調和数
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調和数（ちょうわすう、英: harmonic divisor number）とは、自然数のうち、全ての正の約数の調和平均が整数値になる数のことである。最小は 1 で、その次は 6 である。実際、6 の正の約数の調和平均は [math]\frac{4}{\frac{1}{1} +\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{6}} =2[/math] で整数値となるので 6 は調和数である。
調和数が無数に存在するかどうかは分かっていない。また、1 以外の奇数の調和数は発見されていなく、存在するかどうかも分かっていない。
完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が必ず 2 なので調和数である。
調和数の列は、
調和数の正の約数の調和平均は
- 1, 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9, 11, 10, 7, 15, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001600）
である。
その他調和数に関連すること
n までの自然数の逆数和を調和数と呼ぶこともある。この調和数は n ≥ 2 では整数値にならないことが知られている。区別のため完全数が含まれるほう（本項目）の調和数をオアの調和数と呼ぶこともある。オアは1948年に調和数の概念を考案した数学者の名前である。