普遍包絡代数
（普遍）包絡代数（ふへんほうらくだいすう、英: universal enveloping algebra, 仏: algèbre enveloppante）あるいは（普遍）展開代数とは、任意のリー代数 [math]\mathfrak{g}[/math] から構成される、ある性質を満たす単位的結合代数 [math]U(\mathfrak{g})[/math] と準同型写像 [math]i\colon\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})[/math] の組 [math](U(\mathfrak{g}), i)[/math] のことをいう。
定義
[math]\mathfrak{g}[/math] を任意のリー代数とする。このとき以下の普遍性質を満たす結合代数 A とリー代数の準同型写像 [math]i: \mathfrak{g} \to A[/math] の組 [math](A, i)[/math] が存在する（A は交換子積によってリー代数とみる）。任意の結合代数 [math]A'[/math] とリー代数準同型写像 [math]i'\colon \mathfrak{g} \to A'[/math] に対し、結合代数の準同型写像 [math]f\colon A \to A'[/math] で、[math]f \circ i=i'[/math] を満たすものが唯一つ存在する。このような [math](A, i)[/math] は同型を除いて一意的に存在し、普遍包絡代数といい、A を [math]U(\mathfrak{g})[/math] で表す:
構成
[math]\mathfrak{g}[/math] をリー代数、[math]T(\mathfrak{g})[/math] をそのベクトル空間としてのテンソル代数とする。また、[math]\mathcal{I}[/math] を [math]x \otimes y - y \otimes x - [x, y]\quad(x, y \in \mathfrak{g})[/math] が生成する両側イデアルとする。これによって
- [math]U(\mathfrak{g})=T(\mathfrak{g})/\mathcal{I}[/math]
とする。自然な写像 [math]T(\mathfrak{g}) \to U(\mathfrak{g})[/math] を [math]\mathfrak{g}[/math] に制限して [math]i\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})[/math] が定まり、[math](U(\mathfrak{g}), i)[/math] は普遍包絡代数になる。
関連項目
脚注
参考文献
- Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7.
外部リンク
- universal enveloping algebra in nLab
- universal enveloping algebra - PlanetMath.（英語）
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