忠実加群

環 A 上の（左または右）加群 M は、その零化イデアル Ann_A (M) が {0} であるときに、忠実（英: faithful）であるという。言い換えると、各 [math]\alpha \in A \setminus \{0\}[/math] の作用が自明でない（ある x ∈ M に対して α・x ≠ 0）ということである。別の言い方をすれば、対応する表現 [math]\psi\colon A \to \operatorname{End}(M)[/math] が単射である。

任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環準同型 [math]\psi\colon A \to \operatorname{End}(M)[/math] は、単射準同型 [math]\tilde\psi\colon A/\ker\psi \to \operatorname{End}(M)[/math] によって分解する。ker ψ は Ann_A (M) に他ならないので、[math]\tilde\psi[/math] によって M に A / Ann_A (M)-加群としての構造が入り、このとき [math]\tilde\psi[/math] は単射なので M は忠実である。

性質

A-加群 M の任意の元 x に対して M_x = M とおくと、写像

[math]\phi\colon A \to \prod_{x\in M} M_x,\quad a\mapsto (ax)_{x\in M}[/math]

は A-準同型である。このとき ker φ = Ann_A (M) なので、準同型定理より

[math]A/\operatorname{Ann}_A(M)\cong\phi(A)\subseteq\prod_{x\in M}M_x[/math]

を得る。したがって M が忠実加群であれば、A は（自然にA-加群と見て）[math]\prod_{x\in M} M_x[/math] の部分加群に同型である。

参考文献

• 岩永恭雄・佐藤眞久 『環と加群のホモロジー代数的理論』 日本評論社、2002年、第1版。ISBN 4-535-78367-5。