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https:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=114.49.1.14 2024-06-01T16:42:07Z 利用者の投稿記録 MediaWiki 1.31.0 2017-12-29T05:55:48Z

<p>114.49.1.14: /* 正多面体群 */ 実質rv: 初等幾何の文脈なら抽象群で十分で,多様体構造(i.e.リー群)は必要ない, 対称性は回転のみではない, etc.</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;正多面体&#039;&#039;&#039;（せいためんたい、regular [[倍数接頭辞|poly]]&lt;nowiki /&gt;hedron）、または&#039;&#039;&#039;プラトンの立体&#039;&#039;&#039;（プラトンのりったい、Platonic solid）とは、すべての面が同一の[[正多角形]]で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと。正多面体には[[正四面体]]、[[正六面体]]、[[正八面体]]、[[正十二面体]]、[[正二十面体]]の五種類がある。<br /> <br /> 三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が先に示した五種類のみであることが証明できる。このことは、オイラーの多面体公式からも証明できる。しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる（参照:[[星型正多面体]]、[[ねじれ正多面体]]、[[平面充填|正平面充填形]]）。正多面体の構成面を正 &#039;&#039;p&#039;&#039; 角形、頂点に集まる面の数を &#039;&#039;q&#039;&#039; として {&#039;&#039;p&#039;&#039;, &#039;&#039;q&#039;&#039;} のように表すことができる。これを[[シュレーフリ記号]]という。シュレーフリ記号は[[半正多面体]]（別名：[[アルキメデス]]の立体）にも拡張することができる。<br /> <br /> ==一覧==<br /> 正多面体の[[表面積]]、[[体積]]は一辺を &#039;&#039;a&#039;&#039; とすれば、概略下記となる。<br /> {| class = &quot;wikitable sortable&quot; border=&quot;1&quot; cellspacing=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;5&quot; style=&quot;text-align:center;&quot;<br /> |-bgcolor=&quot;#EEEEEE&quot;<br /> ! 名前と図<br /> ! 構成面<br /> ! 辺<br /> ! 頂点<br /> ! シュレーフリ記号<br /> ! 表面積とその概数<br /> ! 体積とその概数<br /> |-<br /> | &#039;&#039;&#039;[[正四面体]]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;[[Image:120px-Tetrahedron-slowturn.gif]]<br /> | [[正三角形]]<br /> | 6<br /> | 4<br /> | {3,3}<br /> |&lt;math&gt;\sqrt{3}a^2&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\simeq 1.732a^2&lt;/math&gt;<br /> |&lt;math&gt;{\sqrt{2}\over12}a^3&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\simeq 0.118a^3&lt;/math&gt;<br /> |-<br /> | &#039;&#039;&#039;[[正六面体]]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;[[Image:120px-Hexahedron-slowturn.gif]]<br /> | [[正方形]]<br /> | 12<br /> | 8<br /> | {4,3}<br /> |&lt;math&gt;6a^2\,&lt;/math&gt;<br /> |&lt;math&gt;a^3\,&lt;/math&gt;<br /> |-<br /> | &#039;&#039;&#039;[[正八面体]]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;[[Image:120px-Octahedron-slowturn.gif]]<br /> | [[正三角形]]<br /> | 12<br /> | 6<br /> | {3,4}<br /> |&lt;math&gt;2\sqrt{3}a^2&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\simeq 3.464a^2&lt;/math&gt;<br /> |&lt;math&gt;{\sqrt{2}\over3}a^3&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\simeq 0.471a^3&lt;/math&gt;<br /> |-<br /> | &#039;&#039;&#039;[[正十二面体]]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;[[Image:120px-Dodecahedron-slowturn.gif]]<br /> | [[正五角形]]<br /> | 30<br /> | 20<br /> | {5,3}<br /> |&lt;math&gt;3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\simeq 20.65a^2&lt;/math&gt;<br /> |&lt;math&gt;{15+7\sqrt5\over4}a^3&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\simeq 7.663a^3&lt;/math&gt;<br /> |-<br /> | &#039;&#039;&#039;[[正二十面体]]&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;[[Image:120px-Icosahedron-slowturn.gif]]<br /> | [[正三角形]]<br /> | 30<br /> | 12<br /> | {3,5}<br /> |&lt;math&gt;5\sqrt3a^2&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\simeq 8.660a^2&lt;/math&gt;<br /> |&lt;math&gt;{5\over12}(3+\sqrt5)a^3&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\simeq 2.182a^3&lt;/math&gt;<br /> |}<br /> <br /> ==双対==<br /> 正多面体は、適切に頂点を選ぶことで別の正多面体を作ることができる。<br /> 代表的なものは各面の中心を結ぶという操作で、<br /> *正二十面体 &amp;harr; 正十二面体<br /> *正六面体 &amp;harr; 正八面体<br /> *正四面体 &amp;harr; 正四面体<br /> の様に作ることが出来る。これらの関係を[[双対多面体|双対]]という。このうち正四面体は正四面体自身になる（自己双対）。<br /> <br /> ほかには、<br /> *正六面体の1つおきの頂点 &amp;rarr; 正四面体<br /> *正十二面体の適当な頂点 &amp;rarr; 正四面体、正六面体<br /> *正四面体の各辺の中点 &amp;rarr; 正八面体<br /> *正八面体の各辺を[[黄金分割]]して結ぶ &amp;rarr; 正二十面体<br /> などがある。<br /> <br /> この他、[[星型正多面体]]というものもある。<br /> <br /> == 正多面体群 ==<br /> {{main|{{ill2|多面体群|en|Polyhedral group}}}}<br /> {{seealso|en:Regular_polyhedron#Symmetry}}<br /> 正多面体の{{ill2|対称性の群|en|symmerty group}}を&#039;&#039;&#039;（正）多面体群&#039;&#039;&#039;という。すなわち、多面体群は各正多面体上の{{ill2|対称変換|en|Symmetry (geometry)}}&amp;mdash;その正多面体を保存する[[ユークリッドの運動群|運動]]&amp;mdash;全体の成す[[群論#変換群|変換群]]である。<br /> <br /> == 外部リンク ==<br /> *[http://woodenpolyhedra.web.fc2.com/making.pdf 正多面体の作り方]<br /> <br /> == 関連項目 ==<br /> {{Commons|Platonic solid}}<br /> *[[正多角形]]<br /> *[[正多胞体]]<br /> <br /> {{多面体}}<br /> <br /> {{DEFAULTSORT:せいためんたい}}<br /> <br /> [[Category:正多面体|*]]<br /> [[Category:回転対称性]]<br /> [[Category:数学に関する記事]]</div>

114.49.1.14
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