比例式

比例式（ひれいしき）とは、比あるいは連比に関する等式のことである。

A に対する B の割合が、X に対する Y の割合に等しいとき、

[math]A:B=X:Y[/math]

と書く。すなわち、ある比とある比が等しいとき、このように比と比を等号で結んだものが比例式である。

定義

A : B = X : Y すなわち、二つの比 A : B と X : Y が等しいとは、A に対する B の割合が、X に対する Y の割合に等しいことであると定義すると、これはすなわち

[math]{A\over B}={X\over Y}[/math]

なる分数の等式が成り立つことである。これは

[math]A:B=X:Y \iff {B\over A}={Y\over X}[/math]

あるいは

[math]A:B=X:Y \iff {A\over X}={B\over Y}[/math]

と定義しても同じである。このように定義される比の等式 A : B = X : Y あるいは分数の等式 A / B = X / Y を比例式という。また、連比が等しいとは、

[math]A_1:A_2:\cdots:A_n = X_1:X_2:\cdots:X_n \iff {A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n} [/math]

と定義され、比の場合と同様に等式

[math]A_1:A_2:\cdots:A_n = X_1:X_2:\cdots:X_n[/math]

または

[math]{A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n}[/math]

のことを比例式とよぶ。

比例式

[math]{A_1\over X_1}={A_2\over X_2}=\cdots={A_n\over X_n}[/math]

の値を c とすると

[math]{A_1\over X_1}= c,\ {A_2\over X_2}= c,\ldots,{A_n\over X_n} = c[/math]

が成り立つから、これを連立一次方程式

[math]\left\{\begin{matrix} A_1 = cX_1, \\ A_2 = cX_2, \\ \vdots\quad \\ A_n = cX_n. \end{matrix}\right.[/math]

の形に表示することができる。

比例式には、次のような性質がある。