黄金長方形

黄金長方形内の正方形の列と対数螺旋

フィボナッチ数列の隣り合う数の比は黄金比に近い

黄金長方形（おうごんちょうほうけい、英: golden rectangle）とは、辺の比が黄金比、すなわち

[math]1 : \frac { 1 + \sqrt 5 } 2 \approx 1.618[/math]

の長方形である。日本で用いられる名刺はこの長方形に近い形状をしている。

黄金長方形においては、長辺と短辺の比が、短辺と「長辺と短辺の差」の比と等しくなっている。

黄金長方形の長辺および「長辺と短辺の差」のそれぞれと同じ長さの辺をもつ長方形(図中の右上の赤色で示す領域)の面積は、同一の黄金長方形の短辺と同じ長さの辺をもつ正方形(図中の左下の赤色で示す領域)の面積と等しい。（図中の２つの青枠で示される長方形は互いに合同な黄金長方形）

幅と高さが１とφの黄金長方形について、その幅・高さ・対角線で構成される直角三角形を用い、φと(φ-1)の積が1(斜線の正方形および長方形は互いに同じ面積)となり、また、対角線と同じ長さの辺を持つ正方形の面積がΦと√5の積(赤色の正方形及び長方形は互いに同じ面積)となることを表した図。

黄金長方形については、長辺：短辺＝短辺：（長辺－短辺）＝（長辺＋短辺）：長辺が成り立つ。

黄金長方形から最大の正方形を除くと、残った長方形がまた黄金長方形の比率になり、そこからまた最大の正方形を除くと、永遠に相似な図形ができていく。図のように、正方形の列において角の点を滑らかにつないでいくと、渦巻ができていく。この螺旋は、巻貝の貝殻に表れている渦巻きと同種の対数螺旋である。

逆に、内側からフィボナッチ数列を一辺の長さとする正方形を連ねていくと、次第に黄金長方形に近くなる。

外部リンク

Weisstein, Eric W. “Golden Rectangle”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。