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https:///mymemo.xyz/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=1.114.17.173 2024-06-19T06:47:26Z 利用者の投稿記録 MediaWiki 1.31.0 2017-08-02T16:15:10Z

<p>1.114.17.173: /* 外部リンク */</p> <hr /> <div>{{出典の明記|date=2015年12月}}<br /> [[数学]]において&#039;&#039;&#039;数列&#039;&#039;&#039;（すうれつ、{{lang-en-short|&#039;&#039;numerical sequence&#039;&#039;}}）とは、[[数]]が[[列 (数学)|列]]になったもの ({{lang|en|&#039;&#039;sequence of numbers&#039;&#039;}}) を言う。<br /> <br /> ある数はそれ単独で興味深い性質や深い意味を持っているかもしれない。単独ではそれほど面白くはない数たちもまとめて考えると興味深い性質を持つかもしれない。数列を考える意識は後者に属する。数列とは例えば正の奇数を小さい順に並べた<br /> : {{math|1, 3, 5, 7, …}}<br /> のような数の“並び”である。並べる数に制限を加えて、たとえば[[自然数]]のみを並べるならば、これを&#039;&#039;&#039;自然数列&#039;&#039;&#039;と略称する。[[整数]]、[[有理数]]、[[実数]]などのほかの数体系を用いる場合も同様の略称を用いる。各々の数の“置かれるべき場所”は数列の&#039;&#039;&#039;項&#039;&#039;&#039; (こう、{{lang-en-short|&#039;&#039;term&#039;&#039;}}) と呼ばれる。数の並びが数列と呼ばれるためには、数列の各項を“順番に並べる”こと、つまりそれぞれの数が何番目の項に配置されているのかを一意に示すように[[可附番|番号付けができ]]なければならない。したがって、“最も簡単”な数列は[[自然数]]を小さい順に並べた数列<br /> : {{math|1, 2, 3, 4, …}}<br /> ということになる（これは自然数が[[順序数]]であることによる）。<br /> <br /> 考える数列に端が存在する場合がある。数列の端に存在する項は、その数列の最初の項、または最後の項であると考えることができる。数列の最初の項をその数列の&#039;&#039;&#039;初項&#039;&#039;&#039;（しょこう、{{lang-en-short|&#039;&#039;first term&#039;&#039;}}）といい、最後の項を数列の&#039;&#039;&#039;末項&#039;&#039;&#039;（まっこう、{{lang-en-short|&#039;&#039;last term&#039;&#039;}}）と呼ぶ。<br /> 数列に対して必ずしも初項と末項を定めることはできない。たとえば「すべての自然数」を表わす数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、&#039;&#039;&#039;無限数列&#039;&#039;&#039;（むげんすうれつ、{{lang-en-short|infinite sequence}}）と呼ばれ、末項を持つ数列は&#039;&#039;&#039;有限数列&#039;&#039;&#039;（ゆうげんすうれつ、{{lang-en-short|finite sequence}}）と呼ばれる。<br /> <br /> 初項を表わす[[添字表記法|添字]]は自由に与えることができ、議論や計算を簡単にするように選ばれるが、慣習的に 0 または 1 が与えられることも多い。たとえば有限数列の初項の添字を 1 から始めた場合、末項は項数に等しい添字 {{mvar|n}} が与えられるため、記述が簡単になる。<br /> <br /> 特別な数列には、項の並びに規則性のあるものがある。代表的なものは、[[等差数列]]や[[等比数列]]あるいは[[フィボナッチ数列]]のように[[漸化式]]で定義される数列である。<br /> <br /> == 定義 ==<br /> {{seealso|列 (数学)|族 (数学)}}<br /> {{mvar|S}} を[[自然数]]全体の[[集合]] {{math|&#039;&#039;&#039;N&#039;&#039;&#039;}} またはその {{mvar|n}} における切片 {{math|{{mset|0, 1, 2, …, &#039;&#039;n&#039;&#039;}}}} とするとき、{{mvar|S}} から[[実数]]（あるいは[[複素数]]）への[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|a}} を&#039;&#039;&#039;数列&#039;&#039;&#039;（すうれつ、{{lang-en-short|sequence}}）と呼び、順序付けられた[[数]]の並びとして<br /> <br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|0}}, &#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|1}}, &#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|2}}, …, &#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;, …}}<br /> <br /> のように記す。各数 {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{ind|&#039;&#039;i&#039;&#039;}}}} をこの数列の&#039;&#039;&#039;項&#039;&#039;&#039;と言う。すなわち、関数 {{mvar|a}} の {{mvar|n}} における値を {{mvar|a{{sub|n}}}} と書き、列の{{mvar|n}} 番目の項と考える。また、{{math|(&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;k&#039;&#039;}}){{sub|&#039;&#039;k&#039;&#039;{{=}}0,1,2,…,&#039;&#039;n&#039;&#039;,…}}}} あるいは、慣習的に {{math|{{mset|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;k&#039;&#039;}}}}{{sub|&#039;&#039;k&#039;&#039;{{=}}0,1,2,…,&#039;&#039;n&#039;&#039;,…}}}}（または単に {{math|{{mset|&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;}}}}）とも表す{{efn|[[括弧#波括弧|ブレース（波括弧）]] {{math|{{mset|}}}} で囲む記法は[[集合]]（非順序組）や[[多重集合]]（重複非順序組）と紛らわしい。通常は[[括弧#丸括弧|パーレン（丸括弧）]] {{math|()}} で囲む{{要出典|date=2016年1月}}。}}。<br /> <br /> 各項を表すために添えられる {{mvar|n}} を数列 {{mvar|a}} の[[添字表記法|添字]] {{lang|en|(index)}} という。添字が 0 からでなくてもよいことは既述のとおりであるが、その場合にも（特に {{mvar|n}} が自然数以外の値をとる場合でも）形式的に「{{mvar|a{{sub|n}}}} は {{mvar|n}} 番目の項である」と言うことがある{{要出典|date=2016年1月}}。<br /> <br /> 任意の添字 {{mvar|n}} に対応する項 {{mvar|a{{sub|n}}}} を&#039;&#039;&#039;一般項&#039;&#039;&#039; {{lang|en|(general term)}} という。一般項は必ずしも {{mvar|n}} の明示的な式として定まっているわけではないし、一般にその必要もないが、{{mvar|n}} を勝手に指定したときに対応する項 {{mvar|a{{sub|n}}}} がきちんと定まることが言える必要はある。<br /> <br /> 関数 {{mvar|a}} の定義域を整数全体の集合 {{math|Z}} に変え、初項や末項のない両側無限列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;){{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;isin;&#039;&#039;&#039;Z&#039;&#039;&#039;}}}} を考えることもある。両側無限列は実質的に 2 つの片側無限列の合成であり、{{math|&#039;&#039;n&#039;&#039; {{=}} 0}} などを基準に番号の付け替えを行えば、1 つの片側無限列に直すことができる。<br /> <br /> 数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} の各項 {{mvar|a{{sub|n}}}} がそれ以前の項 {{math|(&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|0}}, …, &#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} を用いて[[再帰|帰納的]]に定められるならば、その帰納的関係式をその数列が満たす[[漸化式]]と呼び、数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} はその漸化式（と[[初期値]]）によって定められるという。<br /> <br /> == 特殊な形の数列 ==<br /> ;{{anchors|等差数列}} 等差数列<br /> 任意の自然数 {{mvar|n}} に対して、隣り合う 2 項 {{mvar|a{{sub|n}}}} と {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}}}} の[[減法|差]]が一定のものを[[等差数列]]または&#039;&#039;&#039;算術数列&#039;&#039;&#039;という。その一定である二項間の差を&#039;&#039;&#039;公差&#039;&#039;&#039;という。<br /> : {{math|1, 2, 3, 4, 5, 6, …}}（初項 1、公差 1）<br /> : {{math|3, 5, 7, 9, 11, 13, …}}（初項 3、公差 2）<br /> など<br /> <br /> ;{{anchors|等比数列}} 等比数列<br /> 任意の自然数 {{mvar|n}} に対して、隣り合う 2 項 {{mvar|a{{sub|n}}}} と {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}}}} の[[比]]が一定のものを[[等比数列]]または&#039;&#039;&#039;幾何数列&#039;&#039;&#039;という。その任意の 2 項間で一定となる比を&#039;&#039;&#039;公比&#039;&#039;&#039;という。<br /> : {{math|1, 2, 4, 8, 16, 32, …}} （初項 1、公比 2）<br /> : {{math|5, 15, 45, 135, 405, …}} （初項 5、公比 3）<br /> : {{math|1, &amp;minus;1, 1, &amp;minus;1, 1, &amp;minus;1, …}} （初項 1、公比 &amp;minus;1）<br /> など<br /> <br /> ; 漸化式を持つ数列<br /> 最初の 2 項から始めて、<br /> : {{math|1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …}} <br /> のように連続した 2 項の和を次の項とする[[フィボナッチ数列]]のように、&#039;&#039;&#039;漸化式&#039;&#039;&#039;が成り立つ数列。<br /> <br /> ; 母関数を持つ数列<br /> ある種の級数を[[母関数]]とし、その係数の列として数列を定義することもある。[[ベルヌーイ数]]・[[オイラー数]]などは[[テイラー級数|テイラー係数]]として定義されるものの例であり、母関数の微積分を通して計算したり、漸化式を取り出したりすることができる。[[フーリエ係数]]は理論的には関数の球関数による展開の一種から得られる数列だが、具体的な個々の係数は積分によって定められる。<br /> <br /> == 漸化式 ==<br /> {{main|漸化式}}<br /> <br /> 数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} の各項 {{mvar|a{{sub|n}}}} がある定まった関数 {{mvar|f}} を用いて<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} {{=}} &#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|1}}, &#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|2}}, …, &#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}}<br /> なるように（もちろん {{mvar|f}} の[[アリティ|取りうる引数の数]]は一定であるから、右辺に現れる項はある一定の規則に従い落とされるものとして）帰納的に定められているとき、関数 {{mvar|f}} を数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} の&#039;&#039;&#039;漸化式&#039;&#039;&#039;とよび、あるいは、数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} は漸化式 {{mvar|f}} により定められているという。<br /> <br /> 漸化式を&#039;&#039;&#039;解く&#039;&#039;&#039;とは、漸化式で与えられている数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} の一般項 {{mvar|a{{sub|n}}}} を {{mvar|n}} の&#039;&#039;&#039;陽な式&#039;&#039;&#039;で表すことである。<br /> <br /> 等差数列や等比数列は、その定義から極めて単純な漸化式を持つ。一般の等差数列に対する漸化式は<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} {{=}} &#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; + &#039;&#039;d&#039;&#039;}}<br /> という形に表わされる。定数 {{mvar|d}} はその等差数列の公差である。この漸化式は簡単に解けて、一般項は {{math|&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|1}} + (&#039;&#039;n&#039;&#039; &amp;minus; 1)&#039;&#039;d&#039;&#039;}} となる。同様に、一般の等比数列に対する漸化式は<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} {{=}} &#039;&#039;r&#039;&#039;&amp;sdot;&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;}}<br /> という形に表わされる。定数 {{mvar|r}} はその等比級数の公比である。この漸化式を解けば {{math|&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;r&#039;&#039;{{sup|&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;minus;1}}&amp;sdot;&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|1}}}} なる一般項を得ることができる。これらは後述する[[#隣接二項間漸化式|隣接二項間漸化式]]の最も単純なものである。<br /> <br /> 特定の形の漸化式が成立する場合など、いくつかの場合には、一般項 {{mvar|a{{sub|n}}}} は {{mvar|n}} の明示的な形の式で表される。<br /> <br /> === 隣接二項間漸化式 ===<br /> 数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} が漸化式によって定められ、漸化式が 1 変数関数 {{math|&#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;x&#039;&#039;)}} によって<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} {{=}} &#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}}<br /> と表されているとき、この漸化式は&#039;&#039;&#039;隣接二項間&#039;&#039;&#039;の漸化式であるという。特に、{{math|&#039;&#039;p&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;), &#039;&#039;q&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;)}} を {{mvar|n}} の関数として、{{mvar|f}} が {{math|&#039;&#039;p&#039;&#039;, &#039;&#039;q&#039;&#039;}} を用いた一次式<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} {{=}} &#039;&#039;p&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;)&amp;sdot;&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; + &#039;&#039;q&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;)}}<br /> となっているとき、&#039;&#039;&#039;線型&#039;&#039;&#039;であるという。特に関数 {{math|&#039;&#039;p&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;), &#039;&#039;q&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;)}} が[[定数関数|定数]]である場合、&#039;&#039;&#039;定数係数&#039;&#039;&#039;線型隣接二項間漸化式と呼ばれる。定数係数線型隣接二項間漸化式<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} {{=}} &#039;&#039;p&#039;&#039;&amp;sdot;&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; + &#039;&#039;q&#039;&#039;}}<br /> は等差数列あるいは等比数列に帰着され、一般項が {{mvar|n}} の式として明示的に記述できる：<br /> <br /> {{math|&#039;&#039;p&#039;&#039; {{=}} 1}} のとき、漸化式は {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} {{=}} &#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; + &#039;&#039;q&#039;&#039;}}<br /> であるから、これは等差数列である。<br /> <br /> {{math|&#039;&#039;p&#039;&#039; &amp;ne; 1}} のとき、漸化式 {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} {{=}} &#039;&#039;p&#039;&#039;&amp;sdot;&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; + &#039;&#039;q&#039;&#039;}} の特性方程式と呼ばれる方程式 {{math|&#039;&#039;x&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;px&#039;&#039; + &#039;&#039;q&#039;&#039;}} の[[代数方程式#根|根]]を {{mvar|&amp;alpha;}} とすると、漸化式は<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} &amp;minus; &#039;&#039;&amp;alpha;&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;p&#039;&#039;(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; &amp;minus; &#039;&#039;&amp;alpha;&#039;&#039;)}}<br /> と変形できる。これは、一般項が {{math|&#039;&#039;b{{sub|n}}&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; &amp;minus; &#039;&#039;&amp;alpha;&#039;&#039;}} で定義される数列 {{math|{&#039;&#039;b{{sub|n}}&#039;&#039;}}} が公比 {{mvar|p}} である等比数列となることを表しているから、{{mvar|b{{sub|n}}}} が {{mvar|n}} の式として得られる。{{math|&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;b{{sub|n}}&#039;&#039; + &#039;&#039;&amp;alpha;&#039;&#039;}} だから、これも {{mvar|n}} の式として書くことができる。<br /> <br /> === 隣接三項間漸化式 ===<br /> 数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} が漸化式によって定められ、漸化式が 2 変数関数 {{math|&#039;&#039;f&#039;&#039;&amp;thinsp;(&#039;&#039;x&#039;&#039;, &#039;&#039;y&#039;&#039;)}} によって<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+2}} {{=}} &#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}}, &#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}}<br /> と表されているとき、この漸化式は&#039;&#039;&#039;隣接三項間&#039;&#039;&#039;の漸化式であるという。特に、{{mvar|f}} が関数 {{math|&#039;&#039;p&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;), &#039;&#039;q&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;)}} を用いた斉一次式<br /> : {{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+2}} {{=}} &#039;&#039;p&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;)&amp;sdot;&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} + &#039;&#039;q&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;)&amp;sdot;&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;}}<br /> となっているとき、&#039;&#039;&#039;線型&#039;&#039;&#039;であるという。特に関数 {{math|&#039;&#039;p&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;), &#039;&#039;q&#039;&#039;(&#039;&#039;n&#039;&#039;)}} が定数である場合、&#039;&#039;&#039;定数係数&#039;&#039;&#039;線型隣接三項間漸化式と呼ばれる。定数係数線型隣接三項間漸化式<br /> : {{math|1=&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+2}} = &#039;&#039;p&#039;&#039;&amp;sdot;&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;+1}} + &#039;&#039;q&#039;&#039;&amp;sdot;&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;}}<br /> は特性方程式 {{math|&#039;&#039;x&#039;&#039;{{sup|2}} {{=}} &#039;&#039;px&#039;&#039; + &#039;&#039;q&#039;&#039;}} の根を用いて解くことができる。すなわち、特性方程式の[[代数方程式#根|根]]が[[実数]]、[[複素数]]であるにかかわらず異なる 2 つの根 {{math|&#039;&#039;&amp;alpha;&#039;&#039;, &#039;&#039;&amp;beta;&#039;&#039;}} を持つとき、{{mvar|&amp;alpha;{{sup|n}}}} 及び {{mvar|&amp;beta;{{sup|n}}}} はそれぞれ漸化式を満たす。特性方程式が[[重根]] {{mvar|&amp;alpha;}} を持つ場合は、{{mvar|&amp;alpha;{{sup|n}}}} 及び {{mvar|n&amp;alpha;{{sup|n}}}} がそれぞれ漸化式を満たすこととなる。言わば漸化式の“基底解”となっているわけである。一般項は漸化式の線形性のおかげでこれら 2 組の“基底解”の[[線形結合]]で表すことができ、2 つの未定係数は任意の 2 項（初項と第二項である必要はないのはもちろん、隣接している必要すらない）の情報から決定することができる。<br /> <br /> フィボナッチ数列はこのタイプの漸化式を持つので、手順にしたがって一般項 {{mvar|a{{sub|n}}}} が<br /> : &lt;math&gt;a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n\right\}&lt;/math&gt;<br /> なる明示式として得られる。<br /> <br /> === 連立線型漸化式 ===<br /> 2 つの数列 {{math|(&#039;&#039;x{{sub|n}}&#039;&#039;), (&#039;&#039;y{{sub|n}}&#039;&#039;)}} が与えられていて、それらが帰納的に連立漸化式<br /> : &lt;math&gt;\begin{cases}<br /> x_{n+1} = a x_n + b y_n\\<br /> y_{n+1} = c x_n + d y_n<br /> \end{cases}&lt;/math&gt;<br /> を満たしているとする。これを二元の定数係数連立線型漸化式という。漸化式を <br /> : &lt;math&gt;\mathbf{x}_{n+1} = A\mathbf{x}_n \quad A := \begin{pmatrix} a &amp; b \\ c &amp; d \end{pmatrix},\ \mathbf{x}_n := \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}&lt;/math&gt;<br /> の形に書けば、連立漸化式を平面上の[[点列]]の[[一次変換]]による移動の様子として捉えることができる。{{mvar|A}} をこの連立線型漸化式の&#039;&#039;&#039;係数行列&#039;&#039;&#039;と呼ぶ。また、<br /> : &lt;math&gt;\mathbf{x}_{n} = A^{n-1}\mathbf{x}_0&lt;/math&gt;<br /> となることも明らかであるから、係数行列 {{mvar|A}} の[[冪]]が計算できるならば、連立漸化式を解くことができる。<br /> <br /> ゆえに、定数係数連立線型漸化式は係数行列 {{mvar|A}} を[[三角化]]あるいは[[対角化]]するような基底に関する表示、あるいは同じことだが、{{math|&#039;&#039;P&#039;&#039;{{sup|&amp;minus;1}}&#039;&#039;AP&#039;&#039;}} が[[三角行列]]か[[対角行列]]となる[[正則行列]] {{mvar|P}} をとって、座標変換 {{math|&#039;&#039;P&#039;&#039;{{sup|&amp;minus;1}}&#039;&#039;&#039;x&#039;{{sub|n}}&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;&#039;y&#039;{{sub|n}}&#039;&#039;}} を行うことで得られる連立漸化式<br /> : &lt;math&gt;\mathbf{y}_{n+1} = P^{-1}AP\mathbf{y}_n&lt;/math&gt; <br /> の問題に帰着される。<br /> <br /> また、{{math|&#039;&#039;y{{sub|n}}&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;x&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;minus;1}}}} や {{math|&#039;&#039;y{{sub|n}}&#039;&#039; &amp;equiv; 1}} となる場合を考えると {{mvar|c}} や {{mvar|d}} を適当に選んで<br /> : &lt;math&gt;x_{n+1} = a x_n + b x_{n-1},\quad <br /> \mathbf{x}_{n+1} = \begin{pmatrix} a &amp; b \\ 1 &amp; 0 \end{pmatrix} \mathbf{x}_n<br /> &lt;/math&gt;<br /> や、<br /> : &lt;math&gt;x_{n+1} = a x_n + b,\quad \mathbf{x}_{n+1} = \begin{pmatrix} a &amp; b \\ 0 &amp; 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}_n&lt;/math&gt;<br /> のように、隣接二項間および三項間の定数係数線型漸化式が得られる。先に述べたこれらの漸化式の解法は、係数行列の冪を求める方法に対応している。特に、定数係数連接三項間漸化式の特性多項式は係数行列の[[固有値|特性多項式]]に一致する。<br /> <br /> もう少し一般に、<br /> : &lt;math&gt;\mathbf{y}_{n+1} = A\mathbf{y}_n + \mathbf{b}&lt;/math&gt;<br /> の形の点列の変換（[[アフィン変換]]）は、変換の[[不動点]]、つまり<br /> : &lt;math&gt;\mathbf{y}_{\infty} = A\mathbf{y}_{\infty} + \mathbf{b}&lt;/math&gt;<br /> を満たす点 {{math|&#039;&#039;&#039;y&#039;&#039;&#039;{{sub|&amp;infin;}}}} をとれば、{{math|&#039;&#039;&#039;x&#039;{{sub|n}}&#039;&#039; {{coloneqq}} &#039;&#039;&#039;y&#039;{{sub|n}}&#039;&#039; &amp;minus; &#039;&#039;&#039;y&#039;&#039;&#039;{{sub|&amp;infin;}}}} とおくことにより、線型漸化式<br /> : &lt;math&gt;\mathbf{x}_{n+1} = A\mathbf{x}_n&lt;/math&gt;<br /> に帰着される。<br /> <br /> これらのことは、さらに高次化することができる。<br /> <br /> === 数学的帰納法 ===<br /> 漸化式自体が帰納的に数列を定義するものであり、一般項 {{mvar|a{{sub|n}}}} がどのような形であるかを述べることが自然数に関する命題とみなすことができることから、漸化式を持つ数列の一般項を求める際に数学的帰納法は有用な手法である。<br /> <br /> == 数列の和 ==<br /> {{main|級数}}<br /> 数列の和はしばしば[[級数]]（きゅうすう、{{lang-en-short|&#039;&#039;series&#039;&#039;}}）と呼ばれる。はじめの {{mvar|n}} 項までの和を第 {{mvar|n}} &#039;&#039;&#039;部分和&#039;&#039;&#039;（ぶぶんわ、{{lang-en-short|&#039;&#039;patial sum&#039;&#039;}}）と呼び、何らかの自然数 {{mvar|n}} に対して第 {{mvar|n}} 部分和となるようなものを&#039;&#039;&#039;有限級数&#039;&#039;&#039;と総称する。<br /> <br /> === 級数の例 ===<br /> *等差数列の初項から {{mvar|n}} 項までの和&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;S_n = \frac{n\left\{2f+(n-1)d\right\}}{2} = \frac{n(f+l)}{2}&lt;/math&gt;<br /> （ただし、{{math|&#039;&#039;f&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|1}}}} は初項、{{math|&#039;&#039;l&#039;&#039; {{=}} &#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;}} は末項である）<br /> *等比数列の初項から {{mvar|n}} 項までの和&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;<br /> S_n = \begin{cases}<br /> \displaystyle \frac{a_{1}(1-r^n)}{1-r}=\frac{a_{1}(r^n-1)}{r-1} &amp; (r\ne 1) \\<br /> na_1 &amp; (r=1)\end{cases}<br /> &lt;/math&gt;<br /> * 冪和 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\sum_{i=1}^n i^k = 1^k + 2^k + \cdots + n^k&lt;/math&gt;の[[ファウルハーバーの公式|明示式]]には[[ベルヌーイ数]]が現れる。ベルヌーイ数に限らず、このような関係式によっていくつかの数の系列が定義されることがある。<br /> <br /> === 和分法･差分法 ===<br /> {{Main|和分差分学}}<br /> {{seealso|不定和分|階差数列}}&lt;!-- |差分法}} [[差分法]]の項の内容は「微分方程式の（数値的）解法として差分を利用する手法」であり、ここでの内容には不適--&gt;<br /> <br /> 階乗冪函数の差分商を計算すれば {{math|1=&amp;Delta;&#039;&#039;x&#039;&#039;{{sup|(&#039;&#039;n&#039;&#039;)}}/&amp;Delta;&#039;&#039;x&#039;&#039; = &#039;&#039;nx&#039;&#039;{{sup|(&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;minus;1)}}}} であり、この意味で階乗冪は冪函数 {{math|&#039;&#039;x&#039;&#039;{{sup|&#039;&#039;n&#039;&#039;}}}} の離散版である。<br /> <br /> 与えられた数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} に対し、[[階差数列]]が {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} となるような数列 {{math|(&#039;&#039;s{{sub|n}}&#039;&#039;)}} をしばしば数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} の[[不定和分]]と呼び、{{math|(&amp;Delta;{{sup|&amp;minus;1}}&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;)}} などで表す:<br /> : &lt;math&gt;\Delta s_n = a_n \iff s_n = \Delta^{-1}a_n.&lt;/math&gt;<br /> このような数列が与えられたとき、{{math|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;k&#039;&#039;}} {{coloneqq}} &#039;&#039;s&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;k&#039;&#039;+1}} &amp;minus; &#039;&#039;s&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;k&#039;&#039;}}}} を {{math|&#039;&#039;k&#039;&#039; {{=}} 0, ..., &#039;&#039;n&#039;&#039;}} について片々加えることにより <br /> : &lt;math&gt;S_n =: \sum_{k=0}^{n} a_k = s_{n+1} - s_0&lt;/math&gt;<br /> が成立する。すなわち、不定和分 {{mvar|s{{sub|n}}}} は（定数列を加える差を除き）実質的に数列の第 {{mvar|n}} 部分和 {{mvar|S{{sub|n}}}} を与えるものである。もっと一般に、函数 {{math|&#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;x&#039;&#039;)}} の[[不定和分]] {{math|&amp;Delta;{{sup|&amp;minus;1}}&#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;x&#039;&#039;)}} が<br /> : &lt;math&gt;\Delta^{-1}f(x+1) - \Delta^{-1}f(x) = f(x)&lt;/math&gt;<br /> となるものとして定義され、<br /> : &lt;math&gt;\sum_{k=0}^{n-1} f(x+k) = \Delta^{-1}f(x+n) - \Delta^{-1}f(x)&lt;/math&gt;<br /> が成り立ち（[[微分積分学の基本定理]]の離散版）、これを&#039;&#039;&#039;和分差分学の基本定理&#039;&#039;&#039;などと呼ぶことがある。このような函数 {{math|&amp;Delta;{{sup|&amp;minus;1}}&#039;&#039;f&#039;&#039;(&#039;&#039;x&#039;&#039;)}} は周期 1 の[[周期函数]]を加える違いを除いて一意である。<br /> <br /> 数列の和分法について、[[上方階乗冪|階乗冪]] {{mvar|k{{sup|{{overline|n}}}}}} は基本的である。<br /> * {{math|&#039;&#039;n&#039;&#039; &amp;ge; 0}}: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\sum_{k=1}^{m} k(k+1)\cdots(k+n-1) = \frac{1}{n+1}m(m+1)\cdots(k+n),&lt;/math&gt;<br /> * {{math|&#039;&#039;n&#039;&#039; {{=}} &amp;minus;1}}: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\sum_{k=1}^m 1/k = H_m,&lt;/math&gt; ここで {{mvar|H{{sub|m}}}} は第 {{mvar|m}} [[調和数 (発散列)|調和数]]。<br /> * {{math|&#039;&#039;n&#039;&#039; &amp;le; &amp;minus;2}}: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\sum_{k=1}^m \frac{1}{k(k+1)\cdots(k+|n|-1)} = \frac{1}{1+n}\left(\frac{1}{(m+1)\cdots(m+|n|-1)} -\frac{1}{(|n|-1)!}\right).&lt;/math&gt;<br /> <br /> == 数列の極限 ==<br /> {{Main|数列の極限|極限}}<br /> : &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}a_n&lt;/math&gt;<br /> : &lt;math&gt;\varliminf_{n\to\infty}a_n\le \lim_{n\to\infty}a_n\le \varlimsup_{n\to\infty}a_n&lt;/math&gt;<br /> <br /> === コーシー数列 ===<br /> {{Main|コーシー列}}<br /> : &lt;math&gt;d(x_n,x_m) = \left\Vert x_n - x_m \right\Vert \to 0 \mbox{ as } n&lt;m, n\to\infty&lt;/math&gt;<br /> <br /> === 無限級数 ===<br /> {{main|級数|発散級数}}<br /> [[#数列の和|有限級数]]の[[極限]]は、すべての[[可算集合|可算無限個]]の項についての和と見ることができ、[[無限級数]]と呼ばれる。<br /> : &lt;math&gt;\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}S_n,\quad S_n = \sum_{i=1}^{n}a_i&lt;/math&gt;<br /> <br /> 双無限数列 {{math|(&#039;&#039;a{{sub|n}}&#039;&#039;){{sub|&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;isin;&#039;&#039;&#039;Z&#039;&#039;&#039;}}}} の和は、2 つの無限級数<br /> : &lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}a_n,\quad \sum_{m=1}^{\infty} a_{-m}&lt;/math&gt;<br /> が収束するならば、それらの和である。<br /> {{seealso|総和|冪級数}}<br /> <br /> === 総和法 ===<br /> {{main|発散級数}}<br /> 数列の有限和や絶対収束に対する自然な意味での「和」の概念を、それ以外の特に発散級数に対して延長する試みを総和法という。素朴な和の概念からはしばしば奇異に映る性質を有する。<br /> * [[チェザロ和]]: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}\frac{s_1+s_2+\cdots+s_n}{n},\quad s_k=a_1+a_2+\cdots+a_k&lt;/math&gt;<br /> * [[アーベル和]]<br /> * [[繰り込み]]<br /> <br /> === {{anchors|母函数|生成函数|生成関数}}母関数 ===<br /> {{Main|母関数}}<br /> 与えられた数列 {{mvar|(a{{sub|n}})}} に対して、それを係数に持つような冪級数を<br /> : &lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \quad \sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}&lt;/math&gt;<br /> などで与えることにより、数列の性質を関数の性質として調べることができるようになる。これを数列の&#039;&#039;&#039;母関数&#039;&#039;&#039;という。母関数の満たす微分方程式から係数列の漸化式を構成したり、係数列の漸化式から母関数の満たす微分方程式を作ったりすることができる。もし、微分方程式を解いて母関数の[[閉じた式]]を手に入れることができるならば、級数の収束する限り、[[テイラーの定理]]によって数列の各項の値を、母関数の特殊値として計算することができる。<br /> <br /> また、冪級数の[[コーシー積]]は数列の[[畳み込み]]に対応する。<br /> : &lt;math&gt;(c_n) := (a_n)*(b_n) &lt;/math&gt;<br /> : &lt;math&gt;\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n&lt;/math&gt;<br /> {{seealso|冪級数}}<br /> <br /> === 無限積 ===<br /> {{main|無限積}}<br /> : &lt;math&gt;\prod_{n=1}^{\infty} a_n&lt;/math&gt;<br /> : &lt;math&gt;\prod_{n=1}^{\infty} (1+u_n) \sim 1 + \sum_{n=1}^{\infty} u_n + \sum_{n_1,n_2}u_{n_1}u_{n_2} + \cdots&lt;/math&gt;<br /> : &lt;math&gt;\log\prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty \log(a_n)&lt;/math&gt;<br /> <br /> == 数列とベクトル ==<br /> {{Main|数列空間|数ベクトル空間}}<br /> 項数 {{mvar|n}} の有限数列はしばしば[[タプル| {{mvar|n}} 組]]と呼ばれる。有限数列は[[数ベクトル]]から線型構造を落としたものとみることができ、逆に項数の等しい数列同士の和や数列の定数倍を<br /> : &lt;math&gt;(a_n) + (b_n) := (a_n + b_n)&lt;/math&gt;<br /> : &lt;math&gt;\lambda(a_n) := (\lambda a_n)&lt;/math&gt;<br /> によって定めることができるので、これらはしばしば適当な意味で同一視される。この同一視によって有限数列の集合がベクトル空間を成すとき、このベクトル空間の構造は[[有限集合]]上の関数空間の構造と見なされる。無限数列も同様にしてベクトル空間と考えたとき、その部分線型空間として得られるようなベクトル空間は一般に数列空間と呼ばれる。無限数列からは、有界数列の空間や収束数列の空間、コンパクト台付き数列（実質有限列）の空間など様々な数列空間を組み立てることができる。<br /> <br /> == 一般化 ==<br /> === 多重数列 ===<br /> {{main|多重数列}}<br /> [[添字]]を 2 つ持つような数列 {{math|(&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;m&#039;&#039;,&#039;&#039;n&#039;&#039;}}){{sub|&#039;&#039;m&#039;&#039;,&#039;&#039;n&#039;&#039;&amp;isin;&#039;&#039;&#039;N&#039;&#039;&#039;}}}} は格子 {{math|&amp;Lambda; {{coloneqq}} {{mset|(&#039;&#039;m&#039;&#039;, &#039;&#039;n&#039;&#039;) &amp;isin; &#039;&#039;N&#039;&#039; &amp;times; &#039;&#039;N&#039;&#039;}}}} 上で定義される関数である。&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{matrix}<br /> a_{1,1} &amp; a_{1,2} &amp; \cdots &amp; a_{1,n} &amp; \cdots\\<br /> a_{2,1} &amp; a_{2,2} &amp; \cdots &amp; a_{2,n} &amp; \cdots\\<br /> \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots &amp; \vdots\\<br /> a_{m,1} &amp; a_{m,2} &amp; \cdots &amp; a_{m,n} &amp; \cdots\\<br /> \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots<br /> \end{matrix}&lt;/math&gt;<br /> <br /> 二重数列 (&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;m&#039;&#039;,&#039;&#039;n&#039;&#039;}}) が極限<br /> : &lt;math&gt;\lim_{m\to\infty\atop n\to\infty} a_{m,n}&lt;/math&gt;<br /> を持つとは、任意に与えられた {{math|&#039;&#039;&amp;epsilon;&#039;&#039; &amp;gt; 0}} に対し十分大きな番号 {{mvar|N}} をとれば、{{math|&#039;&#039;m&#039;&#039;, &#039;&#039;n&#039;&#039; &amp;gt; &#039;&#039;N&#039;&#039;}} なるとき常に {{math|{{mabs|&#039;&#039;a&#039;&#039;{{sub|&#039;&#039;m&#039;&#039;,&#039;&#039;n&#039;&#039;}} &amp;minus; &amp;alpha;}} &amp;lt; &#039;&#039;&amp;epsilon;&#039;&#039;}} とできるような定数 {{mvar|&amp;alpha;}} が存在することである。これは二重極限<br /> : &lt;math&gt;\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n},\quad \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{m,n}&lt;/math&gt;<br /> などと一般には異なる。[[フビニの定理]]も参照。<br /> <br /> 二重級数<br /> : &lt;math&gt;\sum_{m,n}a_{m,n}&lt;/math&gt;<br /> は格子点の全体 {{math|&amp;Lambda; {{=}} &#039;&#039;N&#039;&#039; &amp;times; &#039;&#039;N&#039;&#039;}} に整列順序を入れることによって通常の単純級数（一重級数）に書き直せる。とくに {{math|&amp;Lambda;}} を可算個の有限または無限集合の[[非交和]]（直和）<br /> : &lt;math&gt;\Lambda = K_1\sqcup K_2 \sqcup \cdots \quad \text{(disjoint)}&lt;/math&gt;<br /> に分解するとき、各 {{mvar|K{{sub|i}}}} 上で和<br /> : &lt;math&gt;\sigma_i := \sum_{(m,n)\in K_i} a_{m,n}&lt;/math&gt;<br /> が有限和または絶対収束級数であるならば、<br /> : &lt;math&gt;\sum_{m,n}a_{m,n} = \sigma_1 + \sigma_2 + \cdots&lt;/math&gt;<br /> の収束性についての考察に帰着される。{{math|&amp;Lambda;}} の整列順序の入れ方あるいは分解の仕方に依らず一定の和を持つならば、二重級数は無条件収束するという。たとえばこのとき<br /> : &lt;math&gt;\lim_{m\to\infty\atop n\to\infty}\sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^n a_{m,n} <br /> = \sum_{m=1}^\infty\left(\sum_{n=1}^\infty a_{m,n}\right)<br /> = \sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{m=1}^\infty a_{m,n}\right)<br /> = \sum_{k=1}^\infty\left(\sum_{m+n=k} a_{m,n}\right)<br /> &lt;/math&gt;<br /> が成立する（[[フビニの定理]]を参照）。<br /> <br /> == 注釈 ==<br /> {{notelist}}<br /> <br /> == 参考文献 ==<br /> {{reflist}}<br /> <br /> == 関連項目 ==<br /> * [[列 (数学)]]<br /> * [[族 (数学)]]<br /> * [[級数]]<br /> * {{ill2|整数列|en|integer sequence|preserve=1}}<br /> <br /> == 外部リンク ==<br /> * [http://oeis.org/?language=japanese オンライン整数列大辞典]<br /> * {{PlanetMath|urlname=LimitOfRealNumberSequence|title=limit of real number sequence}}<br /> * {{ProofWiki|urlname=Definition:Complex_Sequence|title=Definition:Complex Sequence}}<br /> <br /> {{Normdaten}}<br /> {{DEFAULTSORT:すうれつ}}<br /> [[Category:数列|*]]<br /> [[Category:数学に関する記事]]</div>

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