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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-06-03T19:23:44Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
五次方程式
2017-01-26T15:37:41Z
<p>42.147.152.168: </p>
<hr />
<div>'''五次方程式'''（'''ごじほうていしき'''、[[英語]]：quintic equation）とは、次数が5であるような[[代数方程式]]のこと。<br />
<br />
==概要==<br />
[[代数学の基本定理]]によれば、任意の[[複素数]]係数方程式は複素数の中に'''根が存在する'''が、しかしながら5次以上の方程式には一般には''代数的解法''は必ずしも'''存在しない'''。すなわち、一般の五次方程式に対して''代数的な'''''根の公式は存在しない'''。もう少し詳しく書くと、5次の一般方程式の根を、その式の各項の係数と[[有理数]]の、''有限回''の[[四則演算]]及び''有限回''の[[根号]]をとる操作の組み合わせで表示することはできない。<br />
<br />
これは[[パオロ・ルフィニ|ルフィニ]]、[[ニールス・アーベル|アーベル]]らによって示され、また[[エヴァリスト・ガロア|ガロア]]によって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている（[[ガロア理論]]参照）。<br />
<br />
なお、代数的ではないが、[[楕円関数]]などを用いた根の公式は存在する。<br />
<br />
==解の公式==<br />
5次方程式の解を超越的な手続を許して構成する方法としては、<br />
* レベル5のモジュラー方程式の解を利用する方法<br />
* 超幾何級数を利用する方法<br />
の2つが知られている。<br />
前者は[[シャルル・エルミート|エルミート]]によって、後者は[[フェリックス・クライン|クライン]]によって証明された<ref>F.クライン、正20面体と5次方程式改訂新版、シュプリンガー・ジャパン、2005、ISBN 978-4-431-71118-6.</ref><ref>F.Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of the Fifth Degree (''English translation''), Cosimo Inc., 2007, ISBN 978-1-602-06306-8.</ref>。<br />
<br />
===エルミートによる解法===<br />
5次方程式の解を構成するためには、まず、次の3つの事実を知っておかねばならない。<br />
<br />
*任意の5次方程式は代数的操作のみによってブリング-ジェラード({{lang|en|Bring-Jerrard}})の標準形に変形できる。<br />
*レベル5のモジュラー方程式の解が具体的に求められる。<br />
*それらの解のある特定のコンビネーションが5次方程式を満足し、ブリング-ジェラードの標準形と関係付けることができる。<br />
<br />
これらを結合することで5次方程式の解を構成することができる<ref name="umemura">梅村浩著、楕円関数論、東京大学出版会、2000年、ISBN 4-13-061303-0</ref>。<br />
<br />
===ブリング-ジェラードの標準形===<br />
任意の5次方程式<br />
:<math>x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 =0</math><br />
は{{仮リンク|チルンハウス変換|en|Tschirnhaus transformation}}<br />
:<math>y=x^4 + b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0</math><br />
において適当に係数 ''b<sub>j</sub>'' を選ぶことによって、ブリング-ジェラードの標準形<br />
:<math>y^5 + y + b = 0</math><br />
へ変換することが可能であるので、まず、この形へ帰着させる。この手続は代数的に実行可能であるが ''b<sub>j</sub>'' は ''a<sub>l</sub>'' の複雑な関数である。<br />
<br />
===レベル5のモジュラー方程式===<br />
複素トーラスの周期をそれぞれ ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub> として、τ を<br />
:<math>\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}</math><br />
で定義する。ただし、''τ'' は純虚数と仮定する。また、<br />
:<math>q=e^{i\pi \tau}</math><br />
と定義する<ref>τ や ''q'' を楕円テータ関数で定義する方法もある。ただし、本や論文によって楕円テータ関数の定義が異なることがあるので注意する必要がある。</ref>。この時 ''q'' と ''q<sup>n</sup>'' が満足する関係式、または同値だが τ と ''n''τ とが満たすべき関係式のことを「'''レベル ''n'' のモジュラー方程式'''」と言う。この方程式は次の形をとる<ref>G.H.Hardy, Ramanujan---Twelve lectures<br />
on subjects suggested by his life and work(reprint), AMS Chelsy Publishing, 1999, ISBN 0-8218-2023-0, p.214.</ref>。<br />
:<math>\frac{L'}{L} = n \frac{K'}{K}.</math><br />
ただし、''K'', ''L'' はそれぞれ母数が ''k'', ''l'' の第1種完全[[楕円積分]]、''K''´, ''L''´ はそれぞれ母数が <math>k':=\sqrt{1-k^2}</math><ref>すなわち ''k''´ は ''k'' の補母数である。</ref>、<math>l':=\sqrt{1 - l^2}</math> の第1種完全楕円積分を表す<ref>これ以外でも楕円テータ関数の双線形形式による表現方法もある。</ref>。この方程式によって、2つの母数 ''k'', ''l'' が満たすべき方程式が決まる。''n'' = 5 のとき τ と 5τ は次の関係式を満足することが分かっている。<br />
:<math>F\left[-\sqrt[4]{\kappa(5 \tau)}, \sqrt[4]{\kappa(\tau)}\right] = 0,\quad<br />
F(x,y)=x^6 - y^6 + 5 x^2 y^2 (x^2 - y^2) - 4 x y (x^4 y^4 - 1)=0,</math><br />
ただし、κ(τ) は母数を表す。また、この式の証明の途中で次の2つの命題が証明される。<br />
*<math>K=\mathbb{Q}[\sqrt[4]{\kappa}(\tau)]</math> と定義すると、<math>F[x,\sqrt[4]{\kappa}(\omega)]\in\mathbb{Q}[\sqrt[4]{\kappa}(\omega)][x] = K[x]</math> は <math>K</math> 上で既約である。<br />
*この方程式の解が <math>\alpha_{\infty}=-\sqrt[4]{\kappa(5\tau)},\quad<br />
\alpha_{l}=\sqrt[4]{\kappa\left(\frac{\tau + 16 l}{5}\right)}\quad l\in\{1,2,3,4\}<br />
</math><br />
で与えられる<ref name="umemura"></ref>。<br />
<br />
===解の構成===<br />
今、<br />
:<math>\begin{align}<br />
r_0 &=(\alpha_\infty - \alpha_0)(\alpha_1 - \alpha_4)(\alpha_2 - \alpha_3)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)\\<br />
r_1 &=(\alpha_\infty - \alpha_1)(\alpha_2 - \alpha_0)(\alpha_3 - \alpha_4)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)\\<br />
r_2 &=(\alpha_\infty - \alpha_2)(\alpha_1 - \alpha_3)(\alpha_0 - \alpha_4)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)\\<br />
r_3 &=(\alpha_\infty - \alpha_3)(\alpha_2 - \alpha_4)(\alpha_1 - \alpha_0)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)\\<br />
r_4 &=(\alpha_\infty - \alpha_4)(\alpha_0 - \alpha_3)(\alpha_1 - \alpha_2)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)<br />
\end{align}</math><br />
と定義すると、''r<sub>i</sub>'' は <math>\;K(\sqrt{5\,})\;</math> 上の方程式<br />
:<math>x^5 - 2^4 \cdot 5^3 \kappa^2 (1 - \kappa^2)^2 x - 2^6 \cdot 5^{\frac{5}{2}} \kappa^2 (1 - \kappa^2)^2 (1 + \kappa^2) = 0</math><br />
の解であることが証明できる<ref>[[シャルル・エルミート|エルミート]]によって証明された。</ref>。この式とブリング-ジェラードの標準形とを結合することで5次方程式の解が構成できる。具体的には、<br />
:<math>b=-{\rm{i}} \frac{2(1 + \kappa^2)}{5^{\frac{5}{4}}\sqrt{\kappa(1-\kappa^2)}}</math><br />
の変換で互いに移り変わる。これより、複素数 κ(τ) は、4次方程式を解くことで決定できる。''r''<sub>''i''</sub> を決定するには、この他に τ そのものの値も必要であるので、残されている手続はパラメータ τ の決定である。そして、この部分が超越的操作を含んでいる。κ(τ) と τ とは、楕円曲線 ''C''<br />
: <math>y^2 = (1 - x^2)(1 - \kappa^2 x^2)</math><br />
上の第1種積分<br />
: <math>\xi = \frac{dx}{y} =\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - \kappa^2 x^2)}}</math><br />
の周期の比、すなわち完全楕円積分<br />
: <math>K(\kappa)=\int^1_0\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2 )(1 - \kappa^2 x^2)}},\quad<br />
K'=\int^{\frac{1}{\kappa}}_1\frac{{dx}{\sqrt{(1 - x^2 )(1 - {\kappa'}^2 x^2)}}}\quad,\kappa'=\sqrt{1 - \kappa^2}</math><br />
を用いて、<br />
:<math>\tau = \frac{{\rm{i}} K'}{K}</math><br />
の関係で結ばれている。これが κ(τ) から τ を決定する式である。この式は代数的には解けないが、この方程式を満足する τ を ''r<sub>i</sub>'' に代入して5次方程式の解が得られる。<br />
<br />
===限定的な代数的解法===<br />
一般式が代数的に解けないということは、上記に示したとおりであるが、特定の5次方程式がどのような場合に解けるかは分かっている。[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]が3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、<br />
: <math>x=(\alpha_1+\zeta\alpha_2+\zeta^2\alpha_3+\zeta^3\alpha_4+\zeta^4\alpha_5)^5</math> (ただし &zeta; は1の原始5乗根)<br />
の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する。<br />
<br />
そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは[[1861年]]に[[アーサー・ケイリー]]が与えたものが最良となる。<br />
: <math>x=(\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_3\alpha_4+\alpha_4\alpha_5+\alpha_5\alpha_1-\alpha_1\alpha_3-\alpha_2\alpha_4-\alpha_3\alpha_5-\alpha_4\alpha_1-\alpha_5\alpha_2)^2</math><br />
この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが5次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。<br />
<br />
四則演算と通常の冪根をとることに加えて{{仮リンク|超冪根|en|ultraradical}}（すなわち既約な方程式 {{math|''x''<sup>5</sup> + ''x'' - ''a'' {{=}} 0}} の唯一の実根）をとる操作も「代数的操作」として許容した場合、この拡張された意味において一般五次方程式が「代数的に」解けることが知られている。<br />
<br />
==脚注==<br />
<references/><br />
<br />
==関連項目==<br />
*[[アーベル-ルフィニの定理]]<br />
*[[ガロア理論]]<br />
*[[群論]]（可解群）<br />
*[[ヤコビの虚数変換式]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* [http://www.freewebs.com/brianjs/quinticequationcalculator.htm Quintic Equation Calculator]（英語、xの係数を入力すると解を算出してくれる）<br />
{{代数方程式}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:こしほうていしき}}<br />
[[Category:代数方程式]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
{{math-stub}}</div>
42.147.152.168
展開型ゲーム
2017-01-24T14:51:17Z
<p>42.147.152.168: /* 情報分割 */</p>
<hr />
<div>'''展開型ゲーム'''(てんかいがたげーむ、{{lang-en-short|game for extensive form}})とは、ゲームの表現形式のひとつであり、ゲームの木と呼ばれる[[グラフ理論#グラフとは|グラフ]]の形式で表現されたものである。ゲームの表現形式には展開型と[[標準型ゲーム|標準型（または戦略型）]]と[[特性関数型ゲーム|特性関数型（または提携型）]]の3種がある。ある[[非協力ゲーム]]は展開型でも標準型でも表現できるが、展開型の方が情報量が多い。特性関数型は特に[[協力ゲーム]]の表現に使われる<ref name="数学辞典">日本数学会「岩波数学辞典-第3版」岩波書店(1985/12)</ref><ref name="岡田章">岡田章「ゲーム理論」有斐閣（1997/01）{{要ページ番号|date=2016-5-30}}</ref><ref name="佐々木宏夫">佐々木宏夫「入門ゲーム理論―戦略的思考の科学」日本評論社（2003/03）{{要ページ番号|date=2016-5-30}}</ref><ref name="武藤滋夫">武藤滋夫「ゲーム理論入門」日本経済新聞社（2001/01）{{要ページ番号|date=2016-5-30}}</ref>。<br />
<br />
展開型ゲームは、ゲームの木、プレイヤー分割、偶然手番の確率分布族、情報分割、利得関数の5つの要素で記述できる。<br />
<br />
==ゲームの木==<br />
ゲームの木は点で示されるノードと2点を結ぶ有向線分である枝とから成る。ノードは状態とも呼ばれ、ゲームのひとつの局面を表す。枝は一人のプレイヤーの意志または偶然による選択により、あるノードから別のノードへ遷移できることを示すもので選択肢(alternative)とも呼ばれる。ノードは分岐点と頂点に分けられる。頂点はそこから枝が出ていないノード、すなわちゲームが終了した局面を示す点であり、各プレイヤーの'''利得(pay off)'''が与えられている。利得は'''利得関数'''とも呼ばれ、プレイヤーの数だけの成分数を持つ[[ベクトル量]]として表せる。分岐点は頂点以外のノードであり、'''手番(move)'''とも呼ばれる。各手番では一人のプレイヤーの意志または偶然により、その手番から出ている選択肢のひとつが選択されてその先の手番に遷移する。偶然により選択がなされる手番を'''偶然手番'''と呼ぶ。またプレイヤー甲の意志で選択がなされる手番を甲の手番と呼ぶ。'''プレイヤー分割'''とは手番の集合を各プレイヤーの手番に分割したものである。'''偶然手番の確率分布族'''とは偶然手番での確率分布を定めたものである。そこに遷移する選択肢がひとつもない分岐点を底点と呼び、これはゲームの初期状態、つまり出発局面である。<br />
<br />
以下に「[[奇数偶数ゲーム]]」（MorraまたはOdd-or-evenと呼ばれる）を例としてゲームの木を示す。これは、双方が偶数か奇数のどちらかを示し、示された数の和が偶数ならAの勝ちで奇数ならBの勝ちとするゲームである（外部リンクの英語版wikipedia参照）。<br />
<gallery><br />
画像:Gametree_Odd_Even_1.PNG|図1A.不完全情報ゲームの木の例。点線で囲んだものが情報集合のひとつ。<br />
画像:Gamematrix_Odd_Even_1.PNG|図1B.図1Aの標準型表現。同時手番ゲームの例。<br />
画像:Gametree_Odd_Even_2.PNG|図2A.完全情報ゲームの木の例。<br />
画像:Gamematrix_Odd_Even_2.PNG|図2B.図2Aの標準型表現。Bの戦略はAの第1手に対応して4通り。Bの第2戦略は必勝戦略である。<br />
</gallery><br />
<br />
===例示===<br />
各局面が、枝を選択するプレイヤー(偶然も含む)の他にどのようなもので定まるかの具体例をいくつか挙げる。[[チェス]]や[[ダイヤモンドゲーム]]、[[連珠]]、[[オセロ (遊戯)|オセロ]]などでは各局面は盤面の各位置の駒の種類（空白も含む）で完全に定まる。[[将棋]]ではさらに各プレイヤーの持ち駒も含めれば完全に定まる。チェスや将棋では頂点は詰みや[[ステイルメイト]]の局面であり、そこでの各プレイヤーの利得は例えば勝者が+1で敗者が-1と表せる。オセロでは頂点は盤面全てに石が置かれた局面であり、利得は盤面にある各プレイヤーの駒（石）の個数である。[[碁]]では利得は、いわゆる地の数である。[[カードゲーム]]では各プレイヤーの手札と獲得した札、および場に晒されている場札および山札で局面が定まる。例えば[[コントラクトブリッジ]]や[[ホイスト]]では頂点は各プレイヤーの手札が無くなった局面であり、そこでの利得はそれまでに取ったトリック数である。カードゲームの利得には他にも、各プレイヤーが獲得していた札の枚数や点数、獲得した札の組み合わせで定まる点数などルールにより多様なものがある。<br />
<br />
==情報分割==<br />
情報分割(information partition)とは手番の集合を情報集合(information set)に分割したものである。プレイヤー甲の情報集合とは甲の手番から成る集合であり、ひとつの情報集合の中のある手番に居るとき、甲はその情報集合の中のどの手番に居るのかを知ることができない。<br />
<br />
例えば多くのカードゲームでは各プレイヤーは自分の手札と場札しか知ることができず、他のプレイヤーの手札と山札は知ることができない。つまり自分がプレイしようとする時に、現在の局面はある複数の局面の中のどれかひとつであることしかわからない。このとき、自分の手札と場札はわかるが他の札の状態はわからないので、現在の局面には知らない札の組み合わせの数だけの可能性がある。これらの可能な局面つまり手番の全ての集合が情報集合になる。チェスなど多くのボードゲームのように自分の手番の状態を全て知ることができるゲームは、全ての情報集合がただひとつの手番を持つゲームと定義でき、このようなゲームを'''[[完全情報ゲーム]](Game with perfect information)'''と呼ぶ。完全情報ゲームではないゲームを'''不完全情報ゲーム(Game with imperfect information)'''という。麻雀、七並べ、大富豪、ＵＮＯなどは相手の手札が見えないので不完全情報ゲームである。<br />
<br />
===同時手番ゲーム===<br />
[[ジャンケン]]のように各プレイヤーが同時に指すゲームを同時手番ゲームと呼ぶが、これは各プレイヤーが順番に指すが全員が指し終えるまでは他のプレイヤーの指し手が隠されている不完全情報ゲームと同値である。先に例示した「奇数偶数ゲーム」も同時手番ゲームの例である。<br />
<br />
===完全記憶ゲーム===<br />
全プレイヤーが自分の過去の選択肢を全て記憶しているゲームを完全記憶ゲーム(Game with perfect recall)と呼ぶ。完全情報ゲームは完全記憶ゲームである。完全記憶であり不完全情報であるゲームの木の例を図3に示す。また不完全記憶ゲームの木の例を図4に示す。図4のプレイヤーAのように一手前の記憶を喪失するプレイヤーは想像しにくいが、例えばプレイヤーAを2名のチームと考え、手番と手番では別のチーム員が指しチーム員同士は情報交換ができないとすれば、現実的な一例となる。<br />
<gallery><br />
画像:Gametree_Odd_Even_3.PNG|図3.完全記憶で不完全情報なゲームの木の例。<br />
画像:Gametree_Odd_Even_4.PNG|図4.不完全記憶ゲームの木の例。同種破線で囲まれた手番は同じ情報集合に属する。<br />
</gallery><br />
<br />
===完備情報ゲーム===<br />
[[完備情報]]ゲーム(Game with complete information)という言葉もあり、これは全プレイヤーがゲームのルールすなわちゲームの木の全体像を知っているゲームである。現実の戦争や経済行為のゲームはほとんどが完備情報ゲームではない、すなわち不完備情報ゲーム(Game with imcomplete information)である。しかし不完備情報ゲームは、情報が不明な部分を偶然手番に置き換えることにより、完備情報ゲームとして表現し解析することができる。<br />
<br />
==展開型ゲームと標準型ゲーム==<br />
標準型ゲームは戦略型ゲームと呼ばれることもあり、各プレイヤーの選択肢の組合わせに対応した利得で表される。例えば「奇数偶数ゲーム」では各プレイヤーの選択肢は偶数か奇数かの2つであり４通りの組み合わせの利得を標準型で表すと図1Bのようになる。ここで一方のプレイヤーが先に選択肢を選び、他方のプレイヤーは何が選択されたかを知らずに自分の選択肢を選ぶと考えると展開型の表現になる。後手の手番での情報集合は2つの分岐点を含んでおり、このゲームは不完全情報ゲームだとわかる。標準型ゲームでの各プレイヤーの選択肢を純戦略と呼ぶ。単に戦略と言うと、各純戦略にそれを選択する確率を与えたものを指す。「奇数偶数ゲーム」の例では例えば、偶数を60%の確率で奇数を40%の確率で出す、というのがひとつの戦略の例である。ゲーム理論の初期の主要な課題は、標準型ゲームでの戦略と平均的利得の関係の解析であり、利得表がわかっていることが前提であった。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
<references /><br />
<br />
==関連項目==<br />
*[[ゲーム理論]]<br />
<br />
==外部リンク==<br />
*[[:en:Morra_%28game%29|Morra モラ（奇数か偶数か）と呼ばれる西洋で広く知られている指を使ったじゃんけんに似た遊び]]<br />
<br />
{{ゲーム理論}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:てんかいかた けえむ}}<br />
[[Category:ゲーム理論]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
42.147.152.168
Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46