Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-06-01T05:44:45Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
アーラン分布
2018-01-01T09:56:33Z
<p>116.0.251.181: </p>
<hr />
<div>{{確率分布 |<br />
name =アーラン分布|<br />
type =密度|<br />
pdf_image =[[Image:Erlang_dist_pdf.svg|325px|Probability density plots of Erlang distributions]]|<br />
cdf_image =[[Image:Erlang_dist_cdf.svg|325px|Cumulative distribution plots of Erlang distributions]]|<br />
parameters =<math>k \geqq 1</math> [[:en:shape parameter|形状]]母数 ([[自然数]])<br /><math>\mu > 0</math> [[:en:scale parameter|尺度]]母数 ([[実数]])<br />または、<math>\lambda = \frac{1}{\mu} > 0</math> 比 (実数)|<br />
support =<math>x \in [0, \infty)</math>|<br />
pdf =<math>\frac{1}{(k-1)!\,\mu^k} x^{k-1} e^{-x/\mu}</math><br /><math>= \frac{\lambda^k}{(k-1)!}x^{k-1} e^{-\lambda x}</math>|<br />
cdf =<math>1 - e^{-x/\mu}\sum_{n=0}^{k-1} \frac{1}{n!}\left(\frac{x}{\mu}\right)^{n}</math><br /><math>= 1 - e^{-\lambda x}\sum_{n=0}^{k-1} \frac{(\lambda x)^{n}}{n!}</math>|<br />
mean =<math>k \mu = \frac{k}{\lambda}</math>|<br />
mode =<math>(k-1)\mu = \frac{k-1}{\lambda}\ \text{ for }k \geqq 1</math> |<br />
variance =<math>k \mu^2 = \frac{k}{\lambda^2}</math>|<br />
median =単純な閉形式を持たない|<br />
skewness =<math>\frac{2}{\sqrt{k}}</math>|<br />
kurtosis =<math>\frac{6}{k}</math>|<br />
entropy =<math>k + \ln\mu + \sum_{n=1}^{k-1} \ln n + (1 - k)\psi(k)</math><br /><math>= k - \ln\lambda + \sum_{n=1}^{k-1} \ln n + (1 - k)\psi(k)</math>|<br />
mgf =<math>\frac{1}{(1 - \mu\, t)^k} = \left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^{k}</math><br / ><math>\text{ for } t < \frac{1}{\mu} = \lambda</math>|<br />
char =<math>\frac{1}{(1 - i\,\mu\, t)^k} = \left(\frac{\lambda}{\lambda - it}\right)^{k}</math>|<br />
}}<br />
'''アーラン分布'''（アーランぶんぷ、{{lang-en-short|Erlang distribution}}）は、[[待ち行列]]の待ち時間を計算するために[[デンマーク]]の[[数学者]][[アグナー・アーラン|アーラン]]が提唱した[[確率分布]]であり、特に[[通信トラヒック工学|通信トラフィック工学]]で使われる。<br />
<br />
== 定義と性質 ==<br />
アーラン分布は2つのパラメータ ''k''（正の[[整数]]）及び ''μ''（正の[[実数]]）によって定まり、その[[確率密度関数]]は次のように定義される。<br />
<br />
{{Indent|<math>f(x; k, \mu) = \frac{1}{(k - 1)!\,\mu^k} x^{k - 1} e^{-x/\mu}<br />
\ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0</math>}}<br />
<br />
等価な定義として、パラメータ ''μ'' = 1/''λ'' を用いて次のように表されることもある。<br />
<br />
{{Indent|<math>f(x; k, \lambda) = \frac{\lambda^k}{(k - 1)!} x^{k - 1} e^{-\lambda x}<br />
\ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0</math>}}<br />
<br />
アーラン分布の累積分布関数は、以下のように求められる。<br />
<br />
{{Indent|<math>\begin{align}<br />
F(x) &= \int_{0}^{x}f(t; k, \mu) dt = 1 - e^{-x/\mu}\sum_{n=0}^{k-1} \frac{1}{n!}\left(\frac{x}{\mu}\right)^{n} \\<br />
&= \int_{0}^{x}f(t; k, \lambda) dt = 1 - e^{-\lambda x}\sum_{n=0}^{k-1} \frac{(\lambda x)^{n}}{n!}<br />
\end{align}</math>}}<br />
<br />
定義より（あるいは後述する指数確率変数を用いた解釈により）期待値 ''E''(''X'') および分散 ''V''(''X'') は以下のようになる。<br />
<br />
{{Indent|<math>E(X) = k\mu = \frac{k}{\lambda},\,\,\,V(X) = k\mu^{2} = \frac{k}{\lambda^{2}}</math>}}<br />
<br />
== 他の分布との関係 ==<br />
;ガンマ分布との関係<br />
定義より、アーラン分布は[[ガンマ分布]]で形状母数 ''k'' を正の[[整数]]に限定したものといえる。また、[[相型分布]]の特別な場合でもある。<br />
<br />
;指数分布の和との関係<br />
アーラン分布は、互いに独立で同一の[[指数分布]]に従う[[確率変数]]の和を用いて解釈することができる。すなわち、互いに独立でパラメータ ''λ'' の指数分布に従う ''n'' 個の確率変数<math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math>に対して、その和で表される確率変数<math>S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n</math>はパラメータ ''λ'', ''n'' のアーラン分布に従う。''n'' = 1 の場合は、明らかに指数分布に一致する。<br />
<br />
;ポアソン分布との関係<br />
''S''<sub>''n''</sub> をパラメータ ''λ'' および ''n'' のアーラン分布に従う連続確率変数とし、''N''(''t'') をパラメータ ''λt''（ただし ''t'' > 0）の[[ポアソン分布]]に従う離散確率変数とすると、両者の間には<br />
<br />
{{Indent|<math>P(S_n \leq t) = P(N(t) \geq n)</math>}}<br />
<br />
なる関係が成立する。これはアーラン分布の累積分布関数の形から明らかであるが、指数分布を用いた説明も可能である。すなわち、互いに独立で同一の指数分布に従う時間間隔で生起する事象列を観測するとき、''S''<sub>''n''</sub> は ''n'' 回目の事象が生起した時点であり、''N''(''t'') は時点 ''t'' までに生起した事象の数を意味する。「''n'' 回目の事象が生起した時点が ''t'' 以前である」という事象は、「時点 ''t'' までに少なくとも ''n'' 回の事象が起きている」という事象と等しいため、この等式が成立する。<br />
<br />
==関連項目==<br />
* [[確率分布]]<br />
* [[待ち行列]]<br />
* [[ガンマ分布]]<br />
* [[ポアソン分布]]<br />
<br />
{{確率分布一覧|連続確率分布}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:あらんふんふ}}<br />
[[Category:確率分布]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
[[Category:エポニム]]</div>
116.0.251.181
ガンマ分布
2017-10-30T14:05:20Z
<p>116.0.251.181: </p>
<hr />
<div>{{出典の明記|date=2016年10月}}<br />
{{確率分布|<br />
name =ガンマ分布|<br />
type =密度|<br />
pdf_image =[[Image:Gamma distribution pdf.svg|325px|Probability density plots of gamma distributions]]|<br />
cdf_image =[[Image:Gamma distribution cdf.svg|325px|Cumulative distribution plots of gamma distributions]]|<br />
parameters =<math>k > 0</math> [[:en:shape parameter|形状]]母数<br /><math>\theta > 0</math> [[:en:scale parameter|尺度]]母数<br />または、<math>\lambda = \frac{1}{\theta} > 0</math> 比|<br />
support =<math>x \in [0,\infty)</math>|<br />
pdf =<math>\frac{1}{\Gamma(k)\,\theta^k}x^{k-1}e^{-x/\theta} = \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)}x^{k-1}e^{-\lambda x}</math>|<br />
cdf =<math>\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{\Gamma(k)}</math>|<br />
mean =<math>k \theta = \frac{k}{\lambda}</math>|<br />
median =単純な閉形式を持たない|<br />
mode =<math>(k-1)\theta = \frac{k-1}{\lambda}\ \text{ for }k \geqq 1</math>|<br />
variance =<math>k\theta^2 = \frac{k}{\lambda^2}</math>|<br />
skewness =<math>\frac{2}{\sqrt{k}}</math>|<br />
kurtosis =<math>\frac{6}{k}</math>|<br />
entropy =<math>k + \ln\theta+\ln\Gamma(k) + (1-k)\psi(k)</math><br /><math>= k - \ln\lambda+\ln\Gamma(k) + (1-k)\psi(k)</math>|<br />
mgf =<math>\frac{1}{(1 - \theta\,t)^k} = \left ( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right )^k</math><br /><math>\text{ for }t < \frac{1}{\theta} = \lambda</math>|<br />
char =<math>\frac{1}{(1 - i \, \theta\, t)^k} = \left ( \frac{\lambda}{\lambda - it} \right )^k</math>|<br />
}}<br />
<br />
[[確率論]]および[[統計学]]において、'''ガンマ分布''' (ガンマぶんぷ、{{lang-en-short|gamma distribution}}) は[[連続確率分布]]の一種である。その性質は形状母数 ''k''、尺度母数 ''θ'' の2つのパラメータ で特徴づけられる。主に信頼性工学における電子部品の寿命分布や通信工学におけるトラフィックの待ち時間分布に応用される。また所得分布にも応用される。<br />
<br />
<br />
==定義と性質==<br />
ガンマ分布は、[[確率密度関数]]が[[形状母数]] ''k'' > 0、[[尺度母数]] ''θ'' > 0 を用いて<br />
<br />
{{Indent|<math>f(x) = \frac{1}{\Gamma(k)\,\theta^k} x^{k-1} e^{- x/\theta}<br />
\ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0</math>}}<br />
<br />
で定義される分布である。ここで、Γ(''k'') は[[ガンマ関数]]である。<br />
<br />
等価な定義として、パラメータ ''λ'' = 1/''θ'' を用いて次のように表されることもある。<br />
<br />
{{Indent|<math>f(x) = \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k-1} e^{- \lambda x}<br />
\ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0</math>}}<br />
<br />
このとき、ガンマ分布の[[累積分布関数]]は次のように表される。<br />
<br />
{{Indent|<math> F(x) = \int_0^x f(u)\,du <br />
= \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{\Gamma(k)}</math>}}<br />
<br />
ここで γ は[[不完全ガンマ関数]]である。<br />
<br />
===平均・分散===<br />
ガンマ分布の[[確率変数]]を ''X'' とするとき、[[平均]] ''E''(''X'') および[[分散 (確率論)|分散]] ''V''(''X'') は次のように表される。<br />
:<math>E(X) = k\theta = \frac{k}{\lambda}</math><br />
:<math>V(X) = k\theta^2 = \frac{k}{\lambda^2}</math><br />
<br />
===特性関数===<br />
ガンマ分布の[[確率変数]]を ''X'' とするとき、[[特性関数]] ''φ<sub>X</sub>''(''t'') は<br />
{{Indent|<math>\phi_{X}(t) = E(e^{iXt}) = \frac{1}{(1 - i\,\theta\,t)^k} = \left ( \frac{\lambda}{\lambda - it} \right )^k</math>}}<br />
で与えられる。<br />
<br />
これはパラメータ(平均) ''θ'' とする[[指数分布]]の特性関数を ''k'' 乗したものに一致する。このことは、特に ''k'' を整数としたときに、パラメータ ''θ'' の[[指数分布]]に従う ''k'' 個の確率変数が独立であるとき、その和が形状母数 ''k''、尺度母数 ''θ'' のガンマ分布に従うことを表している。<br />
<br />
===再生性===<br />
ガンマ分布は[[再生性]]を有する。すなわち、パラメータに形状母数 ''k''<sub>1</sub> と尺度母数 ''θ'' を持つガンマ分布の確率変数を ''X''<sub>1</sub>、パラメータに形状母数 ''k''<sub>2</sub> と尺度母数 ''θ'' を持つガンマ分布の確率変数を ''X''<sub>2</sub> とするとき、確率変数の和 ''X''<sub>1</sub> + ''X''<sub>2</sub> は、形状母数 ''k''<sub>1</sub> + ''k''<sub>2</sub>、尺度母数 ''θ'' のガンマ分布に従う。<br />
<br />
==他の分布との関係==<br />
以下の分布はガンマ分布の特別な場合である。<br />
;指数分布<br />
:特に ''k'' = 1 である場合、このガンマ分布は尺度母数（平均値）を ''θ'' とする[[指数分布]]に帰着する。<br />
<br />
;アーラン分布<br />
:''k'' が[[整数]]である場合、このガンマ分布は[[アーラン分布]]に帰着する。また、尺度母数（平均値）に ''θ'' を持つ互いに独立な ''n'' 個の指数分布の和は、パラメータに形状母数 ''n'' と尺度母数 ''θ'' を持つガンマ分布（アーラン分布）となる。<br />
<br />
;カイ二乗分布<br />
:''k'' = ''n''/2 (''n'' = 1,2,...) かつ ''θ'' = 2 である場合、ガンマ分布は自由度 ''n'' の[[カイ二乗分布]]に帰着する。<br />
<br />
==関連項目==<br />
* [[確率分布]]<br />
* [[指数分布]]<br />
* [[アーラン分布]]<br />
* [[カイ二乗分布]]<br />
* {{仮リンク|一般化ガンマ分布|en|Generalized gamma distribution}}<br />
<br />
{{確率分布一覧|連続確率分布}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:かんまふんふ}}<br />
[[Category:確率分布]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
116.0.251.181
Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46