対称差

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ベン図による対称差の表現

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3つの集合の対称差

数学において、2 つの集合 A と B との対称差（たいしょうさ、英: symmetric difference）とは、“A に属し、B に属さないもの” と “B に属し、A に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である。一般に、集合 A と B との対称差を、記号

A△B  あるいは  A⊖B  あるいは  A⊕B

などで表す。例えば、{1, 2, 3} と {3, 4} との対称差は {1, 2, 4} に等しい： {1, 2, 3}△{3, 4} = {1, 2, 4}。

任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を算法としてアーベル群となる。空集合 ∅ はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を加法とし共通部分 ∩ を乗法とするとき、ブール環となる。

性質

対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる：

A△B = (A−B)∪(B−A)。

X を 1 つの集合とし、A, B を X の 2 つの部分集合とする。集合 {0, 1} における二項演算として排他的論理和 ⊕ : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1} を定義すれば、X における指示関数に関して次が成り立つ： X の任意の元 x に対して

χ _A△B (x) = χ _A (x) ⊕ χ _B (x)。

アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける：

[ x ∈ A△B ] = [ x ∈ A ] ⊕ [ x ∈ B ]。

対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる：

A△B = (A∪B)−(A∩B)。

特に、A△B は A∪B の部分集合である： A△B ⊂ A∪B。また、A と B とが互いに素であるときかつそのときに限り A△B = A∪B である。さらには、A△B と A∩B とは互いに素であって、集合 {A△B, A∩B} は A∪B の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式

A∪B = (A△B)△(A∩B)

によって和集合を定義することもできる。

代数学的な性質

対称差について、次の 4 つが成り立つ：

1. (A△B)△C = A△(B△C)    （結合法則）、
2. A△∅ = ∅△A = A、
3. A△A = ∅、
4. A△B = B△A    （交換法則）。

X を 1 つの集合とし、P(X) を X の冪集合とする。P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させれば、P(X) における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して P(X) はアーベル群となる。空集合 ∅ はその群の単位元である。P(X) の任意の元 A に対して A は A の逆元であるから、P(X) はブール群でもある。X がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 P(X) はクラインの四元群 Z₂ × Z₂ と同型である。

共通部分は対称差に対して分配法則を満たす：

A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C)。

よって、X を 1 つの集合とするとき、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させて得られる二項算法を加法とし、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A∩B を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、P(X) は環となる。また、P(X) はブール環でもある。

その他の性質

• X を 1 つの集合とし、A, B を X の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

A△B = (X−A)△(X−B)。

• Λ を 1 つの集合とし、Λ の各元 λ に対して 2 つの集合 A_λ , B_λ が定められているとき、次が成り立つ：

[math]\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right)\triangle\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda\right)\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_\lambda\triangle B_\lambda\right)[/math]。

• f を集合 S から集合 T への 1 つの写像とし、A, B を T の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

f ⁻¹(A△B) = f ⁻¹(A) △ f ⁻¹(B)。

多項対称差

対称差は結合法則と交換法則を満たすので、n個の集合A₀…A_n-1の対称差A₀△…△A_n-1=(…(A₀△A₁)△…△A_n-1)は順番に依らない。このことから対称差はより一般に（各元における重複度が有限であるような）集合族　[math]\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}[/math]　に対し以下のように拡張できる。

[math]\triangle_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = \left\{ a \in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda : |\{\lambda\in\Lambda:a \in A_\lambda\}| \mbox{ が 奇 数 }\right\} [/math].

上記のような集合族について [math]\Lambda[/math] 及び各 [math]A_\lambda[/math] がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ（和集合の場合にも同様の公式が成り立つ）。

[math]|\triangle_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda| = \sum_{\Mu\subset\Lambda} (-2)^{|\Mu|-1} |\bigcap_{\lambda\in\Mu} A_\lambda|[/math].

測度空間上の対称差

2つの集合の対称差の「大きさ」は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。 今 μ を集合 X 上の測度とし Σ を測度有限な可測集合全体とする。 このときΣ×Σ上の関数のdを

[math]d_\mu (A,B):=\mu(A\triangle B)[/math]

と定めると、これは Σ 上の擬距離になる。

この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が μ に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。

A,B が Σ の元であるとき [math]|\mu(A) - \mu(B)| \leq \mu(A\,\triangle\,B)[/math] が成立する。

参考文献

• 松坂, 和夫 (1968), 集合・位相入門, 日本: 岩波書店, ISBN 4-00-005424-4 
• 松坂, 和夫 (1976), 代数系入門, 日本: 岩波書店, ISBN 4-00-005634-4 

関連項目

• 完全加法族
• 差集合
• 集合の代数学
• 集合論
• 対称性
• 排他的論理和
• ファジィ集合
• ブール関数
• ロジカルグラフ

外部リンク

• symmetric difference in nLab
• Weisstein, Eric W. “Symmetric Difference”. MathWorld（英語）.
• symmetric difference - PlanetMath.（英語）
• テンプレート:ProofWiki
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