Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-05-21T22:15:51Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
同型定理
2017-06-16T20:24:12Z
<p>114.49.6.86: </p>
<hr />
<div>[[数学]]、特に[[抽象代数学]]において、'''同型定理''' (isomorphism theorems) は[[商]]、[[準同型]]、[[部分対象]]の間の関係を描く3つの[[定理]]である。定理のバージョンは[[群 (数学)|群]]、[[環 (数学)|環]]、[[ベクトル空間]]、[[環上の加群|加群]]、[[リー代数|リー環]]、そして様々な他の[[代数的構造]]に対して存在する。[[普遍代数学]]において、同型定理は代数と合同の文脈に一般化することができる。<br />
<br />
== 歴史 ==<br />
同型定理は加群の準同型に対して[[エミー・ネーター|Emmy Noether]]によって雑誌 [[Mathematische Annalen]] に 1927 年に掲載された彼女の論文 ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'' においていくらか一般的に定式化された。これらの定理のより一般的でないバージョンは [[リヒャルト・デーデキント|Richard Dedekind]] の仕事や Noether による前の論文において見つけられる。<br />
<br />
3年後、{{ill2|ファン・デル・ヴェルデン|label=B.L. van der Waerden|en|Bartel Leendert van der Waerden}} は彼の大きな影響を及ぼした ''Algebra''、主題への [[群 (数学)|群]]-[[環 (数学)|環]]-[[可換体|体]] アプローチをとった最初の[[抽象代数学]]の教科書を出版した。Van der Waerden は[[群論]]に関する Noether の講義と代数学に関する [[エミール・アルティン|Emil Artin]] の講義を、また {{ill2|ヴィルヘルム・ブラシュケ|en|Wilhelm Blaschke|label=Wilhelm Blaschke}}, {{ill2|オットー・シュライアー|en|Otto Schreier|lable=Otto Schreier}}, そして van der Waerden 自身によって行われた[[イデアル]]に関するセミナーを、主なリファレンスとして信用した。'''準同型定理'''と呼ばれる3つの同型定理と'''同型の2つの法則'''は群に適用されたとき明示的に現れる。<br />
<br />
== 群 ==<br />
まず[[群 (数学)|群]]の文脈において 3 つの同型定理を述べる。いくつかの文献では 2 番目と 3 番目が逆になっていることを注意する<ref>Jacobson (2009), p. 101, use "first" for the isomorphism of the modules {{math|(''S'' + ''T'')/''T'' and ''S''/(''S'' ∩ ''T'')}}, and "second" for {{math|(''M''/''T'')/(''S''/''T'') and ''M''/''S''}}.</ref>。ときどき lattice theorem が「第四同型定理」<ref>例えば {{MathWorld|urlname=FourthGroupIsomorphismTheorem|title=Fourth Group Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}, 環バージョン: {{MathWorld|urlname=FourthRingIsomorphismTheorem|title=Fourth Ring Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}</ref>あるいは「[[対応定理]]」と呼ばれる。<br />
<br />
=== 定理のステートメント ===<br />
====第一同型定理====<br />
{{mvar|G}} と {{mvar|H}} を群とし、{{math|''φ'': ''G'' → ''H''}} を[[群準同型]]とする。このとき<br />
# {{mvar|φ}} の[[核 (代数学)|核]]は {{mvar|G}} の[[正規部分群]]であり、<br />
# {{mvar|φ}} の[[像 (数学)|像]]は {{mvar|H}} の[[部分群]]であり、<br />
# {{mvar|φ}} の像は[[商群]] {{math|''G''/ker(''φ'')}} に[[群同型|同型]] である。<br />
とくに、{{mvar|φ}} が[[全射]]であれば、{{mvar|H}} は {{math|''G''/ker(''φ'')}} に同型である。<br />
<br />
====第二同型定理====<br />
{{mvar|G}} を群とする。{{mvar|S}} を {{mvar|G}} の部分群とし、{{mvar|N}} を {{mvar|G}} の正規部分群とする。このとき<br />
# {{仮リンク|群の部分集合の積|label=積|en|product of group subsets}} {{mvar|SN}} は {{mvar|G}} の部分群であり、<br />
# [[共通部分]] {{math|''S'' ∩ ''N''}} は {{mvar|S}} の正規部分群であり、<br />
# 商群 {{math|(''SN'')/''N''}} と {{math|''S''/(''S'' ∩ ''N'')}} は同型である。<br />
技術的には、{{mvar|S}} が {{mvar|N}} の[[正規化群]]の部分群でありさえすれば {{mvar|N}} のが正規部分群である必要はない。この場合、共通部分 {{math|''S'' ∩ ''N''}} は {{mvar|G}} の正規部分群とは限らないが、{{mvar|S}} の正規部分群ではなおある。<br />
<br />
====第三同型定理====<br />
{{mvar|G}} を群とする。{{mvar|N}} と {{mvar|K}} を {{mvar|G}} の正規部分群で {{math|''K'' &sube; ''N'' &sube; ''G''}} とする。このとき<br />
# 商 {{math|''N''/''K''}} は商 {{math|''G''/''K''}} の正規部分群であり、<br />
# 商群 {{math|(''G''/''K'')/(''N''/''K'')}} は {{math|''G''/''N''}} に同型である。<br />
<br />
=== 議論 ===<br />
{| align="right" style="text-align:center"<br />
|+ '''First isomorphism theorem'''<br />
|- style="padding:1em"<br />
| [[Image:First-isomorphism-theorem.svg]]<br />
|}<br />
第一同型定理は「[[群の圏]]が正規エピ&ndash;モノ分解可能、すなわち{{仮リンク|正規エピ射|en|normal morphism}}のクラスと[[モノ射]]のクラスはこの圏の{{ill2|射の分解|label=標準分解系|en|factorization system}} (factorization system) をなす」という[[圏論]]的事実に基づく。これは横の[[可換図式]]においてとらえられ、存在が射 {{math|''f'': ''G'' → ''H''}} から導かれる対象と射を示している。図式は群の圏においてすべての射が[[核 (圏論)|核]] を圏論的な意味でもつことを示している；任意の射 {{mvar|f}} は {{math|''ι'' ∘ ''π''}} に分解する、ただし {{mvar|ι}} はモノ射で {{mvar|π}} はエピ射である（余正規圏においてすべてのエピ射は正規である）。これは対象 {{math|ker ''f''}} とモノ射 {{math|''κ'': ker ''f'' → ''G''}} によって図式において表現されており（核は常にモノ射である）、図式の左下から右上に走る短[[完全列]]を完成させる。完全列を用いる慣習によって {{math|ker ''f''}} から {{mvar|H}} と {{math|''G''/ker ''f''}} への[[ゼロ射]]を描かなくて済む。<br />
<br />
列が右分裂であれば（すなわち {{math|''G''/ker ''f''}} をそれ自身の {{mvar|π}}-原像に写す射 {{mvar|σ}} が存在すれば）、{{mvar|G}} は正規部分群 {{math|im ''κ''}} と部分群 {{math|im ''σ''}} の[[半直積]]である。それが左分裂（すなわちある {{math|''ρ'': ''G'' → ker ''f''}} が存在して {{math|1=''ρ'' ∘ ''κ'' = id{{sub|ker''f''}}}}）であれば、右分裂でもなければならず、{{math|im ''κ'' × im ''σ''}} は {{mvar|G}} の[[群の直積|直積分解]]である。一般に、右分裂の存在は左分裂の存在を意味しないが、[[アーベル圏]]（例えばアーベル群全体）においては、左分裂と右分裂は[[分裂補題]]によって同値であり、右分裂は[[群の直和|直和分解]] {{math|im ''κ'' &oplus; im ''σ''}} を生み出すのに十分である。アーベル圏において、すべてのモノ射は正規でもあり、図式は2番目の短完全列 {{math|0 → ''G''/ker ''f'' → ''H'' → coker ''f'' → 0}} によって拡張できる。<br />
<br />
第二同型定理において、積 {{mvar|SN}} は {{mvar|G}} の{{仮リンク|部分群の束|en|lattice of subgroups}}における {{mvar|S}} と {{mvar|N}} の[[結び (数学)|結び]]であり、共通部分 {{math|''S'' ∩ ''N''}} は[[交わり (数学)|交わり]]である。<br />
<br />
第三同型定理は[[9項補題]]によって[[アーベル圏]]やより一般の対象の間の写像に一般化される。それはときどき略式的に "freshman theorem" と呼ばれる、なぜならば "freshman でさえわかるからだ： ''K'' たちをキャンセルアウトするだけでよい！"<br />
<br />
== 環 ==<br />
[[環 (数学)|環]]に対する定理のステートメントも同様であり、正規部分群の概念が[[イデアル]]の概念に取って代わる。<br />
<br />
===第一同型定理===<br />
{{mvar|R}} と {{mvar|S}} を環とし、{{math|''φ'': ''R'' → ''S''}} を[[環準同型]]とする。このとき<br />
# {{mvar|φ}} の[[核 (代数学)|核]]は {{mvar|R}} のイデアルであり、<br />
# {{mvar|φ}} の[[像 (数学)|像]]は {{mvar|S}} の[[部分環]]であり、<br />
# {{mvar|φ}} の像は[[商環]] {{math|''R''/ker(''φ'')}} に同型である。<br />
とくに、{{mvar|φ}} が[[全射]]であれば、{{mvar|S}} は {{math|''R''/ker(''φ'')}} に同型である。<br />
<br />
===第二同型定理===<br />
{{mvar|R}} を環とする。{{mvar|S}} を {{mvar|R}} の部分環とし、{{mvar|I}} を {{mvar|R}} のイデアルとする。このとき<br />
# 和 {{math|1=''S'' + ''I'' = {{mset|''s'' + ''i'' | ''s'' ∈ ''S'', ''i'' ∈ ''I''}}}} は {{mvar|R}} の部分環であり、<br />
# 共通部分 {{math|''S'' ∩ ''I''}} は {{mvar|S}} のイデアルであり、<br />
# 商環 {{math|(''S'' + ''I'')/''I''}} と {{math|''S''/(''S'' ∩ ''I'')}} は同型である。<br />
<br />
===第三同型定理===<br />
{{mvar|R}} を環とする。{{mvar|A}} と {{mvar|B}} を {{mvar|R}} のイデアルで {{math|''B'' &sube; ''A'' &sube; ''R''}} とする。このとき<br />
# 集合 {{math|''A''/''B''}} は商 {{math|''R''/''B''}} のイデアルであり、<br />
# 商環 {{math|(''R''/''B'')/(''A''/''B'')}} は {{math|''R''/''A''}} に同型である。<br />
<br />
== 加群 ==<br />
[[環上の加群|加群]]に対する同型定理のステートメントはとりわけ単純である、なぜならば任意の[[部分加群]]から[[商加群]]を構成することができるからである。[[ベクトル空間]]と[[アーベル群]]に対する同型定理はこれらの特別な場合である。ベクトル空間に対しては、これらの定理はすべて[[階数・退化次数の定理]] (rank-nullity theorem) から従う。<br />
<br />
以下の定理のすべてで、言葉「加群」は「{{mvar|R}}-加群」を意味する、ただし {{mvar|R}} はある固定された環。<br />
<br />
===第一同型定理===<br />
{{mvar|M}} と {{mvar|N}} を加群とし、{{math|''φ'': ''M'' → ''N''}} を準同型とする。このとき<br />
# {{mvar|φ}} の[[核 (代数学)|核]]は {{mvar|M}} の部分加群であり、<br />
# {{mvar|φ}} の[[像 (数学)|像]]は {{mvar|N}} の部分加群であり、<br />
# {{mvar|φ}} の像は[[商加群]] {{math|''M''/ker(''φ'')}} に同型である。<br />
とくに、{{mvar|φ}} が全射であれば、{{mvar|N}} は {{math|''M''/ker(''φ'')}} に同型である。<br />
<br />
===第二同型定理===<br />
{{mvar|M}} を加群とし、{{mvar|S}} と {{mvar|T}} を {{mvar|M}} の部分加群とする。このとき<br />
# 和 {{math|1=''S'' + ''T'' = {{mset|''s'' + ''t'' | ''s'' ∈ ''S'', ''t'' ∈ ''T''}}}} は {{mvar|M}} の部分加群であり、<br />
# 共通部分 {{math|''S'' ∩ ''T''}} は {{mvar|S}} の部分加群であり、<br />
# 商加群 {{math|(''S'' + ''T'')/''T''}} と {{math|''S''/(''S'' ∩ ''T'')}} は同型である。<br />
<br />
===第三同型定理===<br />
{{mvar|M}} を加群とする。{{mvar|S}} と {{mvar|T}} を {{mvar|M}} の部分加群で {{math|''T'' &sube; ''S'' &sube; ''M''}} とする。このとき<br />
# 商 {{math|''S''/''T''}} は商 {{math|''M''/''T''}} の部分加群であり、<br />
# 商 {{math|(''M''/''T'')/(''S''/''T'')}} は {{math|''M''/''S''}} に同型である。<br />
<!-- We also need to mention the isomorphism theorems for topological vector spaces, Banach algebras etc. --><br />
<br />
== 一般 ==<br />
これを[[普遍代数学]]に一般化するために、正規部分群は[[合同関係|合同]]で置き換えられる必要がある。<br />
<br />
[[普遍代数学|代数系]] {{mvar|A}} 上の'''合同''' (congruence) は成分ごとの演算構造を与えられた {{math|''A'' × ''A''}} の部分代数系である同値関係 {{math|Φ}} である。演算を表現を経由して定義することによって同値類の集合 {{math|''A''/Φ}} を同じタイプの代数系にできる。{{math|Φ}} は {{math|''A'' × ''A''}} の部分代数系だからこれは well-defined である。。<br />
<br />
=== 第一同型定理 ===<br />
{{math|''f'': ''A'' → ''B''}} を代数系の[[準同型]]とする。このとき {{mvar|f}} の像は {{mvar|B}} の部分代数系で、{{math|1=Φ: ''f''(''x'') = ''f''(''y'')}} で与えられる関係は {{mvar|A}} 上の合同で、代数系 {{math|''A''/Φ}} と {{math|im ''f''}} は同型である。<br />
<br />
=== 第二同型定理 ===<br />
代数系 {{mvar|A}} と {{mvar|A}} の部分代数系 {{mvar|B}} と、{{mvar|A}} 上の合同 {{math|Φ}} が与えられ、{{math|Φ{{sub|''B''}} {{coloneqq}} Φ ∩(''B'' × ''B'')}} を {{math|Φ}} の {{mvar|B}} におけるトレースとし {{math|1={{bracket|''B''}}{{sup|Φ}} {{coloneqq}} {{mset|''K'' ∈ ''A''/Φ | ''K'' ∩ ''B'' ≠ &empty;}}}} を {{mvar|B}} と交わる同値類の集まりとする。<br />
<br />
このとき<br />
# {{math|Φ{{sub|''B''}}}} は {{mvar|B}} 上の合同で、<br />
# {{math|{{bracket|''B''}}{{sup|Φ}}}} は {{math|''A''/Φ}} の部分代数系で、<br />
# 代数系 {{math|{{bracket|''B''}}{{sup|Φ}}}} は代数 {{math|''B''/Φ{{sub|''B''}}}} に同型である。<br />
<br />
=== 第三同型定理 ===<br />
{{mvar|A}} を代数系とし {{math2|Φ, Ψ}} を {{mvar|A}} 上の2つの合同関係で {{math|Ψ &sube; Φ}} とする。このとき <br />
# {{math|1=Φ/Ψ {{coloneqq}} {{mset|({{bracket|''a&prime;''}}{{sub|Ψ}}, {{bracket|''a&Prime;''}}{{sub|Ψ}}) | (''a&prime;'', ''a&Prime;'') ∈ Φ}} = {{bracket|}}{{sub|Ψ}} ∘ Φ ∘ {{bracket|}}{{subsup||Ψ|&minus;1}}}} は {{math|''A''/Ψ}} の合同で、<br />
# {{math|''A''/Φ}} は {{math|(''A''/Ψ)/(Φ/Ψ)}} に同型である。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* {{ill2|ツァッセンハウスの補題|en|Butterfly lemma}}（蝶の補題, 胡蝶補題）: 第四同型定理 (the fourth isomorphism theorem) と呼ばれることもある<br />
* [[対応定理]]: 第四同型定理と呼ばれることもある<br />
* [[分裂補題]]: 第一同型定理の分裂列に対する精密化<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
<references/><br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* [[Emmy Noether]], ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'', [[Mathematische Annalen]] '''96''' (1927) p.&nbsp;26-61<br />
* Colin McLarty, 'Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors' in ''The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy'' (edited by [[:en:Jeremy Gray|Jeremy Gray]] and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) p.&nbsp;211–35.<br />
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| date=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 2 | series= | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47187-7}}<br />
* Paul M. Cohn, ''Universal algebra'', Chapter II.3 p.57<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{planetmath reference|id=1114|title=First isomorphism theorem}}. {{planetmath reference|id=2922|title=Proof of first isomorphism theorem}}<br />
* {{planetmath reference|id=1334|title=Second isomorphism theorem}}. {{planetmath reference|id=3153|title=Proof of second isomorphism theorem}}<br />
* {{planetmath reference|id=1126|title=Third isomorphism theorem}}. {{planetmath reference|id=7496|title=Proof of third isomorphism theorem}}<br />
* {{MathWorld|urlname=FirstGroupIsomorphismTheorem|title=First Group Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}<br />
* {{MathWorld|urlname=SecondGroupIsomorphismTheorem|title=Second Group Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}<br />
* {{MathWorld|urlname=ThirdGroupIsomorphismTheorem|title=Third Group Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}<br />
* {{MathWorld|urlname=FirstRingIsomorphismTheorem|title=First Ring Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}<br />
* {{MathWorld|urlname=SecondRingIsomorphismTheorem|title=Second Ring Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}<br />
* {{MathWorld|urlname=ThirdRingIsomorphismTheorem|title=Third Ring Isomorphism Theorem|author=Hutzler, Nick}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:とうけいていり}}<br />
[[Category:同型定理]]<br />
[[Category:抽象代数学]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
114.49.6.86
Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46