Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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miniwiki - 利用者の投稿記録 [ja]
2024-06-26T12:51:08Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
オイラーの公式
2018-08-05T12:48:55Z
<p>106.181.213.70: /* 2階線形微分方程式による証明 */</p>
<hr />
<div>[[Image:Euler's formula.svg|thumb|right|オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、{{mvar|&phi;}} は複素数 {{math|''e<sup>i&phi;</sup>''}} の偏角である。]]<br />
[[数学]]、特に[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''（オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}}）は、[[指数関数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ以下の関係をいう。<br />
:<math>e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.</math><br />
ここで {{math|''e''<sup>'''&middot;'''</sup>}} は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos '''&middot;''', sin '''&middot;'''}} はそれぞれ余弦関数および正弦関数である<ref group="注">指数関数 {{math|''e''<sup>'''&middot;'''</sup>}} は[[冪乗|累乗]]を拡張したもので、複素数 {{math|''x'', ''y''}} について {{math|''e''<sup>''x''</sup>&thinsp;&times;&thinsp;e<sup>''y''</sup> {{=}} e<sup>''x''+''y''</sup>}} という関係が成り立つ。{{math|''e'' {{=}} ''e''<sup>1</sup> {{=}} 2.718281828...}} は'''自然対数の底'''あるいは'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。<br />虚数単位 {{mvar|i}} は {{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} ''i''&thinsp;&times;&thinsp;''i'' {{=}} &minus;1}} を満たす複素数である。<br />余弦関数 {{math|cos&thinsp;'''&middot;'''}} および正弦関数 {{math|sin&thinsp;'''&middot;'''}} は三角関数の一種である。正弦関数 {{math|sin&thinsp;''&theta;''}} は、[[直角三角形]]の[[斜辺]]とその三角形の変数 {{mvar|&theta;}} に対応する角度を持つ[[鋭角]]の[[対辺]]（正弦）の長さの比を表す。余弦関数 {{math|cos&thinsp;''&theta;''}} はもう一方の鋭角（余角）の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円（半径の長さを 1 とする円）の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す {{math|''x'', ''y''}} 座標はそれぞれ {{math|cos&thinsp;''&theta;'', sin&thinsp;''&theta;''}} に等しい（{{mvar|&theta;}} は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、{{mvar|x}} 軸のなす角の大きさに対応する）。<br />文献によっては、指数関数は、{{en|<u>exp</u>onent}}（指数）から3字取って {{math|exp&thinsp;''x'' ({{=}} ''e''<sup>''x''</sup>)}} と表される。また虚数単位には {{mvar|i}} でなく {{mvar|j}} を用いることがある。</ref>。任意の[[複素数]] {{mvar|&theta;}} に対して成り立つ等式であるが、特に {{mvar|&theta;}} が実数である場合が重要でありよく使われる。{{mvar|&theta;}} が[[実数]]のとき、{{mvar|&theta;}} は[[複素数]] {{math|''e''<sup>''i&theta;''</sup>}} がなす[[複素平面]]上の[[複素数#極形式|偏角]]（角度 {{mvar|&theta;}} の単位は[[ラジアン]]）に対応する。<br />
<br />
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]] ([[:en:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]) に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]] ([[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]]) とされる。コーツは[[1714年]]に<br />
<br />
:<math> \log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \ </math><br />
<br />
を発見した<ref name="Stillwell">{{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002 | url = http://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref>が、三角関数の周期性による対数関数の[[多価性]]を見逃した。<br />
<br />
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった<ref name="Stillwell"/>。<br />
<br />
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、[[電気工学]]・[[物理学]]などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者の[[リチャード・ファインマン]]はこの公式を評して''「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」'' <br />
{{sfn|ファインマン|1977|pp=294, 307}}{{sfn|吉田|2010}}だと述べている。<br />
<br />
オイラーの公式は、[[変数 (数学)|変数]] {{mvar|&theta;}} が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、[[虚数]]の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 {{mvar|&theta;}} に対応する余弦関数 {{math|cos}} と正弦関数 {{math|sin}} に等しいことを表す。このとき、偏角 {{mvar|&theta;}} を[[媒介変数|パラメータ]]とする[[曲線]] {{math|''e''<sup>''i&theta;''</sup>}} は、複素平面上の[[単位円]]をなす。<br />
特に、{{math|''&theta;'' {{=}} {{π}}}} のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、<br />
:<math>e^{i\pi}=-1</math><br />
となる。この関係は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる<ref group="注">三角関数の周期性（従って複素指数関数の周期性）により、オイラーの等式が成り立つのは {{math|''&theta;'' {{=}} {{π}}}} に限らない。すなわち、任意の整数 {{mvar|z}} について {{math|''&theta;'' {{=}} {{π}} + 2{{π}}''z'' {{=}} 2{{π}}(''z'' + {{sfrac|1|2}})}} は {{math|''e''<sup>''i&theta;''</sup> {{=}} &minus;1}} を満たす。</ref>。<br />
<br />
{{mvar|&theta;}} が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。<br />
<br />
オイラーの公式は、三角関数 {{math|cos&thinsp;''&theta;'', sin&thinsp;''&theta;''}} が[[双曲線関数]] {{math|cosh(''i&theta;''), sinh(''i&theta;'')/''i''}} に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、[[微分方程式]]や[[フーリエ級数]]などの扱いを簡単にすることなどに利用される。<br />
<br />
== 指数関数と三角関数 ==<br />
実関数として定義される[[指数関数]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} および[[三角関数]] {{math|cos&thinsp;''x''}}, {{math|sin&thinsp;''x''}} を各々[[マクローリン展開]]すれば<ref group="注">{{math|''x'' {{=}} 0}} の周りの[[テイラー展開]]をマクローリン展開 {{en|(Maclaurin expansion)}} と呼ぶ。また一般に関数を[[冪級数]]として表すことを冪級数展開と呼ぶ。</ref><br />
{{numBlk|:|<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}<br />
{{numBlk|:|<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}<br />
{{numBlk|:|<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}<br />
となる。これらの級数の[[収束半径]]が {{math|∞}} であることは[[ダランベールの収束判定法]]によって確認することができる<ref group="注">級数<br />
:<math>\scriptstyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math><br />
の収束半径 {{mvar|R}} は、極限<br />
:<math>\scriptstyle r=\lim_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|</math><br />
が存在すれば、{{math|''R'' {{=}} ''r''}} である。（極限が存在しない場合、収束半径はこの方法では求まらない。）<br />
{{math|''e''<sup>''x''</sup>}} の収束半径は<br />
:<math>\begin{align}\scriptstyle <br />
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right|<br />
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty}\left| \frac{(n+1)!}{n!} \right| \\ \scriptstyle <br />
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty}\left(n+1\right) \\ \scriptstyle <br />
&\scriptstyle = \infty<br />
\end{align}</math><br />
となる。{{math|cos ''x''}} の収束半径を求めるには、{{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} についての級数と考えて、その収束半径を求めればよい。<br />
:<math>\begin{align} \scriptstyle <br />
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!} \right|<br />
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} \frac{\{2(n+1)\}!}{(2n)!} \\ \scriptstyle <br />
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} (2n+2)(2n+1) \\ \scriptstyle <br />
&\scriptstyle = \infty<br />
\end{align}</math><br />
となるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、したがって任意の {{mvar|x}} でも収束する。{{math|sin ''x''}} もほぼ同様で、まず<br />
:<math>\scriptstyle \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} y^n</math><br />
を考える。この級数の収束半径は<br />
:<math>\begin{align} \scriptstyle <br />
\lim_{n \to \infty}\left |\frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!} \right|<br />
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle<br />
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle <br />
&\scriptstyle =\infty<br />
\end{align}</math><br />
であるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、{{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} を代入した級数も任意の {{mvar|x}} で収束し、それに {{mvar|x}} をかけた級数（すなわち {{math|sin&thinsp;''x''}} のマクローリン展開）も任意の {{mvar|x}} で収束する。<br />
<br />
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、{{mvar|x}} を複素変数と見て全複素平面上広義一様に[[絶対収束]]し、これらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">全平面上正則な関数を整関数と言う。なおこれらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。これら級数の収束性と[[正則関数]]に関する[[一致の定理]]により、[[解析接続|正則関数としての拡張]]は全平面でこの収束[[冪級数]]によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。<br />
<br />
ここで、 {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば<br />
:<math>\begin{align}<br />
e^{ix} <br />
&= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^n}{n!} x^{n}\\<br />
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} +\sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\<br />
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} +i\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}<br />
\end{align}</math><br />
が成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば<br />
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math><br />
が得られる。<br />
<br />
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。<br />
たとえば、三角関数の[[三角関数#加法定理|加法定理]]は、指数法則 {{math|''e''<sup>''a''</sup>''e''<sup>''b''</sup> {{=}} ''e''<sup>''a'' + ''b''</sup>}} に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" /><ref group="注">{{math|''e''<sup>''a'' + ''b''</sup>}} を冪級数で表し、各項を[[二項定理|二項展開]]し、展開した項を改めて整理すれば、指数法則 {{math|''e''<sup>''a'' + ''b''</sup> {{=}} ''e''<sup>''a''</sup>''e''<sup>''b''</sup>}} を導出できる。<br />
:<math>\begin{align}\scriptstyle<br />
e^{a+b}<br />
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(a+b)^n}{n!}\\<br />
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{n!} \sum^{n}_{r=0} \frac{n!}{r!(n-r)!}a^{r} b^{n-r}\\<br />
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \sum^{n}_{r=0} \frac{a^{r} b^{n-r}}{r!(n-r)!}\\<br />
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{r=0} \sum^{\infin}_{n=r} \frac{a^{r} b^{n-r}}{r!(n-r)!}\\<br />
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_{r=0} \frac{a^{r}}{r!} \sum^{\infin}_{n=r} \frac{b^{n-r}}{(n-r)!}\\<br />
&\scriptstyle \overbrace{=}^{m \equiv n-r} \sum^{\infin}_{r=0} \frac{a^{r}}{r!} \sum^{\infin}_{m=0} \frac{b^{m}}{m!}\\<br />
&\scriptstyle = e^{a}e^{b}.<br />
\end{align}</math></ref>。<br />
<br />
オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、<br />
:<math>\begin{align}<br />
\cos z &= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \\<br />
\sin z &= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}<br />
\end{align}</math><br />
という表現が得られる。<br />
<br />
== 証明 ==<br />
この公式には、[[#指数関数と三角関数|上記の冪級数展開による証明]]の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。<br />
<br />
=== 微分による証明 ===<br />
{{math proof|<br />
関数の[[微分]]を用いた証明を示す。実変数 {{mvar|x}} の関数 {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を次のように定義する。<br />
{{numBlk|:|<math>f(x) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.</math>|{{equationRef|D1|1}}}}<br />
{{math|''f''&thinsp;(''x'')}} の微分は以下のようになる。<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
f'(x)&= (\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\<br />
&= (-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix} \\<br />
&= \left\{(-\sin x-i\cos x) +(i\cos x + \sin x)\right\}\cdot e^{ix} \qquad (i^2 = -1)\\<br />
&= 0<br />
\end{align}</math><br />
したがって、すべての実数 {{mvar|x}} について {{math|''f{{'}}''&thinsp;(''x'') {{=}} 0}} が成り立つ。これは {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} が[[定数関数]]であることと[[同値]]である。よって {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''f''&thinsp;(0)}} より、<br />
{{numBlk|:|<math>f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1</math>|{{equationRef|D2|2}}}}<br />
となる。{{equationNote|D2|(2)}} を {{equationNote|D1|(1)}} に代入すると次のようになる。<br />
{{numBlk|:|<math>(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =1.</math>|{{equationRef|D3|3}}}}<br />
ここで {{equationNote|D3|(3)}} の両辺に、{{math|(cos&thinsp;''x'' - ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x'')}} の[[複素共役]] {{math|(cos&thinsp;''x'' + ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x'')}} を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 {{math|sin<sup>2</sup>''x'' + cos<sup>2</sup>''x'' {{=}} 1}} よりオイラーの公式が得られる<ref name="複素数の取り扱い" />。<br />
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x.</math><br />
|drop=no}}{{math proof|<br />
別の証明として、実変数 {{mvar|x}} の関数 {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を次のように定義する。<br />
{{numBlk|:|<math>f(x) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}.</math>|{{equationRef|D4|4}}}}<br />
{{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を ''x'' について微分すると以下のようになる。<br />
:<math><br />
\begin{align}<br />
f'(x)&= (\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix} +(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\<br />
&= (-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix} -(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix} \\<br />
&= (-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix} \qquad (i^2 = -1)\\<br />
&= 0.<br />
\end{align}</math><br />
したがって、すべての実数 {{mvar|x}} について {{math|''f{{'}}''&thinsp;(''x'') {{=}} 0}} が成り立つ。<br />
ゆえに {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} は定数である。<br />
よって {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''f''&thinsp;(0)}} より<br />
{{numBlk|:|<math>f(x)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{-i\cdot 0}=1</math>|{{equationRef|D5|5}}}}<br />
が成り立つ。<br />
{{equationNote|D5|(5)}} を {{equationNote|D4|(4)}} に代入すると<br />
:<math>(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix} =1</math><br />
が導出される。この両辺に {{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} を掛け、任意の複素数 ''a'', ''b'' に対して成り立つ指数法則 {{math|''e''<sup>''a''</sup>''e''<sup>''b''</sup> {{=}} ''e''<sup>''a'' + ''b''</sup>}} を利用すれば<ref name="複素関数を学ぶ人のために"/><br />
:<math>\begin{align}<br />
e^{ix}<br />
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\<br />
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\<br />
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^0\\<br />
&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.<br />
\end{align}</math><br />
以上より<br />
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x.</math>{{sfn|藤田|1993}}<br />
|drop=no}}<br />
<br />
=== 微分方程式による証明 ===<br />
{{math proof|continue=<br />
[[微分方程式]]を用いた証明を示す。{{mvar|x}} を実数、{{mvar|x}} の関数 {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} を以下のように定義する。<br />
:<math>f(x) = \cos x + i\sin x.</math><br />
また記法を簡潔にするために補助的な方程式<br />
:<math>y = f(x)</math><br />
によって {{mvar|y}} を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。<br />
{{numBlk|:|<math>y = \cos x+ i\sin x.</math>|{{equationRef|DE1|1}}}}<br />
{{equationNote|DE1|(1)}} に {{math|''x'' {{=}} 0}} を代入すると<br />
{{numBlk|:|<math>y = \cos 0 + i\sin 0 = 1</math>|{{equationRef|DE2|2}}}}<br />
を得る。{{equationNote|DE1|(1)}} の両辺を {{mvar|x}} について微分し、両辺に虚数単位 {{mvar|i}} を掛けると以下のようになる。<br />
{{numBlk|:|<math>i\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} <br />
= \underbrace{-i\sin x}_{\frac{\mathrm{d}\cos x}{\mathrm{d}x} = -\sin x} <br />
- \underbrace{\cos x}_{\frac{\mathrm{d}\sin x}{\mathrm{d}x} = \cos x}</math>|{{equationRef|DE3|3}}}}<br />
{{equationNote|DE3|(3)}} と {{equationNote|DE1|(1)}} より<br />
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =iy</math>|{{equationRef|DE4|4}}}}<br />
を得る<ref group="注">{{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} &minus;1}} より {{math|''i'' {{=}} &minus;{{sfrac|1|''i''}}}} であることを利用した。</ref>。任意の 0 でない複素数 {{mvar|&alpha;}} について、関数 {{math|''e''<sup>''&alpha;x''</sup>}} は次の関係を満たす。<br />
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}(\alpha x)}e^{\alpha x} = e^{\alpha x}.</math>|{{equationRef|DE5|5}}}}<br />
{{equationNote|DE4|(4)}} と {{equationNote|DE5|(5)}} を見比べ、{{math|''&alpha;'' {{=}} ''i''}} と置き換えれば、''f''(0) = 1 より<br />
{{numBlk|:|<math>y=e^{ix}</math>|{{equationRef|DE6|6}}}}<br />
が成り立つ。最後に {{equationNote|DE1|(1)}} および {{equationNote|DE6|(6)}} から {{mvar|y}} を消去すればオイラーの公式が得られる。<br />
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math><br />
|drop=no}}<br />
<br />
=== 2階線型微分方程式による証明 ===<br />
{{math proof|<br />
2階[[線型微分方程式]]を用いた証明を示す。実数 {{mvar|x}} を変数とする関数<br />
{{numBlk|:|<math>\begin{cases}<br />
\displaystyle y = e^{ix} \\<br />
\displaystyle y = \cos x \\<br />
\displaystyle y = \sin x<br />
\end{cases}</math>|{{equationRef|2DE1|1}}}}<br />
はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。<br />
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2} + y = 0.</math>|{{equationRef|2DE2|2}}}}<br />
{{equationNote|2DE2|(2)}} は斉次な方程式なので、一般解は基本解の[[線型結合]]として表すことができる。<br />
{{math|cos&thinsp;''x''}} と {{math|sin&thinsp;''x''}} は {{equationNote|2DE2|(2)}} の基本解である。実際、[[ロンスキー行列式]]<br />
:<math>\begin{vmatrix}<br />
\cos x & \sin x\\<br />
-\sin x & \cos x<br />
\end{vmatrix} = \cos^2x + \sin^2x = 1</math><br />
は 0 にならない。よって、{{equationNote|2DE1|(1)}} および {{equationNote|2DE2|(2)}} より<br />
{{numBlk|:|<math>e^{ix} = C_1 \cos x + C_2 \sin x</math>|{{equationRef|2DE3|3}}}}<br />
が成立する。また、{{equationNote|2DE3|(3)}} の両辺を微分したものは<br />
{{numBlk|:|<math>ie^{ix}=-C_1\sin x + C_2 \cos x</math>|{{equationRef|2DE4|4}}}}<br />
となる。{{equationNote|2DE3|(3)}}, {{equationNote|2DE4|(4)}} に {{math|''x'' {{=}} 0}} を代入したものはそれぞれ、<br />
{{numBlk|:|<math>\begin{align}<br />
1 = C_1\\<br />
i = C_2<br />
\end{align}</math>|{{equationRef|2DE5|5}}}}<br />
となるので<ref group="注">{{math|''e''<sup>0</sup> {{=}} 1}} および {{math|sin&thinsp;0 {{=}} 0, cos&thinsp;0 {{=}} 1}} を利用した。</ref>、{{equationNote|2DE5|(5)}} より {{equationNote|2DE3|(3)}} の線型結合はオイラーの公式を与える<ref name="kwansei-univ-euler" />。<br />
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math><br />
|drop=no}}<br />
<br />
=== ロンスキー行列による証明 ===<br />
{{math proof|<br />
:<math>|W|=\begin{vmatrix}<br />
e^{ix} & \cos x +i\sin x \\<br />
ie^{ix} & -\sin x+i\cos x<br />
\end{vmatrix}=e^{ix}(-\sin x + i\cos x) - e^{ix}(i\cos x - \sin x)=0</math><br />
として {{math|cos&thinsp;''x'' + ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x''}} と {{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} が線型従属であることを確認する。<br />
ここで、ある定数 {{mvar|C}} について<br />
:<math>e^{ix} = C(\cos x + i\sin x)</math><br />
が成立する<ref group="注">{{math|cos&thinsp;''x'' + ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x''}} は関数として 0 でないので。</ref>。ここで {{math|''x'' {{=}} 0}} を代入すると {{math|''C'' {{=}} 1}} となり<br />
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math><br />
が得られる<ref>[http://www.is.oit.ac.jp/~shinkai/lecture/diffeq09b/deq2009_sol_3.pdf 2階微分方程式]</ref>。<br />
|drop=no}}<br />
<br />
=== ド・モアブルの定理による証明 ===<br />
{{math proof|<br />
[[ド・モアブルの定理]]を用いた証明を示す<ref name="野海正俊" />。<br />
ド・モアブルの定理より<br />
:<math>\begin{align}<br />
\cos n\theta+i\sin n\theta<br />
&=(\cos \theta+i\sin \theta)^n,\\<br />
\cos n\theta-i\sin n\theta<br />
&=(\cos \theta-i\sin \theta)^n.<br />
\end{align}</math><br />
辺々加えて<br />
:<math>2\cos n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n+(\cos \theta-i\sin \theta)^n.</math><br />
右辺の 2 つの項を[[二項定理]]によって展開すれば、{{mvar|i}} の[[奇数]]乗の項は[[相殺]]し、{{mvar|i}} の[[偶数]]乗の項だけを二重に加えることになるので<br />
:<math>\begin{align}<br />
\cos n\theta<br />
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n-2k}(\sin \theta)^{2k}\\<br />
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n}(\tan \theta)^{2k}<br />
\end{align}</math><br />
を得る。これが {{math|cos&thinsp;''θ''}} の [[三角関数の公式の一覧#倍角公式|{{mvar|n}} 倍角の公式]]の閉じた表示式である（{{math|[''s'']}} は {{mvar|s}} の[[整数部分]]）。<br />
この式において {{math|''nθ'' {{=}} ''x''}} と置き換えると<br />
:<math>\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}<br />
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.</math><br />
[[加法|和]]の上端を {{math|&infin;}} に書き直したが、{{math|''k'' &gt; ''n''/2}} のとき[[二項定理#概要|二項係数]]の部分が {{math|0}} になるので、これは {{math|{{sfrac|''n''|2}}}} までの和に等しい。<br />
{{math|''n'' → &infin;}} の[[極限]]においては<br />
:<math>\cos \frac{x}{n} \sim 1\ ,\ \sin \frac{x}{n} \sim \frac{x}{n}\ ,\ \tan \frac{x}{n} \sim \frac{x}{n}</math><br />
となり、各項目において[[ランダウの記号|漸近的に等しい]]ことが確認できる。<br />
したがって<br />
:<math>\binom{n}{2k} \sim \frac{n^{2k}}{(2k)!}\ ,\ \left(\cos \frac{x}{n}\right)^n \sim 1\ ,\ \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k} \sim \frac{x^{2k}}{n^{2k}}</math><br />
となる。よって<br />
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}</math><br />
が得られる。<br />
同様に {{math|sin&thinsp;''x''}} について考えれば<br />
:<math><br />
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k+1}<br />
\left (\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left (\tan \frac{x}{n}\right)^{2k+1}<br />
</math><br />
より<br />
:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}</math><br />
が得られる。<br />
ここで、{{math|''n'' → &infin;}} の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると<br />
:<math>\cos \frac{x}{n} = 1+a_{n}</math><br />
とおけば<br />
:<math>\begin{align}<br />
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n <br />
&= \left(1+a_{n} \right)^n\\ <br />
&= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \dotsb<br />
\end{align}</math><br />
であるから、{{mvar|a<sub>n</sub>}} が小さいとき、{{mvar|n}} 乗すると誤差はおよそ {{mvar|n}} 倍されるが、{{mvar|a<sub>n</sub>}} が {{math|{{sfrac|1|n}}}} よりも早く {{math|0}} に近づくときには、極限に影響しない。<br />
本議論において<br />
:<math>\begin{align}<br />
a_{n}&=\cos \frac{x}{n}-1\\<br />
&=-2\sin^2 \frac{x}{2n}<br />
\end{align}</math><ref group="注">三角関数の半角公式を利用した。</ref><br />
であるから<br />
:<math>a_{n} \sim -\frac{x^2}{2n^2}</math><br />
となる。<br />
したがって、[[ランダウの記号]]を用いて漸近挙動を示せば<br />
:<math>\cos \frac{x}{n}=1+O\left(\frac{1}{n^2}\right).</math><br />
ゆえに<br />
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n=1.</math><br />
ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って<br />
:<math>\cos n\theta+i\sin n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n.</math><br />
上記式において {{math|''nθ'' {{=}} ''x''}} とおくと<br />
:<math>\cos x+i\sin x = \left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n.</math><br />
ここで、{{math|''n'' → &infin;}} の極限をとったとき<br />
:<math>\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}=1+\frac{ix}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)</math><br />
であるから<br />
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n<br />
= \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = e^{ix}.</math><br />
よって<br />
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math><br />
が得られる。<br />
|drop=no}}<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
*[[ド・モアブルの定理]]<br />
*[[オイラーの等式]]<br />
*[[複素平面]]<br />
**[[虚数単位]]<br />
**[[極座標]]<br />
*[[初等関数]]<br />
**[[指数関数]]<br />
**[[三角関数]]<br />
**[[双曲線関数]]<br />
**[[自然対数]]（オイラーの公式は複素数の対数関数に関する研究から発見された）<br />
*[[フーリエ級数]]<br />
*[[微分方程式]]<br />
<br />
== 脚注 ==<br />
{{脚注ヘルプ}}<br />
=== 参照 ===<br />
{{reflist|refs=<br />
<ref name="野海正俊">[http://www.sci.kobe-u.ac.jp/old/seminar/pdf/noumi2007.pdf オイラーの数学から — 『無限解析序説』への招待 － 野海 正俊]</ref><br />
<ref name="複素数の取り扱い">[http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/~member/noro/KikanButsuri_IA/4_keiji.pdf 複素数の取り扱いとオイラーの公式]</ref><br />
<ref name="kwansei-univ-euler">[http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~shimeno/math/euler/euler.pdf {{math|e<sup>π''i''</sup> + 1 {{=}} 0}}]</ref><br />
<ref name="複素関数を学ぶ人のために">[http://collie.low-temp.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~ashida/work/comp.pdf 複素関数を学ぶ人のために － 山口大学 理学部 物理・情報科学科 - 芦田 正巳]</ref><br />
}}<br />
<br />
=== 注釈 ===<br />
{{reflist|group="注"}}<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
{{commonscat|Euler's formula}}<br />
*{{Cite book|和書<br />
|first=リチャード P.<br />
|last=ファインマン<br />
|author = リチャード P.ファインマン<br />
|authorlink = リチャード・ファインマン<br />
|coauthor = レイトン、サンズ<br />
|translator = 坪井忠二<br />
|year = 1977<br />
|title = 力学<br />
|series = ファインマン物理学<br />
|volume = I<br />
|publisher = [[岩波書店]]<br />
|pages = 294, 307<br />
|isbn = 4-00-007711-2<br />
|oclc = 47339138<br />
|ref=harv<br />
}}<br />
* {{Cite book|和書<br />
|last = 吉田<br />
|first = 武<br />
|title = オイラーの贈物—人類の至宝 {{math|e<sup>''i''&pi;</sup> {{=}} &minus;1}} を学ぶ<br />
|edition = 新装版<br />
|year = 2010<br />
|publisher = [[東海大学出版会]]<br />
|isbn = 978-448601863-6<br />
|oclc = 502982012<br />
|ref=harv<br />
}}<br />
*{{Cite book|和書<br />
|first=英志<br />
|last=小笠<br />
|author = 小笠英志<br />
|year = 2011<br />
|title = 相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう<br />
|publisher = ベレ出版<br />
|pages = pp.165-171<br />
|isbn = 978-486064-267-9<br />
}}<br />
* {{Cite book|和書<br />
|last = 藤田<br />
|first = 宏<br />
|author = 藤田宏<br />
|title = 応用数学 (放送大学教材)<br />
|year = 1993<br />
|publisher = 放送大学教育振興会<br />
|isbn = 978-4595-56532-8<br />
|ref=harv<br />
}}<br />
* {{Cite book|<br />
|last = Dunham<br />
|first = William<br />
|author = William Dunham<br />
|title = Euler: The Master of Us All<br />
|url = http://paginas.fisica.uson.mx/horacio.munguia/Personal/Documentos/Libros/Euler%20The_Master%20of%20Us.pdf<!--これは著作権的に問題ないものですか？--><br />
|year = 1999<br />
|publisher = The Mathematical Association of America<br />
|isbn = 978-088385328-3<br />
|ref=harv<br />
}}<br />
* {{Cite book|和書<br />
|last = 杉浦<br />
|first = 光夫<br />
|author = 杉浦光夫<br />
|title = 解析入門I<br />
|year = 1980<br />
|publisher = [[東京大学出版会]]<br />
|isbn = 978-4-13-062005-5<br />
|series = 基礎数学2<br />
|ref = harv<br />
}}<br />
* {{Cite book|和書<br />
|last = 田村<br />
|first = 二郎<br />
|author = 田村二郎<br />
|title = 解析関数（新版）<br />
|year = 1983<br />
|publisher = [[裳華房]]<br />
|isbn = 978-4-7853-1307-4<br />
|series = 数学選書3<br />
|ref = harv<br />
}}<br />
<!-- 以下の部分はソースの末尾に書くこと（カテゴリーの管理が面倒になるため） --><br />
<br />
{{DEFAULTSORT:おいらあのこうしき}}<br />
[[Category:複素解析の定理]]<br />
[[Category:ネイピア数]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]<br />
[[Category:エポニム]]<br />
[[Category:レオンハルト・オイラー]]</div>
106.181.213.70
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