連接環

連接環（れんせつかん、英: coherent ring、仏: anneau cohérent）の概念はネーター環の概念よりも弱い。それにも関わらず連接環は注目すべき性質を有する。それは次のように要約できる。そのような環上の有限表示加群は加群の圏の充満部分アーベル圏をなす（一方ネーター環上これは有限型加群に対して同じことが正しい）。位相空間上の環の連接層の概念も定義される。

連接環

定義

• [math]R[/math] を環とし [math]M[/math] を [math]R[/math]-加群とする。次が完全列になるような自由加群 [math]L_{1}[/math] と [math]L_{0}[/math] が存在する

[math]L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0[/math]

これは [math]M[/math] の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 [math]M[/math] は [math]L_{0}[/math] が有限型であれば有限型 (type fini) であり、[math]L_{0}[/math] と [math]L_{1}[/math] が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる。

• [math]R[/math]-加群 [math]M[/math] は有限型でありかつ [math]M[/math] のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。

• 環 [math]R[/math] は有限型の [math]R[/math] のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である。

• 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない。

性質

[math]R[/math] を環とする。

• [math]M[/math] を左 [math]R[/math]-加群とする。以下の条件は同値である：

1. [math]M[/math] は左連接である。
2. [math]M[/math] は有限型でありすべての整数 [math]n\geq 0[/math] に対して左 [math]R[/math]-加群のすべての準同型 [math]R^{n}\longrightarrow M[/math] の核は有限型である。
3. [math]M[/math] は有限型でありすべての有限型左 [math]R[/math]-加群 [math]N[/math] に対してすべての準同型 [math]f:N\rightarrow M[/math] に対して [math]\ker (f)[/math] は有限型である。

• さらに、以下の条件は同値であるテンプレート:,,：

1. [math]R[/math] は左連接である。
2. 有限型左自由 [math]R[/math]-加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
3. すべての有限表示左 [math]R[/math]-加群は連接である。
4. すべての整数 [math]n[/math] に対して左 [math]R[/math]-加群のすべての準同型 [math]R^{n}\longrightarrow R[/math] の核は有限型である。

• 左ネーター環は左連接である。

連接シルヴェスター環

• [math]R[/math] をオール環とする。この環が右連接シルヴェスター環であるのは、[math]R[/math] に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る。

• 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。

• 可換シルヴェスター環 [math]R[/math] が連接であるのは [math]R[/math] がGCD環であるとき、かつそのときに限る。

• [math]D[/math] を複素平面の単連結開集合とする。[math]D[/math] 内の有界解析関数のハーディ環 [math]H^{\infty }\left(D\right)[/math] はベズー環でない連接シルヴェスター環である。

グロタンディーク圏における一般化

グロタンディーク圏

次のようなアーベル圏 [math]\mathfrak{C}[/math] をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 [math]\left( G_{i}\right) _{i\in I}[/math] を持ち、次の条件 AB5) を満たす： [math]A[/math] が [math]\mathfrak{C}[/math] の対象であり [math]A'[/math] が [math]A[/math] の部分対象でありそして [math]\left( A_{i}\right) _{i\in I}[/math] が [math]A[/math] の部分対象の増大フィルター族であれば、

[math]\bigcup\nolimits_{i\in I}\left( A^{\prime }\cap A_{i}\right) =A^{\prime }\cap \left( \bigcup\nolimits_{i\in I}A_{i}\right).[/math]

例

• 環 [math]R[/math] 上の左加群の圏 [math]_{R}Mod[/math] は生成元として加群 [math]_{R}R[/math] を持つグロタンディーク圏である。

• [math]X[/math] を位相空間、[math]\mathcal{O}_{X}[/math] を [math]X[/math] 上の環の層、[math]_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod}[/math] を [math]X[/math] 上の左 [math]\mathcal{O}_{X}[/math]-加群の層の圏とする。この圏 [math]_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod}[/math] はグロタンディーク圏である。[math]_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod}[/math] における生成元の族は faisceaux induits [math]\left. \mathcal{O}_{X}\right\vert U[/math] からなる、ただし [math]U[/math] は [math]X[/math] の開集合全部の集合を表記する。

連接対象

• [math]\mathfrak{C}[/math] をグロタンディーク圏とする。[math]\mathfrak{C}[/math] の対象 [math]A[/math] は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。[math]\bigcup\nolimits_{i\in I}A_{i}=A[/math] なる [math]A[/math] の増大フィルターのすべての族 [math]\left( A_{i}\right) _{i\in I}[/math] に対して、[math]A_{i}=A[/math] となる添え字 [math]j[/math] が存在する。[math]\mathfrak{C}[/math] の対象 [math]A[/math] は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 [math]f:B\rightarrow A[/math]、ただし [math]B[/math] は有限型、に対して [math]\ker (f)[/math] は有限型である。

• [math]\mathfrak{C}[/math] を生成元として対象 [math]G[/math] を持つグロタンディーク圏とし

[math]0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime \prime }\longrightarrow 0[/math]

を [math]\mathfrak{C}[/math] における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 [math]A[/math] が有限型であるのは、完全列

[math]\coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0[/math]

ただし [math]J\subset I[/math] は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、[math]A[/math] が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 [math]\coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A[/math]、ただし [math]J\subset I[/math] は有限、に対して完全列

[math]\coprod\nolimits_{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod\nolimits_{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0[/math]

ただし [math]K\subset I[/math] は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる [math]\mathfrak{C}[/math] の充満部分圏は、[math]Coh\mathfrak{C}[/math] と表記されるが、アーベルであり、入射 [math]Coh\mathfrak{C}\longrightarrow\mathfrak{C}[/math] は完全である。

例

• 圏 [math]_{R}Mod[/math] において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

• 圏 [math]_{\mathcal{O}_{X}}\mathbf{Mod}[/math] において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）[math]\mathcal{O}_{X}[/math]-加群全体である。

環の連接層

• 環 [math]\mathcal{O}_{X}[/math] の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 [math]U\subset X[/math] と左 [math]\left. \mathcal{O}_{X}\right\vert U[/math]-加群のすべての準同型写像 [math]\left. \mathcal{O}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left. \mathcal{O} _{X}\right\vert U[/math] に対して、この準同型の核は有限型である。

• すると以下の結果が成り立つ： [math]\mathcal{O}_{X}[/math] を左連接環の層とする。左 [math]\mathcal{O}_{X}[/math]-加群の層 [math]\mathcal{F}[/math] が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 [math]\mathcal{O}_{X}[/math]-加群の準同型 [math]\mathcal{O}_{X}^{q}\longrightarrow \mathcal{O}_{X}^{p}[/math] の余核に同型である、すなわち、[math]X[/math] のすべての空でない開集合 [math]U[/math] に対して完全列

[math]\left. \mathcal{O}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left. \mathcal{O} _{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left. \mathcal{F}\right\vert U\longrightarrow 0[/math]

が存在する。

脚注と参考文献

参考文献

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