回転楕円体
回転楕円体（かいてんだえんたい、spheroid）は、楕円をその長軸または短軸を回転軸として得られる回転体をいう。あるいは、3径のうち2径が等しい楕円体とも定義できる。
回転楕円体は「地球の形」を近似するのに用いられるために重要であり、この回転楕円体を地球楕円体 (Earth ellipsoid) と呼ぶ。様々な地球楕円体のうち、個々の測地系が準拠すべき地球楕円体を特に準拠楕円体 (reference ellipsoid) と呼ぶ。
用語
3径のうち等しい2径の半径を赤道半径、残りの1つを極半径という。言い換えれば、元の楕円の2径のうち回転軸となった半径が極半径、他方が赤道半径である。
赤道半径のほうが長い、つまり短軸が回転軸となった回転楕円体を扁球・扁楕円体・扁平楕円体 (oblate, oblate spheroid) という。極半径のほうが長い、つまり長軸が回転軸となった回転楕円体を長球・長楕円体・扁長楕円体 (prolate, prolate spheroid) という。
赤道半径と極半径が等しい回転楕円体は、球である。球は、円をその直径を回転軸とした回転体で、3径が全て等しい楕円体である。
回転楕円体の表面を回転楕円面という。
性質
赤道半径を a、極半径を b とする。なお回転楕円体の半径はこのように表すことが多いが、楕円の長半径を a、短半径を b と表すと紛らわしいので注意が必要である。
回転楕円体は直交座標を使えば
[math]\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{a} \right) ^2 + \left( \frac{z}{b} \right) ^2 \le 1[/math]
体積は
[math]\frac{4}{3} \pi a^2 b[/math]
である。
表面積は、一般の楕円体より簡単で、積分をせずに求めることができる。ただし長球と扁球では公式が異なり、扁球は
[math]2 \pi \left( a^2 + \frac{ b^2 \tanh^{-1} e }{ e } \right) \quad \mbox{if } a \gt b[/math]
長球は
[math]2 \pi \left( a^2 + \frac{ a b \operatorname{Sin}^{-1} e }{ e } \right) \quad \mbox{if } b \gt a[/math]
である。e は離心率で、長半径を α = max(a, b)、短半径を β = min(a, b) とすると
[math]e = \sqrt{ 1 - \left( \frac{ \beta }{ \alpha } \right)^2 } [/math]
である。