矩形数

矩形数（くけいすう、pronic number、oblong number）とは、連続する自然数の積の値のことである。長方形数、長方数とも呼ばれる。矩形数は全て偶数であり、最小のものは 2 である（ただし 0 を矩形数に含める場合もある）。

性質

n番目の矩形数は n(n + 1) と表され、これはn番目の三角数の2倍に等しい。

矩形数を小さい順に列記すると

(0), 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, …（オンライン整数列大辞典の数列 A2378）

• 2 からn番目の偶数までの総和は、n番目の矩形数に等しい。

例：2 + 4 = 2 × 3, 2 + 4 + 6 = 3 × 4

2		6		12		20
**		*** ***		**** **** ****		***** ***** ***** *****

• 素数である矩形数は 2 のみである。2 は矩形数のうち唯一のフィボナッチ数であることが知られている。
• n(n + 1) = n² + n であり、39番目までの矩形数に41を足した数は、オイラー素数である。
• n(n + 1) = (n + 1)² − (n + 1)
• 素数番目の矩形数は、自分自身と正の約数の総和の積に等しい：p(p + 1) = pσ(p)（σ は約数関数）（オンライン整数列大辞典の数列 A036690）
• 偶数の完全数の正の約数の総和は矩形数である。（オンライン整数列大辞典の数列 A139256）
• n次正方行列の成分のうち対角成分でないものの個数は n − 1 番目の矩形数になる。
• 矩形数の逆数和は 1 に収束する：

[math]\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &=\lim_{n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) \\ &=1 \end{align}[/math]

関連項目

• 図形数
• 三角数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Pronic Number”. MathWorld（英語）.