複素解析空間

数学では、複素解析空間（ふくそかいせきくうかん、英: complex analytic space）は、複素多様体の一般化であり、特異点を持つことができる。複素解析空間は、有限個の正則函数の零点集合の開部分集合である局所モデル空間と、局所的に同相である局所環付き空間である。

定義

[math]\mathbb{C}[/math] に値を持つ位相空間上の定数層を[math]\underline{\mathbb{C}}[/math] で表す。[math]\mathbb{C}[/math]-空間は、構造層が [math]\underline{\mathbb{C}}[/math] の上の代数 (algebra) である局所環付き空間である。

複素アフィン空間 [math]\mathbb{C}^n[/math] の開集合 [math]U[/math] を選び、[math]U[/math] 上の有限個の正則函数 [math]f_1,\dots,f_k[/math] を固定し、[math]X=V(f_1,\dots,f_k)[/math] をこれらの正則函数の共通の零点集合とする、つまり、[math]X=\{x\mid f_1(x)=\cdots=f_k(x)=0\}[/math] とする。[math]X[/math] 上の環の層を [math]\mathcal{O}_X[/math] を [math]\mathcal{O}_U/(f_1, \ldots, f_k)[/math] の [math]X[/math] への制限とする、ただし [math]\mathcal{O}_U[/math] は [math]U[/math] 上の正則函数の層である。すると局所環付き [math]\mathbb{C}[/math]-空間 [math](X, \mathcal{O}_X)[/math] は局所モデル空間となる。

複素解析空間 (complex analytic space) は、局所モデル空間に局所同相な局所環付き [math]\mathbb{C}[/math]-空間 [math](X, \mathcal{O}_X)[/math] である。

複素解析空間の射は、局所環付き空間の射として定義される。射は正則函数とも呼ばれる。

関連項目

• 解析空間(Analytic space)

参考文献

• Grauert and Remmert, Complex Analytic Spaces
• Grauert, Peternell, and Remmert, Encyclopaedia of Mathematical Sciences 74: Several Complex Variables VII