開立法
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開立法（かいりつほう、かいりゅうほう、extraction of cubic root）は、正の実数の立方根の小数による近似値を求める方法の1つである。開立とも。立方根を求めることを開立するという。開法の一種。
Contents
立方九九
開立する場合、以下の三乗九九を用いる。1/3九九を用いる場合もある。
| 計算 | 暗唱方法 |
| [math]1^3=1[/math] | いんいちがいち |
| [math]2^3=8[/math] | ににんがはち |
| [math]3^3=27[/math] | さざんにじゅうしち |
| [math]4^3=64[/math] | ししろくじゅうし |
| [math]5^3=125[/math] | ごごひゃくにじゅうご |
| [math]6^3=216[/math] | ろくろくにひゃくじゅうろく |
| [math]7^3=343[/math] | しちしちさんびゃくしじゅうさん |
| [math]8^3=512[/math] | はっぱごひゃくじゅうに |
| [math]9^3=729[/math] | くくななひゃくにじゅうく |
近似計算法
計算式(1)
開立の近似計算法には、次の代数式を用いる。
- [math] (a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b + 3ab^{2} + b^{3} [/math]
ここで、[math]a \gg b[/math]とすると、
- [math] (a+b)^3 = a^{3} + 3a^{2} b [/math]
- [math] b = \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}} [/math]
である。両辺にaを加えて、
- [math] a + b = a + \frac{(a+b)^{3}-a^{3}}{3a^{2}} [/math]
となる。この式の左辺を近似立方根、右辺の [math](a+b)^{3}[/math]を与えられた数として扱う。 ただし、[math]a^{3}[/math]は与えられた数に最も近い完全立方数である。
計算式(2)
また、
- [math] (a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b + 3ab^{2} - b^{3} [/math]
を用いて、[math] a \gg b [/math]として、
- [math] (a-b)^3 = a^{3} - 3a^{2} b [/math]
- [math] b = \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}} [/math]
である。したがって、
- [math] a - b = a - \frac{a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}} [/math]
この式の左辺を近似立方根、右辺の [math](a-b)^{3}[/math]を与えられた数として扱う。 ただし、[math]a^{3}[/math]は与えられた数に最も近い完全立方数である。
近似計算法を用いた計算例
- [math] \sqrt[3]{1361} [/math]
- [math] \sqrt[3]{1000}=10,~ \sqrt[3]{1331}=11,~ \sqrt[3]{1728}=12 [/math] と [math] \sqrt[3]{1361} [/math] に近い数を求めると、[math] \sqrt[3]{1331} [/math] が最も近い数であることがわかる。
- 計算式(1)を用いて、[math](a+b)^{3}=1361,~ a=11,~ a^{3}=1331[/math] として求める数 [math]a+b[/math] は、
- [math]a + b = 11+ \frac{1361 - 1331}{3 \times 11^{2}} = 11.08264463\cdots [/math]
- となる。電卓により計算すると、
- [math] \sqrt[3]{1361} \fallingdotseq 11.08203137\cdots [/math]
- であり近似計算できることがわかる。
珠算による開立法
根の定位
- 立方が整数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根のけた数となる。
- 立方が帯小数のとき：立方の1の位から左へ3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数のけた数となる。
- 立方が小数のとき：立方の小数点以下の0を3けたずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の0のけた数となる。
倍根法
例: [math] \sqrt[3]{314432}=68 [/math]
電卓による開立法
関数電卓でない普通の電卓でも、開平を行うテンプレート:Keypressキーさえあれば立方根を求めることができる。
- まず与えられた数を入力し、テンプレート:Keypressテンプレート:Keypressの順にキーを押す。ただしカシオの電卓に限り、テンプレート:Keypressテンプレート:Keypressと押す（定数計算モードを示す「K」が表示される）。
- テンプレート:Keypressテンプレート:Keypressと押す。このときに表示された数値の末尾数桁を記憶しておく。
- 次にテンプレート:Keypressを押す。定数計算により、表示された数に最初の数が掛けられる。
- またテンプレート:Keypressテンプレート:Keypressと押す。表示された数値の末尾数桁が先程と同じ数値であれば、その数値が立方根となる。同じでなければ前項に戻って繰り返す。