相反多項式
初等代数学における相反多項式（そうはんたこうしき、英: reciprocal polynomial）は、本質的に与えられた多項式の係数をもとと逆順にして得られる多項式である。線型代数学において相反多項式は逆行列の特性多項式として自然に現れる。
定義
- [math]p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n[/math]
で与えられるとき、その相反多項式 p∗ は
- [math]p^*(x) := a_n + a_{n-1}x + \cdots + a_0x^n = x^n p(x^{-1})[/math]
で定義される[1]。
多項式 p が複素数に係数をとる特別の場合には、多項式
- [math]p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n[/math]
に対する共軛相反多項式 p† が
- [math]p^{\dagger}(z) := \bar{a} + \bar{a}_{n-1}z + \cdots + \bar{a}_0z^n = z^n\,\overline{p(\bar{z}^{-1})}[/math]
として定義される。ただし、複素数 w に対して w はその複素共軛を表す。紛れの虞の無い場合には、これを単に相反多項式と呼ぶこともある。
多項式 p が自己相反であるとは、p = p∗ が成り立つときにいう。自己相反多項式の係数は ai = an−i を満たす必要があり、またこのとき p は回文多項式とも呼ばれる。この条件により、共軛相反の意味での自己相反多項式の係数は、必ずすべて実数でなければならないことが分かる。
性質
相反多項式と元の多項式を結び付ける性質は幾つかあるが、例えば
- α が多項式 p の根ならば α−1 は p∗ の根であり、逆もまた然り[2]。
- p(x) ≠ x なる多項式 p が既約であることと、p∗ が既約であることとは同値[3]。
- p が原始多項式となる必要十分条件は p∗ が原始的となることである[4]。
ほかに相反多項式自身に関する性質としては例えば
- 自己相反多項式が既約ならばその次数は偶数でなければならない[5]
複素係数の場合
多項式 p が自己（共軛）相反的であるとは、p(z) ≡ p†(z) を満たすことを言う。単位円上の適当なスケール因子 ω に対して p(z) ≡ ω p† を満たすならば自己反転的 (self-inversive) という[6]。
p(z) が テンプレート:Abs = 1 かつ z0 ≠ 1 なる複素数 z0 の実係数最小多項式ならば p(z) は自己相反である。実際、
- [math]p^\dagger(z_0) = z_0^n\,\overline{p(1/\bar{z}_0)} = z_0^n\, \overline{p(z_0)} = z_0^n\,\bar{0} = 0[/math]
が成り立つから z0 は p†(z) の根で、これは n-次だから最小多項式の一意性により適当な定数 c を以って
- [math]cp(z) = p^\dagger(z) \quad (\text{i.e. }ca_i=\bar{a}_{n-i}=a_{n-i})[/math]
が成り立つが、ここで i = 0 から n までの和を取れば、1 が p の根でなかったことと合わせて c = 1 を得る。
この帰結として、n > 1 に対する円分多項式 Φn は自己相反であることが分かる。これは x11 ± 1, x13 ± 1, x15 ± 1, x21 ± 1 の形の数に対して、それぞれ次数が 5, 6, 4, 6（x の冪指数のオイラー数 φ がそれぞれ 10, 12, 8, 12 であることに注意）であるような多項式を用いて代数的因数が得られることを用いて因数分解する特殊数体篩法に用いられる。
符号理論における応用
相反多項式は巡回誤り訂正符号の理論に用いられる。xn − 1 が二つの多項式の積に分解されると仮定して、それを xn − 1 = g(x)p(x) と書く。g(x) が巡回符号 C を生成するとき、その相反多項式 p∗(x) は双対符号 C⊥ を生成する[7]。また、C が自己直交（つまり C ⊆ C⊥）であるための必要十分条件は p∗(x) が g(x) を割り切ることである[8]
注
- ↑ Roman 1995, pg.37
- ↑ Pless 1990, pg. 57
- ↑ Roman 1995, pg. 37
- ↑ Pless 1990, pg. 57
- ↑ Roman 1995, pg. 37, 奇数次の自己相反多項式は明らかに −1 を根に持つ。
- ↑ (2008) “Self-inversive polynomials with all zeros on the unit circle”, Number theory and polynomials. Proceedings of the workshop, Bristol, UK, April 3–7, 2006, London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 312-321. ISBN 978-0-521-71467-9.
- ↑ Pless 1990, pg. 75, Theorem 48
- ↑ Pless 1990, pg. 77, Theorem 51
参考文献
- Pless, Vera (1990), Introduction to the Theory of Error Correcting Codes (2nd ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
- Roman, Steven (1995), Field Theory, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Reciprocal Polynomial”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。