準素イデアル

可換環論において、準素イデアル（英: primary ideal）とは、可換環 A の真のイデアル Q であって、xy が Q の元かつ x が Q の元でないとき、ある自然数 n > 0 が存在して yⁿ が Q の元となるようなイデアルのことである。言い換えると、剰余環の任意の零因子がべき零となるような（真の）イデアルのことである。

例と性質

ファイル:A portion of the lattice of ideals of Z illustrating prime, semiprime and primary ideals SVG.svg

有理整数環 Z のイデアルがなす束の一部。紫色または水色のイデアルは準素イデアル。

• 定義から明らかに素イデアルは準素イデアルである。
• 素元分解整域において、素元 p のべき pⁿ で生成されたイデアル (pⁿ) は準素イデアルである（たとえば有理整数環；右図参照）。
• ネーター環の任意のイデアルは、有限個の準素イデアルの共通部分として書ける（準素分解）。
• デデキント環の準素イデアルは素イデアルのべきである。
• 準素イデアルの根基は素イデアルである。

参考文献

• 『可換環と体』 岩波書店、2006年。ISBN 4-00-005198-9。