直交関数列

数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions）とは互いに直交する関数列の事である。

定義

区間 (α, β) (−∞ ≤ α < β ≤ ∞) 上で定義された複素数値関数 f(x), g(x) に対し

[math] \langle f, g \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) g^{\ast}(x) \, dx [/math]

は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

(α, β) 上の複素値関数の列 {φ_n(x)} が、この内積に対し、互いに直交し、

[math] \langle \phi_m, \phi_n \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} \! \phi_m(x) \phi_{n}^{\, \ast}(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n) [/math]

であるとき、直交関数列であるという。

特に直交関数列のうち、ノルムが 1、すなわち

[math] \|\phi\|^2 = \int_{\alpha}^{\beta} \! |\phi_n (x)|^2 \, dx=1[/math]

であるものものを正規直交関数列という。

また、実数値関数の列 {φ_n(x )} とある関数 w(x) ≥ 0 に対し、{(w(x))^1/2φ_n(x)} が直交関数列をなし、

[math] \int_{\alpha}^{\beta}\phi_m(x)\phi_n(x) w(x) \,dx = 0 \quad (m \neq n) [/math]

であるとき、この関数列を重み（荷重）w(x) の直交関数列という。

例

三角関数形

余弦関数系

1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

• [math] \int_0^{\pi} \! 1 \, dx = \pi [/math]

• [math] \int_0^{\pi} \! 1 \cdot \cos{nx}\, dx = 0 \quad (n= 1, 2, \cdots) [/math]

• [math] \int_0^{\pi} \! \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \cdots) [/math]

正弦関数系

正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

• [math] \int_0^{\pi} \! \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \cdots) [/math]

三角関数系

{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。

• [math] \int_{-\pi}^{\pi} \! 1 \, dx = 2\pi [/math]

• [math] \int_{-\pi}^{\pi} \!\! \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \!\! \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = \pi \delta_{mn} \quad (m,n= 1, 2, \cdots) [/math]

• [math] \int_{-\pi}^{\pi} \!\! 1 \cdot \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \!\! 1 \cdot \sin{nx}\, dx = 0 \quad (n= 1, 2, \cdots) [/math]

• [math] \int_{-\pi}^{\pi} \!\! \cos{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = 0 \quad (m,n= 1, 2, \cdots) [/math]

直交多項式

"「直交多項式」"

エルミート多項式

関係式

[math] H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} \quad (n=0,1,2,\cdots) [/math]　　

で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み e^−x2/2 の直交関数系であり、

[math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} H_m(x)H_n(x) \, dx= n! \sqrt{2\pi} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots) [/math]　　

を満たす。

ルジャンドル多項式

関係式

[math] P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \quad (n=0,1,2,\cdots) [/math]　　

で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、

[math] \int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x) \, dx= \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots) [/math]　　

を満たす。

ラゲール多項式

関係式

[math] L_n(x)=\frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x}) \quad (n=0,1,2,\cdots) [/math]　　

で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e^−x の直交関数系を成し、

[math] \int_{0}^{\infty} \! e^{-x} L_m(x)L_n(x) \, dx= \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots) [/math]　　

を満たす。

チェビシェフ多項式

関係式

[math] T_n(x)=\cos{(n \operatorname{arccos}x)} \quad (n=0,1,2,\cdots) [/math]　　

で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x²)^−1/2 の直交関数系を成し、

[math] \int_{-1}^1 \!\! \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} T_m(x)T_n(x) \, dx= \frac{\pi}{2} \delta_{mn} \quad (m,n = 0,1,2,\cdots) [/math]　　

を満たす。

ゲーゲンバウアー多項式

関係式

[math]C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!} \frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)} (1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right][/math]　　

で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x²)^{α − 1/2} の直交関数系を成し、

[math] \int_{-1}^1 \! (1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}} C_m^{(\alpha)}(x)C_n^{(\alpha)}(x) \, dx= \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots) [/math]　　

を満たす。

完備関数列

直交関数列で、

[math]\int_{\alpha}^{\beta}f(x)e_n(x)dx=0\quad(n=1,2,\cdots)\quad\Longrightarrow\quad f(x)=0[/math]

となるもののことを言う。

例

[math]\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\cdots,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\cdots\}[/math] （三角関数列）

関連項目

• フーリエ級数
• ルジャンドル多項式
• エルミート多項式