逆三角関数の原始関数の一覧

本項は逆三角関数を含む式の原始関数の一覧である。さらに完全な原始関数の一覧は、原始関数の一覧を参照のこと。

以下の全ての記述において、a は 0 でない実数とする。また、C は積分定数とする。

逆正弦関数の積分

[math]\int\arcsin x\,dx= x\arcsin x+ {\sqrt{1-x^2}}+C[/math]

[math]\int\arcsin ax\,dx= x\arcsin ax+ \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C[/math]

[math]\int x\arcsin ax\,dx= \frac{x^2\arcsin ax}{2}- \frac{\arcsin ax}{4a^2}+ \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C[/math]

[math]\int x^2\arcsin ax\,dx= \frac{x^3\arcsin ax}{3}+ \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C[/math]

[math]\int x^m\arcsin ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsin ax}{m+1}\,-\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)[/math]

[math]\int(\arcsin ax)^2\,dx= -2\,x+x\,(\arcsin ax)^2+ \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin ax}{a}+C[/math]

[math]\int(\arcsin ax)^n\,dx= x\,(\arcsin ax)^n\,+\, \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\,(\arcsin ax)^{n-1}}{a}\,-\, n\,(n-1)\int(\arcsin ax)^{n-2}\,dx[/math]

[math]\int(\arcsin ax)^n\,dx= \frac{x\,(\arcsin ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\, \frac{\sqrt{1-a^2x^2}\,(\arcsin ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int(\arcsin ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)[/math]

逆余弦関数の積分

[math]\int\arccos x\,dx= x\arccos x- {\sqrt{1-x^2}}+C[/math]

[math]\int\arccos ax\,dx= x\arccos ax- \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C[/math]

[math]\int x\arccos ax\,dx= \frac{x^2\arccos ax}{2}- \frac{\arccos ax}{4\,a^2}- \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C[/math]

[math]\int x^2\arccos ax\,dx= \frac{x^3\arccos ax}{3}- \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C[/math]

[math]\int x^m\arccos ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arccos ax}{m+1}\,+\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)[/math]

[math]\int(\arccos ax)^2\,dx= -2\,x+x\,(\arccos ax)^2- \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arccos ax}{a}+C[/math]

[math]\int(\arccos ax)^n\,dx= x\,(\arccos ax)^n\,-\, \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\,(\arccos ax)^{n-1}}{a}\,-\, n\,(n-1)\int(\arccos ax)^{n-2}\,dx[/math]

[math]\int(\arccos ax)^n\,dx= \frac{x\,(\arccos ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,-\, \frac{\sqrt{1-a^2x^2}\,(\arccos ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int(\arccos ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)[/math]

逆正接関数の積分

[math]\int\arctan x\,dx= x\arctan x- \frac{\ln(x^2+1)}{2}+C[/math]

[math]\int\arctan ax\,dx= x\arctan ax- \frac{\ln(a^2x^2+1)}{2\,a}+C[/math]

[math]\int x\arctan ax\,dx= \frac{x^2\arctan ax}{2}+ \frac{\arctan ax}{2\,a^2}-\frac{x}{2\,a}+C[/math]

[math]\int x^2\arctan ax\,dx= \frac{x^3\arctan ax}{3}+ \frac{\ln(a^2x^2+1)}{6\,a^3}-\frac{x^2}{6\,a}+C[/math]

[math]\int x^m\arctan ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arctan ax}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)[/math]

逆余接関数の積分

[math]\int\arccot x\,dx= x\arccot x+ \frac{\ln\left(x^2+1\right)}{2}+C[/math]

[math]\int\arccot ax\,dx= x\arccot ax+ \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{2\,a}+C[/math]

[math]\int x\arccot ax\,dx= \frac{x^2\arccot ax}{2}+ \frac{\arccot ax}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C[/math]

[math]\int x^2\arccot ax\,dx= \frac{x^3\arccot ax}{3}- \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C[/math]

[math]\int x^m\arccot ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arccot ax}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)[/math]

逆正割関数の積分

[math]\int\arcsec x\,dx= x\arcsec x-\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+C[/math]

[math]\int\arcsec ax\,dx= x\arcsec ax- \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C[/math]

[math]\int x\arcsec ax\,dx= \frac{x^2\arcsec ax}{2}- \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C[/math]

[math]\int x^2\arcsec ax\,dx= \frac{x^3\arcsec ax}{3}\,-\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C[/math]

[math]\int x^m\arcsec ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsec ax}{m+1}\,-\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)[/math]

逆余割関数の積分

[math]\int\arccsc x\,dx= x\arccsc x \, + \, \ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|\,+\,C= x\arccsc x\,+\, \operatorname{arccosh}(x)\,+\,C [/math]

[math]\int\arccsc ax\,dx= x\arccsc ax+ \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C[/math]

[math]\int x\arccsc ax\,dx= \frac{x^2\arccsc ax}{2}+ \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C[/math]

[math]\int x^2\arccsc ax\,dx= \frac{x^3\arccsc ax}{3}\,+\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C[/math]

[math]\int x^m\arccsc ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arccsc ax}{m+1}\,+\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)[/math]