Hom函手
圏論において、ある圏の対象の間の射の集合（hom-setともいう）は、集合の圏への重要な函手を生成する。これらの函手をHom函手(Hom functor)と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
定義
C を局所的に小さな圏(locally small category)、つまり、hom-クラスが、集合であり、真クラスではない圏とする。
C の中のすべての対象 A と B に対し、次のように集合の圏(category of sets)への 2つの函手を定義する。（以下の表では、共変は共変函手を意味し、反変は反変函手を意味する。）
| Hom(A,–) : C → 集合 | Hom(–,B) : C → 集合 |
|---|---|
| 函手は共変、以下により与えられる。 | 函手は反変、以下により与えられる。 |
函手 Hom(–,B) は、対象 B の点の函手(functor of points)とも呼ばれる。
Hom の第一引数を固定することは自然に共変函手を導き、第二引数を固定することは自然に反変函手を意味することに注意する。このことは、射をにより必然的に合成される人工的な方法である。
函手のペア Hom(A,–) と Hom(–,B) は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B → B′ と h : A′ → A に対して、次の図式が可換となる。
2つの経路は、g : A → B を f ∘ g ∘ h に写す。
上の図の可換性は、Hom(–,–) が、第一引数が共変で第二引数が反変である C × C から Set への双函手(bifunctor)である。同値なことではあるが、Hom(–,–) は共変な双函手
- Hom(–,–) : Cop × C → Set
であるということもできる。ここに Cop は C の双対圏(opposite category)である。記号 HomC(–,–) は、ドメイン(domain)を強調するために、Hom(–,–) の代わりに使われることがある。
米田の補題
上の可換図式を見ると、すべての射
- h : A′ → A
が自然変換
- Hom(h,–) : Hom(A,–) → Hom(A′,–)
を与え、すべての射
- f : B → B′
が自然変換
- Hom(–,f) : Hom(–,B) → Hom(–,B′)
を与える。米田の補題は、Hom 函手の間の自然変換のすべてはこの形であるという補題である。言い換えると、Hom 函手は、圏 C から函手圏(functor category) SetCOp の中へ埋め込む充満かつ忠実な函手(full and faithful functor)である（共変か反変かは、圏 C の函手圏 SetCOp での Hom 函手の使われ方に依存する）。
内部 Hom 函手
ある圏は、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom 函手のような振る舞いをする函手を持っているかもしれない。そのような函手は内部 Hom 函手(internal Hom functor)と呼ばれ、積のような性質を強調するために、
- [math]\left[-\ -\right] : C^{\text{op}} \times C \to C[/math]
と書かれたり、函手性を強調するために、
- [math]\Rightarrow : C^{\text{op}} \times C \to C[/math]
と書かれたり、あるいは単に小文字のみで
- [math]\text{hom}(-, -) : C^{\text{op}} \times C \to C[/math]
と書かれることがある。内部 Hom 函手を持つ圏は、閉圏(closed categories)と呼ばれる。そのような圏の上の忘却函手(forgetful functor) [math]U:C\to\textbf{Set}[/math] は、内部 Hom 函手を外部 Hom 函手に移す。すなわち、
- [math]U \circ \text{hom}(-, -) \simeq \text{Hom}(-, -)[/math]
である。ここに [math]\simeq[/math] は自然同型を表す; つまりこの同型は、両引数について自然である。あるいは、
- [math]\text{Hom}(I, \text{hom}(-, -)) \simeq \text{Hom}(-, -)[/math],
でもある。ここに I は、閉圏の単位対象(unit object)である。閉モノイド圏(closed monoidal category)の場合には、これはカリー化(currying)の概念へ拡張される。すなわち、
- [math]\text{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \text{Hom}(X\otimes Y, Z)[/math]
である。ここに [math]\otimes[/math] は双函手(bifunctor)であり、モノイド圏を定義する内部積函手(internal product functor)である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイド圏では、内部 Hom 函手は内部積函手の随伴函手である。対象 [math]Y \Rightarrow Z[/math] を内部 Hom(internal Hom)と呼ぶ。[math]\otimes[/math] がデカルト積 [math]\times[/math] であるとき、対象 [math]Y \Rightarrow Z[/math] を指数対象と呼び、[math]Z^Y[/math] と書くこともある。
内部 Hom は、互いに組み合わさると、圏の内部言語(internal language)と呼ばれる言語を形成する。単純型付きラムダ計算(simply typed lambda calculus)は最も有名で、デカルト閉圏の内部言語である。線形型システム(linear type system)は閉対称モノイド圏(closed symmetric monoidal categories)の内部言語である。
性質
函手の形が、
- Hom(–, C) : Cop → Set
の場合は、前層であることに注意する。同様に、Hom(C, –) は余前層である。
Hom(C, –) に自然に同型な(naturally isomorphic)函手 F : C → Set は、表現可能な函手(representable functor) であるときに、表現可能な余前層と呼ばれる。同様に、Hom(–, C) に同変な反変函手は、余表現可能と呼ぶこともできる。
Hom(–, –) : Cop × C → Set は、プロ函手(profunctor)であり、特に、恒等プロ函手
- [math]\text{id}_C \colon C\nrightarrow C[/math]
である。
内部 hom 函手は極限を保存する。すなわち、[math]\text{hom}(X,-):C \to C[/math] は、極限を極限へ写すことに対し、[math]\text{hom}(-,X):C^\text{op} \to C[/math] は極限を余極限へ写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することも可能である。
他の性質
Aをアーベル圏、A を A の対象とすると、HomA(A,–) は、A からアーベル群の圏 Ab への共変左完全函手である。この函手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である[1]。
R を環、M を左 R-加群とする。函手 HomZ(M,–): Ab → Mod-R は、テンソル積函手 – [math]\otimes[/math]R M: Mod-R → Ab の右随伴函手である。
関連項目
脚注
- ↑ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.
参考文献
- Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician, Second, Springer. ISBN 0-387-98403-8.
- Goldblatt, Robert [1984] (2006). Topoi, the Categorial Analysis of Logic, Revised, Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Retrieved on 2009-11-25.
- Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra, 2nd, Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.
外部リンク
- Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor
- Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom