随伴表現

リー群のリー環上への随伴表現（ずいはんひょうげん、英: adjoint representation）とは、リー群の元をリー環のある種の線型変換として表したものをいう。

定義

[math]G[/math] をリー群、[math]\mathfrak{g}[/math] をそれに付随するリー代数（ [math]G[/math] の単位元における接空間）とする。[math]g \in G[/math] として [math]h \in G[/math] に対して [math]\phi_{g} : G \to G,\,\phi_{g} : h \mapsto ghg^{-1}[/math] を [math]G[/math] の内部自己同型写像といい、さらに微分 [math]d(\phi_{g})_{e} =: Ad_{g} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}[/math] によって付随するリー代数の同型写像が得られる。 [math]Ad_{g}[/math] は [math]\mathfrak{g}[/math] の線型写像になっていて、準同型

[math]Ad : G \to GL(\mathfrak{g}),\quad g \mapsto Ad_{g}[/math]

をリー群の随伴表現という。

リー代数の随伴表現

"「リー代数の随伴表現」"

リー群の随伴表現の微分を [math]ad[/math] で表し、これをリー代数の随伴表現という。