射影被覆

数学において、射影被覆（しゃえいひふく、英: projective cover）とは、射影加群 $P$ と加群 $M$ へ全射準同型写像 $P \to M$ の組のうちで、核が‘最小’になるもののことをいう（#定義）。

動機

任意の加群 $M$ はある射影加群 $P$ の全射準同型像である^[1]。

[math] \pi \colon P \twoheadrightarrow M [/math]

したがって準同型定理より

[math] P/\ker \pi = M [/math]

である。そこで加群 $M$ を $ker π$ が‘最小’になるように選んで、射影加群 $P$ で‘近似’したものを射影被覆という。より正確には $P$ のすべての部分加群 $L$ に対して

[math] \ker \pi + L = P \implies L = P [/math]

が成り立つとき、 $π : P \to M$ は射影被覆であるという。

$R$ を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 $R$ 加群、射はすべて左 $R$ 加群の準同型を指すことにする。

加群 $N$ の部分加群 $K$ が $N$ の余剰部分加群（superfluous submodule, small submodule）であるとは、すべての $N$ の部分加群 $L$ に対して

[math] K + L = N \implies L = N [/math]

が成り立つことをいう^[2]。また全射 $π : N \to M$ の核 $ker π$ が $N$ の余剰部分加群であるとき、 $π$ は余剰全射（superfluous epimorphism）であるという^[3]。射影加群 $P$ と加群 $M$ への全射

[math] \pi \colon P \twoheadrightarrow M [/math]

の組 $(P, π)$ が 射影被覆 であるとは、 $π$ が余剰全射であることをいう^[4]。このことを $P$ が射影被覆であるといったり、 $π : P \to M$ が射影被覆であるといったりすることもある。

一般に加群の射影被覆が存在するとは限らない^[5]。（けれども、たとえばアルティン環上の加群に対しては存在する^[6]。）もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。

補題^[4]: $p : P \to M$ が射影被覆であるとする。もし $Q$ が射影加群で、全射 $q : Q \to M$ があれば、 $Q = P \oplus R$ となる $ker q$ の部分加群 $R$ が存在して、制限 $q | P : P \to M$ は射影被覆である。

$p i : P i \to M i (1 \leq i \leq n)$ が射影被覆ならば、 $(\oplus p i): \oplus P i \to \oplus M i$ も射影被覆である^[5]。

$P$ をゼロでない射影加群とする。射影加群 $P$ がある既約加群の射影被覆である必要十分条件は、 $P$ のゼロでないすべての商加群が直既約であることである^[5]。

(1992) Rings and Categories of Modules, Second, Graduate texts in mathematics, Springer-Verlag. ISBN 0-387-97845-3.