Warning : Undefined variable $type in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php on line 3 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/json/FormatJson.php on line 297 Warning : Trying to access array offset on value of type bool in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 660 Warning : session_name(): Session name cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Setup.php on line 834 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 126 Warning : ini_set(): Session ini settings cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 127 Warning : session_cache_limiter(): Session cache limiter cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 133 Warning : session_set_save_handler(): Session save handler cannot be changed after headers have already been sent in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/session/PHPSessionHandler.php on line 140 Warning : "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/languages/LanguageConverter.php on line 773 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 294 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/Feed.php on line 300 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46 Warning : Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/extensions/HeadScript/HeadScript.php:3) in /home/users/1/sub.jp-asate/web/wiki/includes/WebResponse.php on line 46
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2024-06-27T20:06:52Z
利用者の投稿記録
MediaWiki 1.31.0
特殊ユニタリ群
2017-06-21T10:49:50Z
<p>1.115.7.205: /* 関連項目 */</p>
<hr />
<div>{{Groups}}<br />
{{Mvar|n}} 次の'''特殊ユニタリ群'''（とくしゅユニタリぐん、{{lang-en|special unitary group}}）{{Math|SU(''n'')}} とは、[[行列式]]が1の {{Mvar|n}} 次[[ユニタリ行列]]の為す[[群 (数学)|群]]の事である。群の[[二項演算|演算]]は[[行列#行列の積|行列の積]]で与えられる。<br />
<br />
特殊ユニタリ群 {{Math|SU(''n'')}} は[[ユニタリ群]] {{Math|U(''n'')}} の[[群_(数学)#部分群|部分群]]であり、さらに[[一般線型群]] {{Math|GL(''n'', '''C''')}}の部分群である。<br />
<br />
特殊ユニタリ群は[[素粒子物理学]]において、[[電弱相互作用]]の[[ワインバーグ＝サラム理論]]や[[強い相互作用]]の[[量子色力学]]、あるいはそれらを統合した[[標準模型]]や[[大統一理論]]などに出てくる。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
:<math>\mathrm{SU}(n) = \{ g \in U(n); \det g=1 \}</math><br />
ここで {{Math|U(''n'')}} は[[ユニタリ群]]、 {{Math|det}} は[[行列式]]である。<br />
<br />
== 性質 ==<br />
特殊ユニタリ群 {{Math|SU(''n'')}} は、以下のような性質を満たす。<br />
* 次元 {{Math|''n''<sup>2</sup>&minus;1}} の[[単純リー群]]<br />
* [[コンパクト空間|コンパクト]]で[[単連結]]<br />
* [[行列の階数|ランク]] {{Math|''n''&minus;1}}<br />
* {{Math|SU(''n'')}} の[[群 (数学)|中心]]は[[巡回群]] {{Math|'''Z'''<sub>''n''</sub>}} と同型<br />
* [[外部自己同型群]]は {{Math|''n''≥3}} に対しては {{Math|'''Z'''<sub>2</sub>}}、{{Math|1=''n''=2}} に対しては[[自明な群]]<br />
<br />
== 生成子 ==<br />
{{Math|SU(''n'')}} の[[生成子]] {{Mvar|T}} は、[[トレース]]が 0 の[[エルミート行列]]で[[表現]]される。<br />
<br />
:<math>\mathrm{tr}\,T_a=0</math><br />
:<math>T_a^\dagger=T_a</math><br />
<br />
=== 基本表現 ===<br />
基本表現、或いは定義表現では、{{Mvar|n}} 次[[正方行列]]で表現される。<br />
<br />
:<math>T_aT_b=\frac{1}{2n}\delta_{ab} I_n<br />
+\frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2-1} (if_{abc}+d_{abc})T_c<br />
</math><br />
<br />
ここで、 {{Mvar|f}} は[[構造定数 (数学)|構造定数]]で、全ての添え字に関して[[反対称テンソル|反対称]]であり、{{Mvar|d}} は全ての添え字に関して対称である。<br />
<br />
従って、<br />
<br />
:<math>\{T_a,T_b\} =T_aT_b+T_bT_a<br />
= \frac{1}{n} \delta_{ab} I_n+\sum_{c=1}^{n^2-1} d_{abc}T_c<br />
</math><br />
:<math>[T_a,T_b] =T_aT_b-T_bT_a<br />
= i\sum_{c=1}^{n^2-1} f_{abc}T_c</math><br />
<br />
規格化条件として<br />
<br />
:<math>\sum_{c,e=1}^{n^2-1}d_{ace}d_{bce}<br />
= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab}<br />
</math><br />
<br />
をとる。<br />
<br />
=== 随伴表現 ===<br />
[[随伴表現]]、或いはアジョイント表現では、{{Math|''n''<sup>2</sup>&minus;1}} 次正方行列で表現され、その成分は、<br />
<br />
:<math>(T_a)_{ij}=-if_{aij} \,</math><br />
<br />
で与えられる。<br />
<br />
{{Math|SU(2)}} <br />
<br />
{{Math|SU(2)}} の[[元 (数学)|元]]の一般形は<br />
<br />
:<math>U =<br />
\begin{pmatrix}<br />
\alpha & -\bar{\beta} \\<br />
\beta & \bar{\alpha} \\<br />
\end{pmatrix}<br />
</math><br />
<br />
となる。ここで、{{Math|''&alpha;'', ''&beta;'' &in; '''C'''}} は {{Math|1={{Mabs|''&alpha;''}}<sup>2</sup> + {{Mabs|''&beta;''}}<sup>2</sup> = 1}} を満たす。<br />
<br />
{{Math|SU(3)}} <br />
<br />
<math>\mathfrak{su}(3)</math> の生成子 {{Mvar|T}} の基本表現は<br />
<br />
:<math>T_a=\frac{1}{2}\lambda_a</math><br />
<br />
ここで、<math>\lambda</math> は[[ゲル-マン行列]]である。<br />
<br />
:<math>\lambda_1 =<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad\lambda_2 =<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & -i & 0 \\<br />
i & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad\lambda_3 =<br />
\begin{pmatrix}<br />
1 & 0 & 0 \\<br />
0 & -1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
</math><br />
:<math>\lambda_4 =<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
1 & 0 & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad\lambda_5 =<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 0 & -i \\<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
i & 0 & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad\lambda_6 =<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
</math><br />
:<math>\lambda_7 =<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & -i \\<br />
0 & i & 0 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad\lambda_8 =<br />
\frac{1}{\sqrt{3}}<br />
\begin{pmatrix}<br />
1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & -2 \\<br />
\end{pmatrix}<br />
</math><br />
<br />
交換関係は<br />
<br />
:<math>[T_a,T_b]=i\sum_{c=1}^8 f_{abc}T_c</math><br />
<br />
となり、構造定数 {{Mvar|f}} は<br />
<br />
:<math>f_{123} = 1 \,</math><br />
:<math>f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} = \frac{1}{2} \,</math><br />
:<math>f_{458} = f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,</math><br />
<br />
となる。{{Mvar|d}} は<br />
<br />
:<math>d_{118} = d_{228} = d_{338} = -d_{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,</math><br />
:<math>d_{448} = d_{558} = d_{668} = d_{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,</math><br />
:<math>d_{146} = d_{157} = -d_{247} = d_{256} = d_{344} = d_{355} = -d_{366} = -d_{377} = \frac{1}{2}. \,</math><br />
<br />
となる。<br />
<br />
== 他の群との関係 ==<br />
素粒子物理学では、[[対称性の破れ]]に関連して部分群が重要になる。<br />
:<math>\mathrm{SU}(p+q) \supset \mathrm{SU}(p)\times \mathrm{SU}(q)\times \mathrm{U}(1)</math><br />
:<math>\mathrm{SU}(n) \supset \mathrm{O}(n)</math><br />
:<math>\mathrm{SU}(2n) \supset \mathrm{USp}(2n)</math><br />
<br />
:<math>\mathrm{SO}(2n) \supset \mathrm{SU}(n)</math><br />
:<math>\mathrm{USp}(2n) \supset \mathrm{SU}(n)</math><br />
<br />
:<math>\mathrm E_6 \supset \mathrm{SU}(6)</math><br />
:<math>\mathrm E_7 \supset \mathrm{SU}(8)</math><br />
:<math>\mathrm G_2 \supset \mathrm{SU}(3)</math><br />
{{Math|O(''n'')}}: [[直交群]]、{{Math|SO(''n'')}}: [[特殊直交群]]、{{Math|USp(2''n'')}}: [[シンプレクティック群]]、{{Math|E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, G<sub>2</sub>}}: 例外型リー群<br />
<br />
また、[[スピン群]]と以下の同型がある<br />
:<math>\mathrm{Spin}(6) = \mathrm{SU}(4)</math><br />
:<math>\mathrm{Spin}(4) = \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)</math><br />
:<math>\mathrm{Spin}(3) = \mathrm{SU}(2)=\mathrm{USp}(2)</math><br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[リー群]]<br />
<br />
== 外部リンク ==<br />
* {{MathWorld|urlname=SpecialUnitaryGroup|title=Special Unitary Group}}<br />
* {{nlab|urlname=special+unitary+group|title=special unitary group}}<br />
<br />
{{DEFAULTSORT:とくしゆゆにたりくん}}<br />
[[Category:位相群]]<br />
[[Category:数学に関する記事]]</div>
1.115.7.205
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