正弦定理
正弦定理（せいげんていり、law of sines）とは三角形の内角の正弦（サイン）とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。
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概要
△ABC において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接円の半径を R とすると、
- [math]\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2R[/math]
が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。
これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した
- [math]\frac{a}{\sin A} =2R[/math] あるいは a = 2R sin A
を正弦定理であると表現することもできる。
証明
以下の証明では角度は弧度法で表している。なお π = 180° である。
- 0 < ∠A < π⁄2 のとき
直径 BD を取る。
円周角の定理より ∠A = ∠D である。
△BDC において、BD は直径だから、
- [math]\text{BD} =2R , \ang \text{BCD} = \frac{\pi}{2}[/math]
である。よって、正弦の定義より、
- [math]\sin D= \frac{a}{2R}[/math]
である。ゆえに
- [math]\sin A=\sin D=\frac{a}{2R}[/math]
変形すると
- [math]\frac{a}{\sin A} =2R[/math]
が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
- ∠A = π⁄2 のとき
BC = a = 2R であり、
- [math]\sin A=\sin \frac{\pi}{2} =1[/math]
であるから、
- [math]\frac{a}{\sin A} =2R[/math]
は成り立つ。
- π⁄2 < ∠A < π のとき
直径 BD を取る。
円に内接する四角形の性質から、
- [math]\angle \text{D} = \pi -\ang \text{A}[/math]
である。つまり、
- [math]\sin A=\sin D[/math]
となる。 BD は直径だから、
- [math]\text{BD} =2R , \ang \text{BCD} =\frac{\pi}{2}[/math]
である。よって、正弦の定義より、
- [math]\sin A=\sin D= \frac{a}{2R}[/math]
である。変形すると
- [math]\frac{a}{\sin A} = 2R[/math]
が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
以上より正弦定理が成り立つ。
また、逆に正弦定理を仮定すると、「円周角の定理」、「内接四角形の定理」（円に内接する四角形の対角の和は 180° 度であるという定理）を導くことができる。
球面三角法における正弦定理
球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とすると、
- [math]\frac{\sin a}{\sin A} =\frac{\sin b}{\sin B} =\frac{\sin c}{\sin C}[/math]
が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。
関連項目
外部リンク
- テンプレート:高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. “Law of Sines”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- Russell, Robert A.. “Generalized Law of Sines”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。