四角形の対角の和は平角に等しい（'''内接四角形の定理'''）。円に内接する四角形の外角の大きさは、その'''内対角'''の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する（[[四点共円定理]]、内接四角形の定理）。<br />
{{-}}<br />
[[画像:接弦定理.png|thumb|right|接弦定理]]<br />
円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の'''[[接線]]''' (tangent) といい、共有点を'''接点'''という。円の中心と接点を結ぶ半径（'''接点半径'''）は、接線と接点で[[直交]]する。<br />
<br />
円の外部の点 A から円 O に2つの接線が描ける。この接点を S, T とすると、線分 AS, AT の長さを'''接線の長さ'''という。接線の長さは等しい。円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい（'''接弦定理'''）。すなわち、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB である。接弦定理は逆も成立する。<br />
<br />
円の[[接吻数]]は6である。これは当たり前のことだが、{{要出典範囲|完全な証明は[[1910年]]までできなかった。|date=2016年9月}}<br />
{{-}}<br />
<br />
== 2円の位置関係 ==<br />
[[画像:円の位置関係.png|thumb|半径が異なる2円の位置関係]]<br />
2つの円（円 A, 円 B とする）の位置関係は次の場合に分けられる。<br />
#円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を'''内包する'''という。とくに、中心の位置が一致するとき、この2円を'''同心円'''と呼ぶ。<br />
#円 A が円 B の周または内部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に'''内接する'''という。<br />
#2円が異なる2点を共有する場合 : 2円は2点で'''交わる'''という。この2点を結ぶ弦を'''共通弦'''という。<br />
#2円が互いの周または外部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に'''外接する'''という。<br />
#2円が互いの外部にあり、共有点がない場合 : 2円は'''離れている'''という。<br />
<br />
=== 共通接線 ===<br />
2つの円に共通する接線を'''共通接線'''という。特に、2円が共通接線に関して同じ側にあるとき'''共通外接線'''、異なる側にあるとき'''共通内接線'''という。<br />
<br />
上記の場合分けにおいて、描ける共通接線の個数は、<br />
#なし<br />
#共通外接線1本<br />
#共通外接線2本<br />
#共通内接線1本、共通外接線2本の計3本<br />
#共通内接線2本、共通外接線2本の計4本<br />
<br />
== 座標における方程式 ==<br />
[[デカルト座標]]で、点 (''a'', ''b'') を中心とする半径 ''r'' の円は、陰関数<br />
:<math>(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2</math>（'''標準形'''）<br />
で与えられる。特に中心が原点に等しい場合は<br />
:<math>x^2 +y^2 =r^2</math><br />
と表される。<br />
<br />
また、これを展開し整理すると<br />
:<math>x^2 +y^2 +lx+my+n=0</math>（'''一般形'''）<br />
の形である。<br />
<br />
この一般形においては、文字定数が ''l'', ''m'', ''n'' の3個である。そのため、円の中心と半径が与えられていない場合でも、任意の異なる3点（ただし同一直線上にない場合）が与えられれば、その3点を通る円の方程式を求めることができる。<br />
<br />
異なる3点を点 (''x{{sub|i}}'', ''y{{sub|i}}'') (''i'' = 1, 2, 3) とすると、[[行列式]]を用いて、<br />
:<math>\begin{vmatrix}<br />
x^2+y^2 &x &y &1\\<br />
{x_1}^2 +{y_1}^2 &x_1 &y_1 &1\\<br />
{x_2}^2 +{y_2}^2 &x_2 &y_2 &1\\<br />
{x_3}^2 +{y_3}^2 &x_3 &y_3 &1<br />
\end{vmatrix} =0</math><br />
と表すことができる。<br />
<br />
== 円の幾何学 ==<br />
[[三角形]]や円に関する事柄を扱う[[幾何学]]（相似や面積を用いない）は'''円論'''と呼ばれ、古来非常に深く研究されてきた。最も[[平面幾何学]]らしい幾何学とも呼ばれる。<br />
<br />
=== 九点円の定理 ===<br />
{{seealso|九点円}}<br />
三角形の<br />
:それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足（3つ）<br />
:辺の中点（3つ）<br />
:頂点と垂心を結んだ線分の中点（3つ）<br />
は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。<br />
<br />
=== 六点円の定理 ===<br />
{{seealso|六点円}}<br />
三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の二辺に下ろした、合計 6 個の垂線の足は、同一円周上にある、という定理。中学で習う円の性質だけで証明することができるが、かなり難解。<br />
<br />
=== パスカルの定理 ===<br />
{{See also|ブレーズ・パスカル}}<br />
円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。さらに拡張して、二次曲線上に異なる6つの点 P{{sub|1}}～P{{sub|6}} を取ると、直線 P{{sub|1}}P{{sub|2}} と P{{sub|4}}P{{sub|5}} の交点 Q{{sub|1}}、P{{sub|2}}P{{sub|3}} と P{{sub|5}}P{{sub|6}} の交点 Q{{sub|2}}、P{{sub|3}}P{{sub|4}} と P{{sub|6}}P{{sub|1}} の交点 Q{{sub|3}} は同一直線上にある。また、P{{sub|''i''}} における接線と P{{sub|''j''}} における接線の交点を R{{sub|''ij''}} とすると、3 直線 R{{sub|12}}R{{sub|45}}, R{{sub|23}}R{{sub|56}}, R{{sub|34}}R{{sub|61}} は1点で交わる。一番初めの、円に内接する六角形の証明は、うまく補助円を書くことで、円の性質と三角形の相似だけですることができる。<br />
<br />
=== フォイエルバッハの定理 ===<br />
三角形の'''内接円'''は、九点円に内接する。<br />
<!-- 証明は後になるほど難しい。最後のものは非常に難しい。--><br />
<br />
== 一般化 ==<br />
3 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合を球面という。内部を含めた球面を[[球]]という。一般に、''n'' を自然数とするとき、''n'' + 1 次元ユークリッド空間においてある点からの距離が一定であるような点の集合のことを、''n'' 次元球面といい、''S{{sup|n}}'' と書く。円は 1 次元球面である。<br />
<br />
2つの点（焦点と呼ばれる）からの距離の和が一定であるような点の軌跡を[[楕円]]という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である（このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる）。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを'''正円'''（せいえん）または'''真円'''（しんえん）と呼ぶことがある。<br />
<br />
== 拡幅円弧の長さ ==<br />
半径 ''R'' の円弧上の始点で幅 ''w''{{sub|1}}、終点で幅 ''w''{{sub|2}} の拡幅円弧の長さの計算<br />
*<math>L=R\theta</math><br />
*<math>k=\frac{w_2 -w_1}{L}</math><br />
とすると、<br />
:<math>dL=(R+w_1 +kR\theta )d\theta</math><br />
:<math>\begin{array}{rcl}<br />
Lw &= &\displaystyle (R+w_1 )\theta +\frac{1}{2} kR\theta^2 \\<br />
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{w_1}{R} +\frac{kL}{2R} \right\} \\<br />
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} ( w_1 +\frac{1}{2}kL)\right\} \\<br />
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \left( w_1 +\frac{1}{2} (w_2 -w_1 )\right) \right\} \\<br />
&= &\displaystyle L\left\{1+\frac{1}{R} \frac{w_1 + w_2}{2} \right\} \\<br />
&= &\displaystyle \left( R+\frac{w_1 +w_2}{2} \right) \theta<br />
\end{array}</math><br />
ゆえに、拡幅円の長さは、平均半径に中心角をかけたものとなる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
{{commons&cat|Circle geometry|Circle geometry}}<br />
*{{仮リンク|半円|en|Semicircle}}<br />
*[[単位円]]<br />
*[[楕円]]<br />
*[[球]]<br />
*[[球面]]<br />
*[[アルハゼンの定理]]<br />
*[[円周率]]<br />
*[[一角形]]<br />
*[[六万五千五百三十七角形]]<br />
*[[⌒]]<br />
*[[三角関数]] - 正円の三角関数との関係<br />
*[[ベジェ曲線]] - 正円のベジェ曲線による近似<br />
<br />
{{Normdaten}}<br />
{{DEFAULTSORT:えん}}<br />
[[Category:円 (数学)|*]]<br />
[[Category:円錐曲線]]<br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:幾何学]]<br />
[[Category:角度]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
122.249.241.218
柱体
2017-03-28T03:26:15Z
<p>122.249.241.218: /* 性質 */ 側面積に関する記述は、直中のみを対象としたものであることを明記した。</p>
<hr />
<div>'''柱体'''（ちゅうたい）とは、[[数学]]、特に[[幾何学]]において[[合同]]な二つの平面図形を底面として持つ筒状の空間図形のことである。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
三次元[[ユークリッド空間|空間]]内に[[平面]] ''P'' と、''P'' 上に自己交差を持たない[[曲線|閉曲線]]（単純閉曲線）''C'' が与えられているとする。さらに ''C'' 上の点を通り、''P'' に[[平行]]でない[[直線]] ''l'' を一つ選ぶ。<br />
<br />
''C'' 上の点を通り、''l'' に平行であるような空間直線の全体が描く軌跡、あるいはそれを互いに平行な二つの平面 &pi;<sub>1</sub>, &pi;<sub>2</sub>（ただし ''l'' とは平行でない）とで囲んでできる[[有界]]な立体図形を'''柱体'''と呼ぶ（以下「柱体」は後者の意味で用いる）。<br />
<br />
このとき、平面 &pi;<sub>1</sub> と平面 &pi;<sub>2</sub> との距離 ''h'' をこの柱体の'''高さ'''という。また、柱体とこの二つの平面のそれぞれとの共通部分をこの柱体の'''底面'''、そうでない面を'''側面'''という。定義から明らかだが柱体の底面の数は 2 つで、互いに平行である。<br />
<br />
さらに、底面と側面とが[[直交]]している柱体を'''直柱'''（あるいは直柱体）、そうでない柱体を'''斜柱'''（斜柱体）といって区別することがある。後述するように斜柱は適当な座標変換で直柱に変換することができる。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
* 柱体は中身の詰まった (solid) 閉じた空間図形で、その[[表面]]は[[閉曲面]]である。<br />
* [[体積]]が定義できるが、その値 ''V'' は'''底面積'''（底面の面積）を ''B''、高さを ''h'' としたとき、''V'' = ''Bh'' で与えられる。<br />
* 直柱の'''側面積'''（側面の面積）''S'' は、底面の周長を ''l'' としたとき、''S'' = ''lh'' で与えられる。<br />
<br />
== 標準化 ==<br />
柱体の表面は、適当に[[直交変換]]することによって、次のように[[媒介変数表示]]することができる。<br />
:<math><br />
\begin{cases}<br />
X = F_x(\theta), \\<br />
Y = F_y(\theta), \\<br />
Z = t.<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
またこのとき、この柱体の平面 ''Z'' = 0 への[[正射影]]は閉曲線 <br />
:<math><br />
C\colon \begin{cases}<br />
X = F_x(\theta), \\<br />
Y = F_y(\theta), \\<br />
Z = 0.<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
を描く。逆にこのような形で曲線 ''C'' が与えられたなら、''C'' の式において ''Z'' 座標の値を限定しなければ柱体を描くことがわかる。<br />
<br />
== 柱体の名称 ==<br />
柱体は底面の形状によってさらに固有の名称を与えられるものがある。"柱体名（底面の形状）" の形式でいくつか例示しよう：<br />
* [[角柱]]（底面：多角形、側面：四角形）<br />
** [[三角柱]]（三角形）<br />
** [[四角柱]]（四角形）- さらに特別なものとして[[直方体]]・[[立方体]]<br />
* [[反角柱]]（底面：多角形、側面：三角形）<br />
* [[円柱 (数学)|円柱]]（底面：円）<br />
<br />
他にも、底面が直線と曲線で構成される[[半円]]や[[扇形]]のものも想定される。<br />
<br />
==関連項目==<br />
* [[錐体]]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:ちゆうたい}}<br />
[[Category:初等数学]]<br />
[[Category:柱体・錐体|*ちゆうたい]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
122.249.241.218
扇形
2017-01-04T01:15:24Z
<p>122.249.241.218: </p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2016年5月}}<br />
[[ファイル:Circle arc.svg|right|250px|thumb|円から緑色の扇形を取り除いた図形も扇形である]]<br />
'''扇形'''（おうぎがた、{{lang-en-short|circular sector}}）は、平面[[図形]]の一つで、[[円 (数学)|円]]の2本の[[半径]]とその間にある[[円弧]]によって囲まれた図形である。2本の半径がなす[[角度|角]]を扇形の'''中心角'''という。中心角が {{math|180°}} のものは半円であり、円は中心角 {{math|360°}} の扇形と考えることもできる。円Oから、２本の半径OA,OBが切り取る扇形を扇形O-⌒ABと呼ぶ（⌒はABの上にかぶせて書くのが正しい）。<br />
<br />
円を異なる2本の半径で分割すると必ず2つの扇形ができ、それらの中心角の和は {{math|360°}} である。<br />
<br />
扇形の円弧（[[曲線]]部分）の長さ {{mvar|l}} は中心角の大きさに[[比例]]する。半径 {{mvar|r}} の円の円周の長さは {{math|2''&pi;r''}} であるので、中心角が {{mvar|&theta;}} の扇形の円弧の長さは<br />
:<math> l = 2 \pi r \times \frac{\theta}{2 \pi} = r \theta</math><br />
となる。<br />
<br />
同様に扇形の[[面積]] {{mvar|S}} も中心角の大きさに比例する。半径 {{mvar|r}} の円板の面積は {{math|''&pi;r''{{msup|2}}}} であるので、中心角が {{mvar|&theta;}} のとき<br />
:<math>S = \pi r^2 \times \frac {\theta}{2 \pi} = \frac{1}{2}r^2 \theta</math><br />
となる。また {{math|1=''&theta;'' = {{sfrac|''l''|''r''}}}} より<br />
:<math>S = \frac {1}{2} rl</math><br />
となる。<br />
<br />
[[円錐]]の[[展開図]]では[[側面]]にあたる部分は扇形になる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[円 (数学)]]<br />
* [[扇]]<br />
* [[円グラフ]]<br />
* [[扇形庫]]<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:おうきかた}}<br />
<br />
[[Category:円 (数学)]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
122.249.241.218
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