負の二項分布
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累積分布関数 | |
| 母数 |
[math]r \gt 0[/math] — 成功をする前に失敗した試行回数 [math]p \in (0,1)[/math] — おのおのの試行で成功する確率 |
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| 台 | [math]k \in \{0, 1, 2, 3, \cdots\}[/math] — 成功回数 |
| 確率質量関数 | [math]{k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^r p^k,[/math] 二項係数を使用 |
| 累積分布関数 | [math]1-I_p(k+1,\,r),[/math] 正則化された不完全ベータ関数を使用 |
| 期待値 | [math]\frac{pr}{1-p}[/math] |
| 最頻値 | [math]\begin{cases}\big\lfloor\frac{p(r-1)}{1-p}\big\rfloor & \text{if}\ r\gt 1 \\ 0 & \text{if}\ r\leq 1\end{cases}[/math] |
| 分散 | [math]\frac{pr}{(1-p)^2}[/math] |
| 歪度 | [math]\frac{1+p}{\sqrt{pr}}[/math] |
| 尖度 | [math]\frac{6}{r} + \frac{(1-p)^2}{pr}[/math] |
| モーメント母関数 | [math]\biggl(\frac{1-p}{1 - p e^t}\biggr)^{\!r} \text{ for }t\lt -\log p[/math] |
| 特性関数 | [math]\biggl(\frac{1-p}{1 - p e^{i\,t}}\biggr)^{\!r} \text{ with }t\in\mathbb{R}[/math] |
負の二項分布（ふのにこうぶんぷ、英: negative binomial distribution）とは、確率分布の一種で、二項分布の拡張。
複数の意味
負の二項分布は、文献によって異なった意味で使われることがある。
- 統計的に独立なベルヌーイ試行を行ったとき、r 回の「成功」を得るのに必要な試行回数の分布。
- 同様に統計的に独立なベルヌーイ試行を行ったときに、r 回の「成功」をする前に失敗した試行回数の分布。
- 数学的に、2 番目の意味でのベルヌーイ試行の r を整数から実数に拡張して考えるもの。
パラメータ
負の二項分布は、二つのパラメータを持つ。成功回数を表す定数 r と、おのおのの試行で成功する確率 p である。r は、正の整数で、p は、0 から 1 までの実数である。r = 1 であるときは、幾何分布になる。普通は r を正の整数とするが、数学的な拡張から、r を整数と扱わないこともある。
式
上記のように三つの意味があるので、ここでは最初の意味に絞って解説する。最初の意味では、負の二項分布とは、おのおのの試行で成功する確率が p である独立なベルヌーイ試行を続けておこなったとき、r 回の成功を得るのに必要な試行回数であった。
パラメータ : 成功回数 r は、整数で、1 ≤ r とする。r = 1 のときの負の二項分布を幾何分布という。おのおのの試行で成功する確率 p は、0 < p < 1 である実数である。
- 確率分布関数 r 回の成功を x 回目の試行で達成する確率
- [math]f(x)=P(X=x) = {x-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{x-r}[/math]
- 累積分布関数 r 回の成功を、x 回目かそれ以前に達成する確率 : 単純な解法は存在しないが、正規化された不完全なベータ関数を使って計算することができる。二項分布
- 期待値 E(X) = r / p.
- 分散 var(X) = σ2 = r(1 − p) / p2.