形式的冪級数

数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として）

[math]\sum_{n=0}^\infty X^n=1+X+X^2+X^3+\dotsb+X^n+\dotsb[/math]

は（多項式ではない）冪級数である。

定義

A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 a_i (i = 0, 1, 2, ...) を A の元として、

[math]\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dotsb[/math]

の形をしたものである。ある m が存在して n ≥ m のとき a_n = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。

形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。和と積の定義は以下のようにする。

[math]\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n + \sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n) X^n[/math]

[math]\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n X^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n X^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) X^n[/math]

すなわち和と積は形式的に定義し、環の元と不定元は可換であるとする。

より形式的な定義

N を非負整数全体の集合とし、集合 A^N すなわち N から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し

[math](a_n)_n+(b_n)_n=(a_n+b_n)_n[/math]

[math](a_n)_n\cdot(b_n)_n=\left(\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\right)_n[/math]

によって演算を定めると、A^N は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。

ここでの (a_n) は上の Σa_nXⁿ と対応する。

合成

定数項が 0 の形式的冪級数は、別の冪級数に代入することができる。すなわち、[math]f(X)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n,\;g(X)=\sum_{m=1}^{\infty}b_mX^m[/math] とすると、{g(X)}ⁿ は n − 1 次以下の項をもたないので、合成

[math]f(g(X))=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\{g(X)\}^n[/math]

が意味をもつ。例えば

[math]\exp(\log(1+t))=1+t[/math]

は形式的冪級数としても正しい等式である。

性質

以下では A を単位元をもつ可換環とし、[math]f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n\in A[[X]][/math] とする。

• f が A[[X]] の単元であることと a₀ が A の単元であることは同値である。
• f が冪零であれば、すべての a_n は冪零である。逆は一般には成り立たないが、A がネーター環であれば成り立つ。
• A がネーター環であれば、A[[X]] もネーター環である。
• A が整域であれば、A[[X]] も整域である。
• f が A[[X]] のジャコブソン根基に属することと、a₀ が A のジャコブソン根基に属することは同値である。

形式微分

[math]f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n[/math] に対し、[math]f'=\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot a_nX^{n-1}[/math] を f の形式微分という。a, b ∈ A, f, g ∈ A[[X]] に対し、(af + bg)′ = af′ + bg′, (fg)′ = f′g + fg′ などが成り立つ。

これは（複素あるいは実の）収束冪級数と考えると項別微分に相当するものである。

一般化

形式的ローラン級数

有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。N を自然数、各 a_n を可換環 A の元として、

[math]\sum_{n=-N}^{\infty} a_n X^n[/math].

このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、A((X)) と表記する。とくに A が体 k であるとき、k((X)) も体であり、これは k[[X]] の商体でもある。

多変数の形式的冪級数

任意の個数（無限個でもよい）の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。Λ が添え字集合であり X_Λ を λ∈Λ に対し不定元 X_λ 全体の集合とすれば、単項式 X^α は X_Λ の元の任意の有限個の（重複を許した）積である。係数を環 A にもつ X_Λ の形式的冪級数は単項式 X^α の集合から対応する係数 c_α への任意の写像によって決定され、[math]\textstyle\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha[/math] と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を A [[X_Λ]] と表記し、以下のように環の構造を与える。

[math]\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)+\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right)=\sum_\alpha(c_\alpha+d_\alpha)X^\alpha[/math]

および

[math]\left(\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\right)\times\left(\sum_\alpha d_\alpha X^\alpha\right)=\sum_{\alpha,\beta} c_\alpha d_\beta X^{\alpha+\beta}[/math]

一変数の場合と同様に、A [X_I] ⊂ A [[X_I]] である。

Λ = { 1, 2, ..., n } の場合には、A [[X_Λ]] = A [[X₁, X₂, ..., X_n]] とも書かれる。A [[X₁, ..., X_n]] =A [[X₁, ..., X_n-1]] [[X_n]] である。

性質

• 多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。

しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 A はイデアル I による I 進距離で完備であるとする。このとき [math]a_1,\dots,a_n\in I[/math] であれば、[math]\sum_\alpha c_\alpha X^\alpha\in A[[X_!,\dots,X_n]][/math] の [math]X_1, \dots, X_n[/math] に [math]a_1, \dots, a_n[/math] を代入したものは収束する。

• ネーター環 A 上の多項式環 B = A [X₁, ..., X_n] の、[math]\mathfrak{m}=(X_1,\dots,X_n)[/math] による完備化は、A [[X₁, ..., X_n]] と同型である。これは [math]B_\mathfrak{m}[/math] の [math]\mathfrak{m}B_\mathfrak{m}[/math] 進位相による完備化とも同型である。
• A がネーター環であれば、C = A [[X₁, ..., X_n]] もネーター環であり、A が整域であれば C も整域である。A が体であれば、C は正則局所環 である。

参考文献

• Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading, MA: Addison-Wesley .
• 荒川恒男、金子昌信、伊吹山知義　『ベルヌーイ数とゼータ関数』　牧野書店、2001年。ISBN 978-4-7952-0139-2。
• 雪江明彦、『代数学3 代数学のひろがり』、日本評論社、2011年、ISBN 978-4-535-78661-5