指数層系列
指数層系列（しすうそうけいれつ、exponential sheaf sequence）（指数完全系列とも言う）は、数学では複素幾何学で使われる層（コホモロジー）の基本的な短完全系列のことである。
M を複素多様体とし、M 上の正則函数の層を OM と記し、0 にならない正則函数からなる部分層を OM* と表すとする。これらは両方とも、アーベル群の層である。指数函数は層の準同型
- [math]\exp : \mathcal O_M \to \mathcal O_M^*,[/math]
をもたらす。正則函数 f に対し、exp(f) は 0 にならない正則函数であり、exp (f + g) = exp (f) exp (g) となるので、この準同型の核は、M 上の整数 n で 値 2πin を持つ局所定数函数の層 2πiZ である。指数層系列は、従って、
- [math]0\to 2\pi i\,\mathbb Z \to \mathcal O_M\to\mathcal O_M^*\to 0[/math]
である。ただし、この指数写像は、いつも切断上で全射とは限らない。指数層系列を見るには、たとえば、M を複素平面上の穴あき円板とすると、指数写像は、茎上で全射である。点 P で g(P) ≠ 0 を満たすような正則函数の芽(germ) g が与えられると、P の近傍で g の対数として取ることができる。層コホモロジーの長完全系列は、M の任意の開集合 U に対し、完全系列
- [math]\cdots\to H^0(\mathcal O_U) \to H^0(\mathcal O_U^*)\to H^1(2\pi i\,\mathbb Z|_U) \to \cdots[/math]
が得られることを示している。ここに H0 は単に U 上の切断を意味し、層コホモロジー H1(2πiZ|U) は U の特異コホモロジーである。従って、関連する準同型は、一般化された回転数であり、U が可縮であることを妨げる度合いを測っている。言い換えると、0 にならない正則函数の大域的対数をとることができ、局所的には常に完全系列がえられるための位相的障害が存在する。
この系列の別の結果は、系列
- [math]\cdots\to H^1(\mathcal O_M)\to H^1(\mathcal O_M^*)\to H^2(2\pi i\,\mathbb Z)\to \cdots[/math]
が完全系列性である。ここに、H1(OM*) は、M 上の正則ラインバンドルのピカール群と同一視することができる。この準同型は、ラインバンドルを第一チャーン類へ写像する。
参考文献
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523, see especially p. 37 and p. 139