非心t分布

非心t分布

確率密度関数 325px
累積分布関数
母数	自由度 [math]\nu \gt 0[/math] 非心母数 [math]\mu \in \Re \,\![/math]
台	[math]x \in (-\infty; +\infty)\,\![/math]

非心t分布（ひしんティーぶんぷ、英: noncentric t-distribution） とは、確率分布と統計学におけるスチューデントのt分布を一般化したものである。

非心な統計母数、たとえば「X の上位10パーセント値」のようなものの信頼区間を標本データだけに基いて計算するのに有用である。

非心t分布になる場合と分布の特徴

もしも [math]X[/math] が正規分布するランダム変数で分散が1, 平均が [math]\mu[/math] であり、 [math]Y[/math] はカイ二乗分布するランダム変数で自由度が [math]\nu[/math] で、 [math]X[/math] から統計的に独立である場合、

[math] T=\frac{X}{\sqrt{Y/\nu}} [/math]

は非心t分布するランダム変数で、その自由度は [math]\nu[/math]、非心母数は [math]\mu[/math] である。

非心t分布の確率密度関数は

[math] f(t) =\frac{\nu^{\nu/2}e^{-\nu\mu^2/2(t^2+\nu)}} {\sqrt{\pi}\Gamma(\nu/2)2^{(\nu-1)/2}(t^2+\nu)^{(\nu+1)/2}} [/math]

[math]\times\int\limits_0^\infty x^\nu\exp\left[-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu}}\right)^2\right]dx [/math]

ここで [math]\nu\gt 0[/math] である。 この確率密度関数の定義域は実数である。

非心t分布の平均および分散は

[math] \mbox{E}\left[T\right]= \begin{cases} \mu\sqrt{\frac{\nu}{2}}\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)} &\nu\gt 1\\ \mbox{Does not exist} &\nu\le1\\ \end{cases} [/math]

and

[math] \mbox{Var}\left[T\right]= \begin{cases} \frac{\nu(1+\mu^2)}{\nu-2} -\frac{\mu^2\nu}{2} \left(\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}\right)^2 &\nu\gt 2\\ \mbox{Does not exist} &\nu\le2\\ \end{cases}. [/math]

特別の場合

もしも [math] \mu=0 [/math] の場合、非心t分布は t分布になる。

関連する分布

• もしも [math] T [/math] が非心t分布する場合、[math] Z=T^2 [/math] とおくと[math] Z [/math] は非心F分布する。
• [math] T [/math] が非心t分布する場合、[math] Z=\lim_{\nu\to\infty}T [/math]とおくと、[math] Z [/math] は正規分布する。

内部リンク

• カイ二乗分布
• 非心F分布
• 正規分布
• t分布

外部リンク

• Eric W. Weisstein. "Noncentral Student's t-Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource

翻訳元

本記事は英語版ウィキペディア記事

• Noncentral chi-square_distribution. [:en] Wikipedia: Free Encyclopedia (English language), 14:14, 21 July 2007

からの抄訳に基づいて作成された。