離散数学

離散数学（りさんすうがく、英語：discrete mathematics）とは、原則として離散的な（言い換えると連続でない、とびとびの）対象をあつかう数学のことである。有限数学あるいは離散数理と呼ばれることもある。

グラフ理論、組み合わせ理論、最適化問題、計算幾何学、プログラミング、アルゴリズム論が絡む応用分野で、その領域を包括的・抽象的に表現する際に用いられることが多い。またもちろん離散数学には整数論が含まれるが、初等整数論を超えると解析学などとも関係し（解析的整数論）、離散数学の範疇を超える。

離散数学の内容

離散数学の中核を成す分野として次の2つが挙げられる。

• 組合せ論
• グラフ理論

組合せ論とは「ひたすら数える」数学である。より一般的にいって、それは有限の数（とはいっても星の数よりはるかに大きな数のときもあるが・・・）について考えるということである。その考え方の基本は

• 解決法は存在するか？
• どれくらいの数の解決法があるか？
• 最適の解決法があるか？

ということについてである。

グラフ理論は、(大まかに言うと)点と線の数学である。頂点(点)とそれらの接続(辺)を調べるという単純な考え方が基本となるが、現在、とても勢いのある分野へとなった。グラフ理論の中の多くの問題は、組合せ論に関係がある。例えば、グラフで２頂点の間の路に関する問題がある。この問題は、

• 路は存在するか？
• どれくらいの数の路があるか？
• 最適の路を見つけられるか？

ということになる。他にもグラフの彩色に関する問題など組合せ論との関りは深い。

他には、学校教育の中で教えられているものには行列，集合，順列・組合せ，論理と証明，帰納法と漸化式，数列などがある。それ以外にも、経済や産業の分野で応用されているものにゲーム理論、マルコフ連鎖、社会選択理論、投票理論、ビンパッキング問題、記号論などがある。

離散数学で使われる解決方法

離散数学でよく使われる共通の問題解決法がある。それはアルゴリズムによる解決法である。問題の構造をアルゴリズムに置換え、分析することで問題を解決する。アルゴリズムの理論は帰納的な考えを含む。つまり、アルゴリズムの理論自体も離散数学の一角を成しているといえる。アルゴリズムの理論の対象を成すのが実証論である。実証論は整数論やトポロジーなどの伝統的な数学の顕著な特徴を持っている。数学的には実証論的な証明の方が綺麗だといわれる。

参考文献

• 根上生也　『情報数学講座3　離散構造』、共立出版、1993年
• 秋山仁・R.L.Graham　『入門 有限・離散の数学1　離散数学入門』、朝倉書店、1993年
• 惠羅博，小川健次郎，土屋守正，松井泰子 『離散数学』 、 横浜図書

関連項目

• デジタル