球面幾何学

ファイル:Triangles (spherical geometry).jpg

地球を例にすると、球面にある三角形の内角の和は180度にならない。球面のうちの狭い範囲だと、内角の和は180度に近づく。

球面幾何学（きゅうめんきかがく、英語: spherical geometry）とは幾何学の分野の一つであり、現在では非ユークリッド幾何学に分類される楕円幾何学の特殊なもの（球面での楕円幾何学）と認識されている。 アッバース朝時代のシリアの天文学者バッターニーがこれを利用して天文観測を行なった。

用語の定義

• 球面の表面上の任意の点を点とする。
• 球の大円を直線とする。

  2点を通る直線はその2点が球の中心に対して対称の位置にない限り一意的に定まる。

• 2つの大円が交わる角度を2直線の角度とする。

球面幾何学の性質

• すべての直線は2点で交わる。
• 劣弧に制限すれば、三角形の内角の和は常に180度より大きく540度(3×180°)より小さくなる。
• 同一球面上にある三角形の面積比は、180度より大きい分の内角の比である。(例えば、内角の和が190度の三角形と、内角の和が200度の三角形の面積比は、(190−180):(200−180) = 10:20 = 1:2 である。)
• 同一球面上には合同を除く相似な図形は存在しない。(3角が等しい場合、内角の和が等しくなり、面積が等しくなる。)

関連項目

• ユークリッド幾何学
• 非ユークリッド幾何学
  • 楕円幾何学
    • 球面幾何学
  • 双曲幾何学
• リーマン幾何学
• 微分幾何学
• 球面三角法